Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
ГРНТИ 67.11 Строительные конструкции
ББК 385 Строительные конструкции
Резиновые и резинокордные элементы конструкций выделяют тепло, проявляя тем самым вязкоупругие свойства. Точность вычисления тепловыделения зависит от погрешности аппроксимации функции релаксации. Поскольку тепло выделяется при периодическом процессе изменения напряженно-деформированного состояния, то функцию релаксации желательно определять в эксперименте, воспроизводящем циклическое деформирование. Хорошо известна методика, позволяющая определять основные параметры функции релаксации, заданной в виде линейной комбинации экспонент, с помощью гармонического деформирования. Статический опыт на релаксацию позволяет определить дополнительно длительный модуль. В работе сравниваются обе методики на основе проведенных экспериментов.
резинокорд, линейная вязкоупругость, модель Максвелла, качение, пневматическая шины, тепловыделение
Введение. В данной работе сравниваются эти два способа определения параметров линейной модели вязкоупругости на основе экспериментов, проведенных с пластинами из резины, работающей в состоянии растяжения. Приводится сравнение определяемых по этим методикам значений времен релаксации, существенно влияющих на выделяемое тепло.
Прежде всего, следует выбрать аппроксимацию функции релаксации. Как отмечено в [4, 5], было предложено множество вариантов функций аппроксимаций и проводились их сравнения. Ниже показывается, что для вычисления выделяемой энергии эффективным является приближение функции релаксации суммой всего нескольких экспонент. Эта модель может учитывать физическую нелинейность [3, 6, 7].
Механическая модель. Будем считать, что деформированное состояние шины является суммой состояния, возникающего за счет внутреннего давления, и осцилляционных добавок за счет качения. В первом приближении тензор деформаций (Лагранжа–Грина) представляется суммой
, где
– добавка, описывающая осцилляции деформаций. Тензор напряжений
(Пиолы-Кирхгофа) представляется в виде
, где
есть напряжение от внутреннего давления, а
– отклонение за счет осцилляций.
Осцилляционная добавка является дифференциалом оператора и, следовательно, линейно зависит от
. Поэтому
представляется согласно линейной теории вязкоупругости
(1)
Здесь подчеркнуто, что , вообще говоря, зависит от стационарного деформированного состояния
. Определяющее соотношение (1) записано в начальной области. В актуальной области оно определяет связь
(2)
– градиент деформации в состоянии, возникающем за счет внутреннего давления,
– якобиан преобразования. В соотношении (2) фактически речь идет об определяющем соотношении между касательным напряжением и сдвиговой деформацией
. Шаровые части напряжений и деформаций либо связаны линейно, либо материал считается несжимаемым [4].
Для экспериментального определения функции релаксации проводились опыты с пластинами из брекерной резины размером , которая используется для изготовления слоев брекера шин легковых автомобилей. Реализовывалось одномерное напряженное состояние, поэтому далее будем иметь дело с определяющим соотношением
(3)
Учёт зависимости от начальной деформации
будет обсуждаться в последующих статьях, поэтому пока будем записывать функцию релаксации просто
.
Подчеркнем, что представление комбинацией экспонент обладает преимуществами. Во-первых, необходимая для вычисления выделяемой энергии точность приближения к экспериментальной кривой достигается уже при небольшом числе членов суммы экспонент. Поэтому, во-вторых, определяющее соотношение записывается в дифференциальной форме и решение краевой задачи линейной вязкоупругости вычислительно не многим сложнее решения задачи упругости [3].
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Будем оценивать точность аппроксимации в норме, которая суть работа деформации за цикл, соответствующей осцилляционной добавке
(4)
, где
– период колебаний при качении шины, а
– частота. Итак, пусть
,
(5)
Статический опыт. В типичном статическом опыте на релаксацию деформация задается [4] в виде функции Хевисайда . Из приведенных в таблице 1 расчетов можно заключить, что для вычисления выделяемой энергии достаточно аппроксимации экспериментальной кривой релаксации небольшим числом членов представления (5). Работа
вычислялись для процесса деформирования вида
(6)
с частотой колебаний, соответствующей движению легкового автомобиля с различными скоростями движения автомобиля. Использовалась аппроксимация с двумя и тремя членами суммы (5). Именно, к двум членам суммы (5) был добавлен третий член со временем релаксации в 10 раз больше второго времени релаксации . Первые два времени релаксации также отличались примерно на порядок. Весовой коэффициент поправочного третьего члена равен сумме весовых коэффициентов первых двух членов представления (5). В первой строке Таблицы 1 записаны скорости движения автомобиля, во второй – относительные разницы в энергии, выделяемой за цикл колебаний.
Таблица 1
Погрешность вычисления работы
|
скорость (км/ч) |
0.1 |
0.5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
30 |
100 |
|
|
300 |
27 |
11 |
4.3 |
2 |
1.5 |
1.4 |
1.4 |
Из таблицы видно, что для практически важных скоростей движения легкового автомобиля добавление третьего члена несущественно изменяет вычисленное значение выделяемой энергии. Однако если у добавочного члена время релаксации меньше по сравнению с первыми двумя, то возникает существенная ошибка. Следовательно, вопрос о том, насколько точно статический опыт на релаксацию позволяет находить наименьшие времена релаксации, требует изучения.
Осциляционный опыт. При деформировании в виде (6) максимальный вклад в выделяемую энергию дает член (5), для которого . Это видно из выражения (7) для работы за период колебаний, соответствующей n-му члену (5)
. (7)
Поэтому для качения с частотой желательно иметь в аппроксимации (5) член с
.
Поэтому для большой частоты требуется экспериментально находить малые времена релаксации. Для этого лучше приспособлена осцилляционная методика.
Осцилляционная методика определения параметров состоит в следующем [2]. Осуществляется деформирование согласно (6). Осциллирующая составляющая напряжения равна
(8)
а производимая за цикл работа равна
(9)
Вычисляя по экспериментальным данным работу для разных частот
, можно получить значения параметров
,
, приближая экспериментальную зависимость работы от частоты выражением (9).
Рассмотрим эксперимент, проведенный в НИИ Механики МГУ для частот от 0.3 до 15 рад/сек. Результаты измерения времен релаксации показаны в таблице 2. В столбцах с третьего по пятый приведены времена релаксации, полученные: для верхней части указанного выше диапазона частот (третий столбец), для нижней части (четвертый столбец) и, наконец, для всего диапазона (последний столбец). Видно, что диапазон с низкими частотами приводит к обнаружению времен релаксации, близких к тем, что удается определить из статического опыта на релаксацию. Для получения меньших времен требуется использование более высоких частот.
Таблица 2
Времена релаксации
|
времена релаксации |
статический опыт |
осцилляционные опыты |
||
|
N=2 |
N=2 |
N=2 |
N=3 |
|
|
t1 |
– |
0.038 |
– |
0.050 |
|
t2 |
0.368 |
0.333 |
0.354 |
0.481 |
|
t3 |
3.533 |
– |
3.6 |
4.030 |
Выводы. Таким образом, осцилляционная методика позволила определить наименьшее время релаксации, на порядок меньшее, чем минимальное значение, найденное в статическом опыте. Это позволяет использовать найденную аппроксимацию для больших частот колебаний. С другой стороны, статический опыт позволяет измерить длительный модуль и кривую релаксации на длительном временном отрезке. Совокупность опытов двух типов позволяет определить все параметры, необходимые для решения задачи тепловыделения при стационарном и нестационарном качении пневматической шины.
Авторы выражают благодарность сотрудникам НИИ Механики МГУ П.В. Чистякову и Ю.П. Зезину за помощь в проведении экспериментов.
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 15-01-05887-a).
1. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. Мир. 1974. 339 с.
2. Baumgaertel M., Winter H.H. Determination of discrete relaxation and retardation time spectra from dynamic mechanical data // RheologicaActa. 28. 1989. Pp. 511-519.
3. Nasdala L., Kaliske M., Becker A., Rothert H. An efficient viscoelastic formulation for steady-state rolling structures // Computational Mechanics. 22. 1998. Pp. 395-403.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 281 с.
5. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. УрО РАН. 2003. 412 с.
6. Ломакин Е.В., Белякова Т.А., Зезин Ю.П. Нелинейное вязкоупругое поведение наполненных эластомерных материалов // Известия Саратовского университета. 2008. Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.3.
7. Белкин А.Е., Семенов В.К. Теоретический и экспериментальный анализ контакта массивной шины с беговым барабаном // Изв. РАН. МТТ. 2016. № 3. С. 71-82.
