Известны способы определения фрактальной размерности профиля инженерной поверхности и самой поверхности [1]. Кроме того, рассмотрен подход к оценке фрактальной размерности соединения, которая зависит от фрактальных размерностей сопряженных поверхностей. Разработанный алгоритм и соответствующая программа позволяют оценить фрактальную размерность поверхности с помощью показателя Херста и метода «периметр-площадь» (рис. 1).
Размерность по Херсту дает значение, равное 1,257 (для поверхности 2,257) вдоль одного направления и в перпендикулярном направлении – 1,249 (2,259). Практически можно считать данную поверхность изотропной. Оценка по методу «периметр‒площадь» дает близкий результат и составляет 2,325.
Площади пятен контакта являются площадями среза выступов на каком-то определенном уровне. На самом деле при определении площади пятна контакта следует учитывать состояние контакта: упругое, упругопластическое или пластическое. Так, при упругом контакте площадь физического контакта оказывается в два раза меньше, чем при пластическом. При оценке фрактальной размерности это обстоятельство не принимается во внимание, однако при оценке параметров контактного взаимодействия состояние контакта учитывается в уравнении размерного распределения площадей пятен контакта.
Параметры эквивалентной шероховатой поверхности
Расчет параметров контактного взаимодействия шероховатых поверхностей обычно производится путем адекватной замены на взаимодействие гладкой поверхности с эквивалентной шероховатой. Взаимодействие шероховатых поверхностей при малых нагрузках сопровождается формированием отдельных пятен, размеры и форма которых зависят от параметров шероховатости сопряженных тел и направлением следов обработки (рис. 3 и рис. 4).
Схема приведения к эквивалентной шероховатой поверхности представлена на рис. 5. Используем понятие первичная поверхность (primary surface), т. е. поверхность, не подверженная фильтрации и не зафиксированная в виде профилограммы (2D образ) или в 3D представлении. Математически первичная поверхность описывается уравнением Вейерштрасса-Мандельброта.
Используем понятие первичная поверхность (primary surface), т. е. поверхность, не подверженная фильтрации и не зафиксированная в виде профилограммы (2D образ) или в 3D представлении. Математически первичная поверхность описывается уравнением Вейерштрасса-Мандельброта.
В работе [2] приведена зависимость ординат поверхности относительно срединной плоскости в виде:
где 
– ординаты поверхности; DS – фрактальная размерность поверхности
(2,0 < DS < 3,0; DS = D + 1,0); γ – параметр масштаба, определяющий спектральную плотность и самоаффинность (γ > 1,0); L – длина, характеризующая наличие фрактальности; 
– случайная фаза равномерно распределена на отрезке [0, 2π]; M – количество вершин выступов на
рассматриваемом участке поверхности;
nmax = int[lg(L/LS)/lgγ] – целое число верхнего предела суммы; LS – длина, соответствующая размеру щупа; 
.
Случайная фаза используется для того, чтобы исключить совпадения частот в каждой точке профиля. Фрактальный параметр G является высотным масштабным показателем, не зависящим от частоты. некоторые фрактальные поверхности показаны на рис. 6.
Сопряжения двух фрактальных поверхностей, имеющих разные размерности, можно привести к сопряжению гладкой поверхности с поверхностью, имеющую эквивалентную шероховатость. Предлагается процедура такой замены, которая заключается в следующем. Площади сформированных пятен контакта подвергаются анализу. При этом фрактальная размерность определяется с помощью метода «периметр-площадь».
Для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный «остров» – пятно контакта (рис. 7).
При сближении шероховатых поверхностей формируется фактическая площадь контакта (ФПК), состоящая из дискретных пятен разных размеров. Считается, что при увеличении сближения поверхностей площадь среднестатистического пятна практически остается постоянной, однако при росте фактической площади контакта растет и площадь максимального пятна aL (рис. 2).
Анализ зависимости, представленной на рис. 10, показал значительное влияние отношения фактической площади контакта к площади максимального пятна. Установлен диапазон изменения рассматриваемого отношения, при котором соблюдается условие 1,0 < D < 2,0.
Точность оценки фрактальной размерности существенно зависит от точности определения фактической площади и площади максимального пятна контакта.
Процедура определения параметров контактного взаимодействия
Грубая оценка отношения может быть дана при известной фактической площади контакта, используя карту пятен касания и подсчитав их число. Тогда, разделив ФПК на число пятен, получаем среднюю площадь пятна . Максимальную площадь пятна найдем по формуле:
,
где 
Такой подход оправдан известным утверждением [3 – 11]: рост ФПК при увеличении нормальной на стык нагрузки происходит в основном за счет роста пятен контакта, высоты неровностей поверхностного слоя которых имеют вероятностное распределение.
В ряде случаев требуется получить более точную оценку ФПК и площадь максимального пятна. В этом случае эти площади можно определить, например, с помощью метода Монте-Карло.
Выводы
Разработана методика определения фрактальной размерности как поверхности, так и объекта – карты пятен контакта. Установлен диапазон изменения отношения фактической площади контакта к площади максимального пятна. Предложена процедура оценки фрактальной размерности, необходимой для определения параметров контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
