Two finite element simulation algorithms for heterogeneous properties including the connectivity of mechanical and electrical fields are considered. In the first instance, heterogeneous mechanical and piezoelectric properties of the body are given in the form of analytical relationships in certain classes of functions. The second method assumes that the functions describing the heterogeneous properties are known in a discrete set of points. The changes caused by inhomogeneous properties are taken into account under the calculation of the element matrices. For this, in the second case, the interpolation of heterogeneous properties within the body is implemented in two ways: using thin-plate splines, and J. Meinguet´s splines. The proposed algorithms are implemented as modules of the ACE-LAN finite element complex. Examples of using the developed software for the calculation of the stress strain state of inhomogeneous elastic and electroelastic bodies are presented.
functionally inhomogeneous elastic and electroelastic materials, splines, finite-element method.
Введение. Функционально-градиентные (ФГМ) материалы широко применяются в современном приборостроении, авиастроении, медицине и т. п. Физическое моделирование таких материалов дорого и не всегда возможно. Поэтому проектирование технических устройств, в которых используются ФГМ, опирается на теоретическое исследование напряжённо-деформированного состояния. В большинстве случаев оно основывается на численном математическом моделировании — например, в рамках метода конечных элементов (МКЭ). Поэтому разработка программного обеспечения (ПО), позволяющего проводить такое моделирование, представляется весьма актуальной. В настоящей статье рассматривается создание такого ПО для конечноэлементного комплекса ACELAN. В современных исследованиях выделяются два класса функционально неоднородных материалов. В первом случае неоднородность возникает при поляризации керамики, когда электродное покрытие имеет сложную геометрию [1]. В работе [2] рассматривается неоднородность другой природы. В неоднородном материале имеется трещина, которая подвергается структурному анализу при помощи метода Галёркина — Петрова. Вблизи трещины все свойства изменяются по одному закону (предполагается увеличение в ё*'5 раз). Исключение — тепловые коэффициенты, которые просто экспоненциально убывают по мере приближения к трещине. В настоящей статье разработан модуль конечноэлементного комплекса ACELAN для моделирования функционально неоднородных материалов, в том числе пьезоэлектрических керамик с неоднородной поляризацией. При этом функция распределения неоднородных свойств материала, зависящая от положения точки в теле, предполагается известной в виде либо функциональной зависимости, либо дискретного набора значений величин соответствующих физических свойств в определённых узлах. Описана методика интерполяции этих свойств на используемую конечноэлементную сетку. Приведены примеры решения задач для тел с неоднородными свойствами.
1. Belokon, А. V., Skaliukh, A. S. Matematicheskoye modelirovaniye neobratimykh protsessov polyarizatsii. [Mathematical simulation of polarization irreversible processes.] Moscow : FIZMATLIT, 2010, 328 p. (in Russian).
2. Sladek, 1, et al. Fracture analysis in continuously nonhomogeneous magneto-electro-elastic solids under a thermal load by the MLPG. International Journal of Solids and Structures, 2010, vol. 47, pp. 1381-1391.
3. Belokon, A. V., Nasedkin, A. V., Solovyev, A. N. Novyye skhemy konechnoelementnogo dinamicheskogo analiza pyezoelektricheskikh ustroystv. [New diagrams of finite-element dynamic analysis of piezoelectric devices.] Prikladnaya matematika i mekhanika, 2002, vol. 66, no. 3, pp. 491-501 (in Russian).
4. Ashkenazy, V. O. Splayn-poverkhnosti. Osnovy teorii i vychislitelnyye algoritmy. [Spline surfaces. Theoretical framework and computational algorithms.] Tver : Tverskoy gosudarstvennyy universitet, 2003, 82 p. (in Russian).
