Рассмотрены два алгоритма конечноэлементного моделирования неоднородных свойств, в том числе при связности механических и электрических полей. В первом случае неоднородные механические и пьезоэлектрические свойства тела задаются в виде аналитических зависимостей в некоторых классах функций. Во втором предполагается, что функции, описывающие неоднородные свойства, известны в дискретном наборе точек. Неоднородные свойства учитываются при вычислении элементных матриц. Для этого во втором случае интерполяция неоднородных свойств внутри тела осуществляется двумя способами: с помощью сплайнов, реализующих модель тонкой упругой пластины, и сплайнов Ж. Менге. Предложенные алгоритмы реализованы в виде модулей конечноэлементного комплекса ACELAN. Разработанное программное обеспечение может быть использовано при решении статических и динамических задач для неоднородных упругих и электроупругих тел. Приведены соответствующие примеры.
функционально неоднородные упругие и электроупругие материалы, сплайны, метод конечных элементов.
Введение. Функционально-градиентные (ФГМ) материалы широко применяются в современном приборостроении, авиастроении, медицине и т. п. Физическое моделирование таких материалов дорого и не всегда возможно. Поэтому проектирование технических устройств, в которых используются ФГМ, опирается на теоретическое исследование напряжённо-деформированного состояния. В большинстве случаев оно основывается на численном математическом моделировании — например, в рамках метода конечных элементов (МКЭ). Поэтому разработка программного обеспечения (ПО), позволяющего проводить такое моделирование, представляется весьма актуальной. В настоящей статье рассматривается создание такого ПО для конечноэлементного комплекса ACELAN. В современных исследованиях выделяются два класса функционально неоднородных материалов. В первом случае неоднородность возникает при поляризации керамики, когда электродное покрытие имеет сложную геометрию [1]. В работе [2] рассматривается неоднородность другой природы. В неоднородном материале имеется трещина, которая подвергается структурному анализу при помощи метода Галёркина — Петрова. Вблизи трещины все свойства изменяются по одному закону (предполагается увеличение в ё*'5 раз). Исключение — тепловые коэффициенты, которые просто экспоненциально убывают по мере приближения к трещине. В настоящей статье разработан модуль конечноэлементного комплекса ACELAN для моделирования функционально неоднородных материалов, в том числе пьезоэлектрических керамик с неоднородной поляризацией. При этом функция распределения неоднородных свойств материала, зависящая от положения точки в теле, предполагается известной в виде либо функциональной зависимости, либо дискретного набора значений величин соответствующих физических свойств в определённых узлах. Описана методика интерполяции этих свойств на используемую конечноэлементную сетку. Приведены примеры решения задач для тел с неоднородными свойствами.
1. Белоконь, А. В. Математическое моделирование необратимых процессов поляризации / А. В. Белоконь, А. С. Скалиух. - Москва : ФИЗМАТЛИТ. - 2010. - 328 с.
2. Fracture analysis in continuously nonhomogeneous magneto-electro-elastic solids under a thermal load by the MLPG / J. Sladek [et al.] // International Journal of Solids and Structures. - 2010. - Vol. 47. - Pp. 1381-1391.
3. Белоконь, А. В. Новые схемы конечноэлементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств / А. В. Белоконь, А. В. Наседкин, А. Н. Соловьёв // Прикладная математика и механика. - 2002. -Т. 66, № 3. - С. 491-501.
4. Ашкеназы, В. О. Сплайн-поверхности. Основы теории и вычислительные алгоритмы / В. О. Ашкеназы. -Тверь : Тверской гос. ун-т, 2003. - 82 с.
