Golden proportion’s graphic plotting methods have been considered. A history related to gradual development of views on Golden section problem as «law of beauty» is traced. Numerical ratios most frequently used in the art for approximations related to division of a line segment in extreme and mean ratio have been provided. An original scheme for «Golden rectangle» construction based on application offered by Leonardo da Vinci for the quadrature of circle problem solution has been proposed.
Golden section, geometry, mathematics, numbers’ magic.
Термин «золотое сечение» появился в математике XVII столетия (различные источники приписывают его разным авторам), но соотношения, о которых идет речь, применяются на практике с глубокой древности и прослеживаются еще в древнеегипетской скульптуре и архитектуре эпохи Древнего царства (см., напр. [4]). Геометрическая интерпретация этого соотношения дана в IV книге «Начал» Евклида [7, с. 173–174] в связи с делением окружности на 5 и 10 равных частей, а также построением правильной пятиконечной звезды, которая, являясь в античные времена эмблемой тайного общества пифагорейцев, прошла через Зрелое Средневековье в качестве символа масонских лож и, наконец, в XX столетии оказалась в государственной символике СССР и США.
Гете в первой сцене Фауста с Мефистофелем приписывает этому символу, называемому пентаграммой, магические свойства, подавляющие волю дьявола и не позволяющие ему покинуть комнату. На самом деле отрезки, составляющие правильный пятиугольник и вписанную в него пентаграмму, либо равны между собой, либо находятся в соотношении, которое в искусстве и Античности, и Нового времени рассматривалось как проявление Божественного Закона Красоты (рис. 1).
Первый систематический научный труд с исследованием пропорций, и в особенности рассматриваемого соотношения, принадлежит, видимо, тосканскому монаху [6, с. 154–158] Луке Пачоли (1445–1517) и опубликован в 1509 г. под названием De divina proportione («О Божественной пропорции»). Считают, что знаменитые геометрические рисунки Леонардо да Винчи выполнены в качестве иллюстраций для этого издания.
Прежде всего важно отметить, что подходы к проблеме золотой пропорции как математического закона красоты — в разные эпохи отличались примерно так же, как и подходы к математике вообще. Их можно пояснить с помощью заголовков в лекциях по математике великого Феликса-Христиана Клейна (см. [4]):
Античный мир — Геометрия;
Средневековье — Алгебра;
Новое время — Анализ.
1. Butusov K.P. «Zolotoe sechenie» v Solnechnoy sisteme [«Golden Section» in the solar system]. Trudy VAGO [Works WAGO]. I. 7. Moscow, Leningrad, 1978.
2. Voloshinov A.V. Matematika i iskusstvo [Mathematics and Art]. Moscow, 2000.
3. Ivlev S.A. Khudozhestvennaya kul´tura Drevnego Vostoka [Artistic culture of the ancient East]. Moscow, 2001.
4. Kleyn F. Elementarnaya matematika s tochki zreniya vysshey [Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint]. V. 1. Moscow, Leningrad, 1933.
5. Korobko V.I. Zolotaya proportsiya i problemy garmonii system [The golden proportion and harmony of systems problems]. Moscow, 1997.
6. Kedzhori F. Istoriya elementarnoy matematiki [History of elementary mathematics]. Odessa, 1910.
7. Nachala Evklida s poyasnitel´nym vvedeniem i tolkovaniyami M.E. Vashchenko-Zakharchenko [Euclid with an explanatory introduction and interpretations M.E. Vashchenko-Zakharchenko]. Kiev, 1880.
8. Radzyukevich A.V. Krasivaya skazka o «zolotom sechenii» [A beautiful fairy tale about «the golden section»]. Akademiya Trinitarizma [Academy of Trinitarism]. Available at: www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320016.htm (Accessed 17 February 2006) (in Russian)
9. Rudio F. O kvadrature kruga. Arkhimed, Gyuygens, Lambert, Lezhandr [On squaring the circle. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre]. Moscow, Leningrad, 1936.
10. Timerding G.E. Zolotoe sechenie [The Golden Section]. Petrograd, 1924.
11. Zorko G.F. Nuovo grande dizionario Italiano-Russo. Moscow, 2006.
