The article discusses matrix games with fuzzy winnings used in solving a wide class of economic problems. On the set of their situations a fuzzy set “the situation is equilibrium” is built. The solution of the game is to consider the situation for which the value of the membership function of the specified fuzzy set is maximal. Any game has a specified solution in pure strategies. For games with prizes in the form of fuzzy triangular numbers, an algorithm is proposed for finding the solution of the game. Provides a meaningful example.
solution of matrix games, theory of fuzzy sets, theory fuzzy logic
Матричные игры находят широкое применение во многих прикладных областях. В частности, они широко применяются в экономике. В данной статье рассматривается проблема определения понятия решения матричной игры с нечеткими выигрышами. Этой и связанным с ней проблемам посвящено достаточно большое число работ. В имеющихся публикациях рассматриваются подходы, использующие ранжирования нечетких чисел, отношения возможности и необходимости, нечеткие множества, заданные на множестве выигрышей и (или) стратегий, идеи Беллмана-Заде и некоторые другие подходы.
В [1] (применительно к нечеткой игре двух лиц) J. Buckley предполагает, что каждый игрок имеет свою цель. На множестве своих стратегий игрок задает нечеткое множество цели, зависящее, вообще говоря, от стратегии противника. Кроме того, игрок выражает свою неопределенность относительно того, какую стратегию будет использовать противник, определяя соответствующее нечеткое множество на множестве его стратегий. Используя идеи Заде и Беллмана [2], игрок на базе указанных нечетких множеств строит нечеткое множество с функцией принадлежности, равной минимуму из функций принадлежности указанных множеств. Стратегия, на которой достигается максимум этой функции, считается оптимальной.
I. Nishizaki и M. Sakawa в [3-6] для каждой ситуации (в смешанных стратегиях) и каждого игрока определяют нечеткий ожидаемый выигрыш и его функцию принадлежности. На множестве возможных четких значений выигрышей игрока задается нечеткое множество цели. На основе идей Заде и Беллмана определяется нечеткое решение (степень достижения нечеткой цели).
Степень принадлежности того факта, что при полученном выигрыше данная ситуация принадлежит нечеткому решению равна минимуму из степени принадлежности этого выигрыша нечеткой цели и степени уверенности в получении этого выигрыша в данной ситуации. Степень принадлежности данной ситуации нечеткому решению равна максимальной из описанных ранее степеней. Решением исходной игры считается ситуация, равновесная в игре с выигрышами, равными значениям функции принадлежности нечеткого решения на ожидаемом нечетком выигрыше в этой ситуации.
Aristidou и Sarangi в [7] на множестве стратегий каждого игрока задается нечеткое множество с функцией принадлежности
– множество стратегий i-го игрока. На множестве ситуаций S
для каждого игрока задается нечеткая цель с функцией принадлежности
и нечеткое решение с функцией принадлежности
. Ситуация
считается равновесной по Нэшу, если она равновесная в игре с выигрышами, равными .
Аналогичный подход предлагают C. Cevikel и M. Ahlatcioglu в [8], где ими рассматривается минимум из значения функции принадлежности нечеткого выигрыша и степени достижения нечеткой цели. В качестве решения игры предлагается ситуация, для которой этот минимум принимает максиминное значение.
В [9] О.В. Серая и Т.И. Каткова рассматривают матричные игры с нечеткими треугольными выигрышами. Используется композиционный критерий, учитывающий меру близости получаемого решения к модальному и уровень неопределенности в отношении получаемого в результате нечеткого значения цены игры. Отталкиваясь от минимальных и максимальных значений выигрышей, находится пессимистическое и оптимистическое решения.
В [10] I. Nishizaki и H. Yano рассматривают игру двух лиц с нулевой суммой с несколькими выигрышами, задаваемыми соответствующими матрицами. Каждой ситуации в игре соответствует вектор выигрышей. Каждый игрок имеет нечеткую цель по каждой координате вектора выигрышей, определенную на множестве соответствующих выигрышей. На основе этих нечетких целей вводится понятие пессимистического Парето оптимального решения.
В [11] S. Kumar рассматривает многокритериальные (нас интересует случай, когда критерий один) матричные игры двух лиц с четкими выигрышами и нечеткими целями. Используется подход Заде – Беллмана. Строится функция принадлежности нечеткой цели, выражающая степень принадлежности рассматриваемого выигрыша интервалу от минимально до максимально возможного выигрыша. Определяется максиминное значение степени достижения нечеткой цели.
Первая модель, использующая ранжирование нечетких чисел, была рассмотрена Кампосом (Campos) [12].
У T. Maeda [13] на множестве нечетких чисел вводятся варианты отношения нечеткого порядка. С использованием ранжирования вводятся понятия минимаксных равновесных стратегий и их модификаций (недоминируемые и слабо недоминируемые).
В [14] V. Vijay, S. Chandra, A. Mehra и C.R. Bector, вводя нечеткий порядок, задают уровни устремленности (цели) и с их использованием формулируют понятие решения. Вводятся отношения возможности и необходимости. На их основе вводятся понятия приемлемого решения, равновесного решения и решения.
В [15] A. Chakeri с соавторами cтроят нечеткое отношение предпочтения и по нечеткой игре строят четкую, в [16] A. Chakeri с соавторами для построения решения используют ранжирование нечетких чисел.
В [17] A. Chakeri, N. Sadati и Guy A. Dumont, используя ранжирование нечетких чисел, строят отношение нечетких предпочтений, затем полученные приоритеты выигрышей рассматриваются как оценки возможности быть равновесными.
В [18] L. Cun-lin и Z. Qiang, следуя T. Maeda [13], вводят отношение на множестве нечетких чисел и ситуацию равновесия. Рассматриваются параметрические игры, выигрыши в них зависят от двух параметров и при фиксированных значениях этих параметрах становятся четкими. L. Cun-lin в [19] строит решение на основе нескольких видов порядков, предложенных T. Maeda.
Л.Ф. Василевич в [20] рассматривает матричные игры с нечеткими трапецеидальными выигрышами. С помощью ранжирования специального вида переходит к четким выигрышам, затем с использованием метода Брауна-Робертсона строится решение игры.
D. Qiu , W. Zhang, Y. Xing в [21] рассматривают нечеткие неравенства и с их помощью вводят многоцелевые ситуации равновесия.
В [22] K.N. Kudryavtsev, I.S. Stabulit, V.I. Ukhobotov определяют равновесие по Нэшу, используя разные способы сравнения нечетких чисел.
В [23] D. Qiu, Y. Xing, S. Chen рассматривается биматричная игра с нечеткими треугольными выигрышами. С помощью функции ранжирования значений переходят к игре с четкими выигрышами.
D.-F. Li в [24] тоже использовал упорядочение нечетких чисел.
В [25] V. Vijay, S. Chandra, C.R. Bector предлагают два подхода к решению рассматриваемых игр, первый основывается на ранжировании нечетких чисел, второй – на упорядочении нечетких чисел с использованием меры возможности.
В [26] B. Dutta, S.K. Gupta вводят порядок на множестве трапециидальных нечетких чисел. Для определения ситуация равновесна используются нечеткие неравенства, которые вводятся с использованием a–
сечений. Рассматривается Парето-Неш равновесие.
В [27] авторы предлагают новый подход к решению рассматриваемых игр на основе α-сечений множеств треугольных нечетких чисел. Вводится понятие приемлемого решения (с нечеткими неравенствами), на его основе – решение.
S.T. Lui, C. Kao в [28] и J.J. Buckley, L.J. Jowers в [29] строят решение, используя α-сечения.
В [30, 31, 32] авторы с помощью дефаззификации (разными методами) переходит к четкой игре, решение которой и считается решением исходной игры.
В [33] авторы, используя подходящую функцию дефаззификации, осуществляют ранжирование нечетких чисел, вводят понятия приемлемого решения и на его основе решения. У них же в [34] решение концептуализируется с использованием подходящей функции дефаззификации, задаются уровни устремленности игроков и их толерантность, задается порядок на множестве нечетких чисел, определяется понятие решения игры.
В [35] A. Chakeri, S. Sharifian и F. Sheikholeslam описывают возможность использования нечеткого лингвистического отношения предпочтения в теории игр. Для получения предпочтений в соответствии с разницей между выплатами строится нечеткий набор правил «если – то».
D. Garagic, J. Cruz в [36] разделяют нечеткую игру на три процесса: фаззификация, вывод и дефаззификация. Создается матрица нечетких предпочтений с использованием правил «если–то». После дефаззификации получается четкая игра, равновесие Нэша которой рассматриваются как решения в исходной.
В [37] L. Xu, R. Zhao, T. Shu исследуют три похода к определению минимаксной равновесной стратегии: ожидаемая минимаксная равновесная стратегия, r – возможная минимаксная равновесная стратегия и r – надежная минимаксная равновесная стратегия.
A. Chakeri и F. Sheikholeslam в [38] вводят понятие функции удовлетворения, учитывая точки зрения игроков (оптимистическая, нормальная, пессимистическая и т.п.). Эта функция выражает степень уверенности в справедливости арифметического неравенства. С использованием этой функции определяется степень возможности того, что ситуация является равновесной по Нэшу.
В [39] Q. Song, А. Kandel предлагают подход, использующий многокритериальный метод принятия решений для получения оптимальной стратегии в игре.
Желающих более подробно ознакомиться с литературой по рассматриваемому вопросу отсылаем к обзорам [40, 41].
Напомним необходимые для дальнейшего понятия теории матричных игр [42, 43] и теории нечетких множеств [2, 44–46].
Матричной игрой
называется игра двух игроков, в которой каждый из них имеет конечное число способов поведения (стратегий). Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают по стратегии, после чего каждый из них получает определенный выигрыш, при этом сумма полученных выигрышей равна нулю.
В плане дальнейшего развития изложенного подхода, на наш взгляд, представляют интерес следующие направления исследований:
– обобщение результатов на произвольные нечеткие величины;
– нахождение условий, при которых степень надежности ситуации, являющейся решением, не меньше заданной величины;
– построение решения, основываясь на идеях Заде – Беллмана [2], с учетом степени принадлежности рассматриваемой ситуации нечеткой цели;
– обобщение результатов на случай бескоалиционных игр с конечным числом игроков и на случай игр с несколькими матрицами выигрышей у каждого из игроков.
Таким образом, в представленной статье на множестве присущих экономическим системам ситуаций строится нечеткое множество. Значениями его функции принадлежности является максимальное на рассматриваемом универсальном множестве игр значение надежности того, что рассматриваемая ситуация является седловой точкой. Ситуация, для которой указанное значение максимально, предлагается считать решением рассматриваемой нечеткой игры. Для случая, когда выигрыши задаются треугольными нечеткими числами, предлагается подход к отысканию решения, использующий линейное программирование.
Новизна заключается в новом подходе к построению описанного нечеткого множества и, как следствие, в новом определении понятия решения для рассматриваемого класса игр.
1. J. Buckley. Multiple goals non cooperative conflict under uncertainty: a fuzzy set approach. Fuzzy Sets and Systems, 13, 1984. P. 107-124.
2. Zadeh L.H., Bellman R.E. Decition-making in a fuzzy environment. - Managem Sci., 1970, vol. 17. P.141-164.
3. I. Nishizaki, M. Sakawa. Max-min solution for fuzzy multiobjective matrix games. Fuzzy Sets and Systems, 67(1), 1994. P. 53-69.
4. I. Nishizaki, M. Sakawa. Equilibrium solutions for multiobjective bimatrix games incorporating fuzzy goals. Journal of optimization theory and applications, 86(2), 1995. P. 433-457.
5. I. Nishizaki M. Sakawa. Equilibrium solutions in multiobjective bimatrix games with fuzzy pay-offs and fuzzy goals. Fuzzy Sets and Systems, volume 111, issue 1, 2000. P. 99-116.
6. I. Nishizaki, M. Sakawa. Fuzzy and Multiobjective Games for Conflict Resolution, New York: Physica-Verlag, 2001.
7. M. Aristidou, S. Sarangi. Games in fuzzy environments. Southern Economic Journal, 72(3), 2006. P. 645-659.
8. A. Cevikel, M. Ahlatcioglu. A linear Interactive Solution Concept for Fuzzy Multiobjective Games. European Journal of Pure and Applied Mathematics, 3(1), 2010. P. 107-117.
9. Seraya O.V., Katkova T.I. Zadacha teorii igr s nechetkoy platezhnoy matricey. Matematicheskie mashina i sistemy. - 2012. - №2. - C. 29-36.
10. I. Nishizaki, H. Yano. Interactive Fuzzy Approaches for Solving Multiobjective Two-Person Zero-Sum Games, Applied Mathematics, vol.7 no.5, 2016. P. 387-398/
11. S. Kumar. Max-min solution approach for multi-objective matrix game with fuzzy goals. Yugo-slav Journal of Operations Research, 26 (2016), number 1. P. 51-60.
12. L. Campos. Fuzzy linear programming models to solve fuzzy matrix games. Fuzzy Sets and Systems, 32 (3), 1989. P. 275-289.
13. T. Maeda. On characterization of equilibrium strategy of two-person zero-sum games with fuzzy payoffs. Fuzzy Sets and Systems,139 (2003). P. 283-296.
14. V. Vijay, A. Mehra, S. Chandra . C. R. Bector. Fuzzy matrix games via a fuzzy relation ap-proach, 2007. https://www.academia.edu/26211379/Fuzzy_matrix_games_via_a_fuzzy_relation_approach
15. A. Chakeri, A. Dariani, C. Lucas. How can fuzzy logic determine game equilibriums better. In-telligent Systems (IS'08), 4-th International IEEE Conference, vol. 1, 2008. P. 2-51-2-56.
16. A. Chakeri, N. Sadati, S. Sharifian. Fuzzy Nash equilibrium in fuzzy games using ranking fuzzy numbers. IEEE International Conference on Fuzzy Systems (FUZZ), 2010. R. 1-5.
17. A. Chakeri, N. Sadati, Guy A. Dumont. Nash Equilibrium Strategies in Fuzzy Games. 2013. https://www.intechopen.com/books/game-theory-relaunched/ nash-equilibrium-strategies-in-fuzzy-games
18. L. Cunlin Li, Z. Qiang, Nash equilibrium strategy for fuzzy non-cooperative games. Fuzzy Sets and Systems, 176(1). August 2011R. 46-55.
19. L. Cun-lin. Characterization of the Equilibrium Strategy of Fuzzy Bimatrix Games Based on L-R Fuzzy Variables. 2012. http://dx.doi.org/10.1155/2012/824790.
20. Vasilevich L.F. Reshenie nechetkih matrichnyh igr. zavantag.com /docs/2010/index-21314.html
21. D. Qiu, W. Zhang, Y. Xing. Multi-objective Fuzzy Bi-matrix Game Model. 2017. https://www.researchgate.net/publication/319134352_Multi-objective_Fuzzy_ Bi-matrix_Game_Model_A_Multicriteria_Non-Linear_Programming_Approach
22. K. N. Kudryavtsev, I. S. Stabulit, V. I. Ukhobotov. A Bimatrix Game with Fuzzy Payoffs and Crisp Game, 2017. https://www.researchgate.net/publication/321084657_A_Bimatrix_Game_with_Fuzzy_Payoffs_and_Crisp_Game
23. D. Qiu , Y. Xing, S. Chen. Solving fuzzy matrix games through a ranking value function meth-od. J. Math. Computer Sci., 18 (2018). P. 175-183.
24. D.-F. Li. A fuzzy multi-objective approach to solve fuzzy matrix games, The Journal of Fuzzy Mathematics, 7, 1999. R. 907-912.
25. V. Vijay, S. Chandra, C. R. Bector. Bimatrix games with fuzzy payoffs and fuzzy goals. Fuzzy Optimization and Decision Making, 3, 2004. P. 327-344.
26. B. Dutta, S. Gupta. On Nash equilibrium strategy of two-person zero-sum games with trapezoi-dal fuzzy payoffs. Fuzzy Information and Engineering, 6(3). P. 299-314.
27. Mijanur Rahaman Seikh, Prasun Kumar Nayak, Madhumangal Pal. An alternative approach for solving fuzzy matrix games. International Journal of Mathematics and Soft Computing, vol.5, no. 1, 2015. P. 79-92.
28. S. Lui, C. Kao. Solution of fuzzy matrix games: an application of the extension principle. Inter-national Journal of Intelligent Systems, 22, 2007. P. 891-903.
29. J. Buckley, L. Jowers. Fuzzy two-person zero-sum games, in: J.J. Buckley, L.J. Jowers (Eds.), Monte Carlo Methods in Fuzzy Optimization, Springer, Berlin, Heidelberg, 2008. P. 165-173.
30. Laxminarayan Sahoo, Effect of defuzzification methods in solving fuzzy matrix games, Re-ceived: 22.05.2015 Published: 11.11.2015 Year: 2015, number: 8, pages: 51-64 Original Article, Journal of New Theory.
31. Laxminarayan Sahoo. An approach for solving fuzzy matrix games using signed distance meth-od. ISSN 1746-7659, England, UK Journal of Information and Computing Science, vol. 12, no. 1, 2017. P. 073-080.
32. T. Stalin, M. Thirucheran. Solving Fuzzy Matrix Games Defuzzificated by Trapezoidal Parabolic Fuzzy Numbers. International Journal for Scientific Research & Development. Vol. 3, Issue 10, 2015. ISSN (online): 2321-061, P. 1006-1010.
33. C. R. Bector S. Chandra, V. Vijay. Duality in linear programming with fuzzy parameters and matrix games with fuzzy payoffs, Fuzzy Sets and Systems, 146, 2004. P. 253-269.
34. V. Vijay, S. Chandra, C. R. Bector. Matrix Games with Fuzzy Goals and Fuzzy Payoffs. Ome-ga. vol. 33, 2004, P. 425-429.
35. A. Chakeri, S. Sharifian, F. Sheikholeslam. Linguisitic representation of Nash equilibriums in fuzzy games, 2010. https://www.researchgate.net/publication/251946853_Linguisitc_representation_of_Nash_equilibriums_in_fuzzy_games
36. D. Garagic, J. Cruz (2003). An Approach to Fuzzy Non-Cooperative Nash Games. J. Optim. Theory Appl. 118: 475-491.
37. L. Xu, R. Zhao, T. Shu, Three equilibrium strategies for two-person zero-sum games with fuzzy payoffs, in: L. Wang, Y. Jin (Eds.), Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, Springer, Heidel-berg, 2005, p. 350-354.
38. A. Chakeri, F. Sheikholeslam. Fuzzy Nash Equilibriums in Crisp and Fuzzy Games, IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 21(1), 2013. P. 171-176.
39. Q. Song, A. Kandel (1999). A Fuzzy Approach to Strategic Games. IEEE Trans. Fuzzy Syst. 7: 634-642.
40. C. R. Bector, S. Chandra. Fuzzy mathematical programming and fuzzy matrix games. Springer Verlag, Berlin, Germany, 2005. bookfi.net/book/490613
41. M. Larbani, (2009). Non cooperative fuzzy games in normal form: A survey. Fuzzy Sets and Systems, 160(22), P. 3184-3210.
42. Petrosyan L.A. Teoriya igr: Ucheb. posobie dlya un-tov:/ L. A. Petrosyan, N. A. Zenkevich, E. A. Semina. - M.: Vyssh. shk., Knizhnyy dom «Universitet», 1998. - 304 s.
43. Dzh. fon Neyman, O. Morgenshtern Teoriya igr i ekonomicheskoe povedenie. - M.: Nauka, 1970. - 707 s.
44. Kofman A. Vvedenie v teoriyu nechetkih mnozhestv. - M.: Radio i svyaz', 1982. - 429 s.
45. Zadeh L.A. Fuzzy sets. - Information and Control, 1965, v. 8, № 3, P. 338-353.
46. Shtovba S.D. Vvedenie v teoriyu nechetkih mnozhestv i nechetkuyu logiku. - Vinnica: UNIVERSUM-Vinnica, 2001. - 71 s.
47. Zade L. Ponyatie lingvisticheskoy peremennoy i ego primenenie k prinyatiyu priblizhennyh resheniy. - M.: Mir, 1976. - 166 s.
48. Orlovskiy S.A. Problemy prinyatiya resheniy pri nechetkoy ishodnoy informacii. - M.: Nauka. Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoy literatury, 1981. - 206 s.
49. Terano T., Asai K., Sugeno M. Prikladnye nechetkie sistemy. - M.: Mir, 1993. - 368 s.
50. Chernyh A.K., Kozlova I.V., Vilkov V.B. Voprosy prognozirovaniya material'no-tehnicheskogo obespecheniya s ispol'zovaniem nechetkih matematicheskih modeley //Problemy upravleniya riskami v tehnosfere. - 2015. - № 4 (36). - S. 107-117.
51. Vilkov V.B., Chernyh A.K., Gar'kushev A.Yu., Sazykin A.M. Ocenka kachestva resheniy na primenenie vnutrennih voysk na osnove mnogokriterial'noy optimizacii // Voprosy oboronnoy tehniki. Seriya 16: Tehnicheskie sredstva protivodeystviya terrorizmu. - 2016. - № 1-2 (91-92). - S. 43-50.
52. Anisimov V.G., Anisimov E.G., Vorob'ev A.S., Gasyuk D.P., Sosyura O.V. Osnovy teorii effektivnosti boevyh deystviy raketnyh voysk i artillerii. - M.: Ministerstvo oborony RF, 2003. - 168 s.
53. Chernyh A.K., Vilkov V.B. Upravlenie bezopasnost'yu transportnyh perevozok pri organizacii material'nogo obespecheniya sil i sredstv MChS Rossii v usloviyah chrezvychaynoy situacii // Pozharovzryvobezopasnost'. - 2016. - T. 25. - № 9. - S. 52-59.
54. Anisimov V.G., Gar'kushev A.Yu., Sazykin A.M. Optimizaciya vnedreniya novyh tehnologiy v perspektivnye obrazcy artilleriyskogo vooruzheniya // Izvestiya Rossiyskoy akademii raketnyh i artilleriyskih nauk. - 2012. - № 4 (74). - S. 39-44.
55. Balyasnikov V.V., Vedernikov Yu.V., Anisimov V.G., Anisimov E.G. Model' prichinnogo analiza na osnove ispol'zovaniya dannyh ob osobyh situaciyah // Voprosy oboronnoy tehniki. Seriya 16: Tehnicheskie sredstva protivodeystviya terrorizmu. - 2015. - № 1-2 (79-80). - S. 31-38.
56. Anisimov V.G., Anisimov E.G., Bogoeva E.M. Formalizaciya procedury risk-orientirovannogo podhoda pri vypolnenii gosudarstvennymi organami kontrol'nyh funkciy // Vestnik Rossiyskoy tamozhennoy akademii. - 2014. - № 4. - S. 96-102.
57. Tebekin A.V., Tebekin P.A. Klassifikaciya metodov prinyatiya upravlencheskih resheniy na osnove optimizacii pokazateley effektivnosti // Zhurnal issledovaniy po upravleniyu. -2018. - T. 4. - № 4. - S. 13-24.
58. Tebekin A.V., Anisimov V.G., Anisimov E.G. Nelineynaya model' optimizacii parametricheskih ryadov v sistemah upravleniya. // Vestnik Rossiyskoy tamozhennoy akademii. - 2015. - № 3 (32). - S. 115-122.
