The aim of this paper is the efficiency improvement of one of the most advanced techniques of solving the elliptic boundary value problems – the field point-source method designated as the fundamental solution technique in the foreign literature. Now it is used primarily for solving Laplace equation. Several alternate numerical solutions to the boundary value problems for Poisson’s equation using the field point-source method are proposed. This method application to the nonhomogeneous equation solution, such as Poisson’s equation, in most cases leads to the dramatic increase of the numerical error due to mistakes in Poisson’s equation specific solution. The right member of Poisson´s equation is approximated by a two-dimensional trigonometric polynomial (in the solution of two-dimensional boundary value problems), then it becomes possible to obtain the specific solution necessary for solving an initial boundary value problem by the field point-source method. The testing results of the proposed technique imply its efficiency, as they allow obtaining the solution with a relative error of 10–6 at minimum machine time spending. The developed technique of the numerical solution to the boundary value problems for Poisson equation can be used for modeling physical fields in the engineering devices of various applications.
Poisson equation, elliptic boundary value problems, field point-source method, method of fundamental solutions.
УДК 519.8
Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля1
С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян
Целью работы является повышение эффективности одного из перспективных методов решения краевых задач для уравнений эллиптического типа ¾ метода точечных источников поля, в зарубежной литературе называемого также методом фундаментальных решений, который в настоящее время используется в первую очередь для решения уравнения Лапласа. Предложено несколько вариантов численного решения краевых задач для уравнения Пуассона с использованием метода точечных источников поля. Применение этого метода к решению неоднородных уравнений, таких как уравнение Пуассона, приводит в большинстве случаев к резкому возрастанию численной погрешности, что связано с ошибками при нахождении частного решения уравнения Пуассона. Правая часть уравнения Пуассона аппроксимируется двумерным тригонометрическим многочленом (при решении двумерных краевых задач), после чего становится возможным получение частного решения, необходимого для решения исходной краевой задачи методом точечных источников поля. Результаты тестирования предложенного способа численного решения краевых задач для уравнения Пуассона свидетельствуют о его эффективности, так как позволяют получать решение с относительной погрешностью 10–6 при минимальных затратах машинного времени. Разработанная методика численного решения краевых задач для уравнения Пуассона может быть использована при моделировании физических полей в технических устройствах различного назначения.
----------------------------------------
1Работа выполнена по грантам РФФИ 13-07-00952-а и 14-07-00705-а.
1. Aleksidze, М.А. Fundamentalnyye funktsii v priblizhennykh resheniyakh granichnykh zadach. [Fundamental functions in approximate solutions to boundary problems.] Moscow: Nauka, 1991, 352 p. (in Russian).
2. Fairweather, G., Karageorghis, A. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems. Ad. Vol. Comput. Math., 1998, vol. 9, pp. 6995.
3. Bakhvalov, Y.A., Knyazev, S.Y., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoye modelirovaniye fizicheskikh poley metodom tochechnykh istochnikov. [Mathematical modeling of physical fields by point-source method.] Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya. 2008б vol. 72, no. 9, pp. 12591261 (in Russian).
4. Knyazev, S.Y. Ustoychivost i skhodimost metoda tochechnykh istochnikov polya pri chislennom reshenii krayevykh zadach dlya uravneniya Laplasa. [Stability and convergence of field point-source method under numerical solution to boundary value problems for Laplace equation.] Izvestiya vuzov. Elektromekhanika. 2010, no. 1, pp. 312 (in Russian).
5. Chen, C. S., Golberg, M.A. A domain embedding method and quasi-Monte Carlo method for Poisson’s equation. BEM 17. C.A. Brebbia, S. Kim, T.A. Osswald and H. Power, eds. Southampton: Comput. Mech. Publ., 1995, pp. 115122.
6. Golberg, M.A, Chen, C.S. An efficient mesh-free method for nonlinear reaction-diffusion equations. MES 2 (1), 2001, vol. 2 (1), pp. 8795.
7. Li, X. Convergence of the method of fundamental solutions for Poisson’s equation on the unit sphere. Adv. Comput. Math. 2008, vol. 28, pp. 269282.
8. Knyazev, S.Y. Chislennoye resheniye uravneniy Puassona i Gelmgoltsa s pomoshchyu metoda tochechnykh istochnikov [Numerical solution to Poisson and Helmholtz equations using point-source method.] Izvestiya vuzov. Elektromekhanika. 2007, no. 2, pp. 7778 (in Russian).
9. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Resheniye granichnykh zadach matematicheskoy fiziki metodom tochechnykh istochnikov polya. [Solution to boundary-value problems of mathematical physics by field point-source method.] Izvestiya vuzov. Elektromekhanika. 2007, no. 3, pp. 1115 (in Russian).
10. Alves, C. J. S., Chen, C.S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems. Advances in Computational Mathematics, 2005, vol. 23, pp. 125142.
11. Berezin, I.S., Zhidkov, N.P. Metody vychisleniy. [Computing techniques.] Moscow: Nauka, 1966, 632 p. (in Russian).
12. Gradstein, I.S., Ryzhik, I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy. [Tables of integrals, sums, series, and products.] Moscow: Fizmatgiz, 1963, 1100 p. (in Russian).
