Целью работы является повышение эффективности одного из перспективных методов решения краевых задач для уравнений эллиптического типа метода точечных источников поля, в зарубежной литературе называемого также методом фундаментальных решений, который в настоящее время используется в первую очередь для решения уравнения Лапласа. Предложено несколько вариантов численного решения краевых задач для уравнения Пуассона с использованием метода точечных источников поля. Применение этого метода к решению неоднородных уравнений, таких как уравнение Пуассона, приводит в большинстве случаев к резкому возрастанию численной погрешности, что связано с ошибками при нахождении частного решения уравнения Пуассона. Правая часть уравнения Пуассона аппроксимируется двумерным тригонометрическим многочленом (при решении двумерных краевых задач), после чего становится возможным получение частного решения, необходимого для решения исходной краевой задачи методом точечных источников поля. Результаты тестирования предложенного способа численного решения краевых задач для уравнения Пуассона свидетельствуют о его эффективности, так как позволяют получать решение с относительной погрешностью 10–6 при минимальных затратах машинного времени. Разработанная методика численного решения краевых задач для уравнения Пуассона может быть использована при моделировании физических полей в технических устройствах различного назначения.
уравнение Пуассона, уравнения эллиптического типа, метод точечных источников поля, метод фундаментальных решений.
УДК 519.8
Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля1
С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян
Целью работы является повышение эффективности одного из перспективных методов решения краевых задач для уравнений эллиптического типа ¾ метода точечных источников поля, в зарубежной литературе называемого также методом фундаментальных решений, который в настоящее время используется в первую очередь для решения уравнения Лапласа. Предложено несколько вариантов численного решения краевых задач для уравнения Пуассона с использованием метода точечных источников поля. Применение этого метода к решению неоднородных уравнений, таких как уравнение Пуассона, приводит в большинстве случаев к резкому возрастанию численной погрешности, что связано с ошибками при нахождении частного решения уравнения Пуассона. Правая часть уравнения Пуассона аппроксимируется двумерным тригонометрическим многочленом (при решении двумерных краевых задач), после чего становится возможным получение частного решения, необходимого для решения исходной краевой задачи методом точечных источников поля. Результаты тестирования предложенного способа численного решения краевых задач для уравнения Пуассона свидетельствуют о его эффективности, так как позволяют получать решение с относительной погрешностью 10–6 при минимальных затратах машинного времени. Разработанная методика численного решения краевых задач для уравнения Пуассона может быть использована при моделировании физических полей в технических устройствах различного назначения.
----------------------------------------
1Работа выполнена по грантам РФФИ 13-07-00952-а и 14-07-00705-а.
1. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. Москва : Наука, 1991. 352 с.
2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, А. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. 1998. Vol. 9. Pр. 6995.
3. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Изв. РАН. Серия физическая. 2008. Т. 72, № 9. С. 12591261.
4. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. 2010. № 1. С. 312.
5. Chen, C. S. A domain embedding method and quasi-Monte Carlo method for Poisson’s equation / C. S. Chen, M. A. Golberg // BEM 17 / eds. C. A. Brebbia, S. Kim, T. A. Osswald and H. Power. Southampton : Comput. Mech. Publ, 1995. P. 115122.
6. Golberg, M. A. An efficient mesh-free method for nonlinear reaction-diffusion equations / M. A. Golberg, C. S. Chen // CMES 2 (1). 2001. Vol. 2 (1). P. 8795.
7. Li, X. Convergence of the method of fundamental solutions for Poisson’s equation on the unit sphere / X. Li // Adv. Comput. Math. 2008. Vol. 28. P. 269282.
8. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 2. С. 7778.
9. Князев, С. Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 3. С. 1115.
10. Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C. J. S. Alves, C. S. Chen // Advances in Computational Mathematics. 2005. Vol. 23 Pр. 125142.
11. Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. Москва : Наука, 1966. 632 с.
12. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Москва : Физматгиз, 1963. 1100 с.
