Graphical definition of number of roots when solving the affected equations is considered.
number of roots, function graphs, solving the equations.
Определению числа корней при решении уравнений разных степеней в математике придается большое значение. Сформулируем и графически докажем теорему по этому вопросу.
Теорема. Количество корней уравнения любой степени определяется численной величиной свободного члена. Минимальное число корней для уравнений нечетной степени равно 1, для четной — 0. Максимальное число корней равно величине наибольшего показателя степени неизвестного.
Комментарий. Уравнение третьей степени может иметь 1, 2 или 3, а уравнение четвертой — 0, 1, 2, 3 или 4 корня.
Рассмотрим простейшее уравнение второй степени с изменяемым свободным членом (ψ и построим его график (рис. 1):
x2-3x + ψ = 0. (1)
Для его решения используем известный графический прием, в котором строится график функции и просчитываются абсциссы тех точек, где он (график) пересекает ось Оx.
Как видно из рис. 1, при ψ = 2,25 уравнение (1) имеет один корень x=1,5. При всех меньших значениях ψ уравнение имеет два корня. Так, при ψ = 2 корни уравнения равны 1 и 2. Но при значениях ψ > 2,25, например ψ = 5, уравнение решений не имеет.
Таким образом, можно считать графически доказанным, что число корней уравнения зависит не от максимальной степени неизвестного, но от величины свободного члена. Это свойство будет подтверждено ниже графическим решением других уравнений.
Рассмотрим уравнение четвертой степени:
x4-10x3+35x2-50x+24=0. (2)
Рис. 1. Влияние свободного члена ψ на число корней уравнения x2-3x + ψ = 0.
