Russian Federation
Russian Federation
In this paper the urgent problem of the formal approach to the teaching of descriptive geometry (DG) has been formulated. The authors consider the algorithm concept and approaches to formal description of methods (algorithms) for tasks solving. It is emphasized that the known methods for creating and presenting of algorithms for DG tasks solving do not reflect all possibilities of algorithmization as it is. In the third section the authors, in examples, emphasize the complexity of DG tasks solutions algorithmization. The diversity of solutions for one or another DG task is noted depending on location of initial figures that requires a suitable context analysis in solving, and, as a consequence, the algorithm choice. It is pointed out that the reason for this is different ways for expressing of figures’ geometric properties by means of drawing. General algorithms for applying the method of loci and geometric transformations to tasks solving are considered. From the loci position have been considered two basic tasks of DG: plotting a point drawing in the coordinates, and a perpendicular to the plane. The method of loci importance is emphasized in view of algorithms compilation simplicity and wide possibilities for tasks solving. The authors note that algorithmization does not reduce the importance of geometry knowledge or understanding of the tasks geometric content and used methods, but emphasizes the importance of the first stage for tasks solving — the stage of analysis at which basic decisions are made and its method is chosen. In conclusion it is emphasized that in the practice related to solving of DG educational tasks it is optimal to apply the algorithmization in point, as it enables to structure the course, operate with compact algorithms, and introduce automated technologies of constructive geometric modeling.
descriptive geometry, constructive geometry, task solving algorithm, construction problem, elementary constructions, complex constructions, method of loci.
Введение
В работе [29] обозначен ряд проблем, возникающих в случае преподавания начертательной геометрии (НГ) на основе формального изложения и принципов алгоритмизации. Так, по словам авторов, на фоне сокращения времени на традиционные виды занятий и низкой геометро-графической подготовки в школе, упор на применение алгоритмов и формальный подход к решению задач курса НГ приводит к тому, что у студентов формируется примитивное мышление, понятийная составляющая пропадает. Сходные выводы сделаны в работе [16], где отмечается, что преподавание НГ на формально-логической основе создает опасность, что образное мышление студентов остается неразвитым. Наоборот, в [31] подчеркивается, что изучение НГ на формально-логической основе «ставит в равное положение студентов с различным уровнем пространственного мышления». Различные аспекты алгоритмизации и формализации начертательной геометрии неоднократно рассматривались [2; 4; 10; 19; 22–24 и др.]. Алгоритмы использовались при изложении материла в учебниках и пособиях [11; 14; 20; 21]. В связи с чем представляется необходимым рассмотреть подробнее и вскрыть причины противоречий, приводящих к появлению указанных проблем.
1. О понятии алгоритма и концепциях языков программирования
Алгоритмом называется точно определенное правило действий, для которого указано, как и в какой последовательности его необходимо применять к исходным данным задачи, чтобы получить ее решение [36, с. 94–95].
Первоначально алгоритмами назывались сочинения по искусству счета, в частности, известен алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя, приведенный в «Началах» отдельно для целых чисел и отрезков. В начале XX в. алгоритмы обрели статус «базисного» понятия математики. С ними связаны теория алгоритмов [36, с. 106–107] и конструктивное направление в математике [36, с. 482–482]. С появлением и распространением вычислительной техники алгоритмы стали главным инструментом решения прикладных задач любого рода. В этой области — области разработки программ для ЭВМ — алгоритмы, в образе программ для тех или иных языков программирования, неоднократно видоизменялись, что привело к появлению ряда подходов к описанию способов решения задач и организации алгоритмов (концепций программирования) [34]:
1) линейный — команды записываются последовательно, часто нумеруются, для изменения последовательного выполнения программы используются переходы к команде по ее номеру или метке; 2) структурный (модульный) — команды выполняются последовательно, но могут группироваться в составных операторах, переходы не используются, алгоритм приобретает структуру за счет явного выделения ветвлений, циклов, подпрограмм, модулей; 3) объектно ориентированный — программа представляет собой описание взаимодействующих между собой по определенным правилам сущностей — объектов, а решение задачи в целом дробится на отдельные акты, совершаемые тем или иным объектом. 4) функциональный — программа представляет собой описание функции, которая находит значение требуемой величины от набора значений исходных, и вспомогательных функций, при этом циклы и присваивание не используются, вычисления осуществляются рекурсивно; 5) логический — программа представляет собой описание модели для логического вывода на основе хранилища истинных утверждений об объектах задачи и правил вывода новых истинных утверждений (предикатов); 6) предметно-ориентированный — программа представляет собой описание модели задачи в терминах предметной области.
1. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroeniya na ploskosti [Geometric constructions in the plane]. Moscow, 1957, 268 p. (in Russian)
2. Belosel'skaya V.D. Formirovanie sistemy priemov umstvennoj deyatel'nosti studentov pri izuchenii kursa nachertatel'noj geometrii [Formation of a system of receptions for students' mental activity in studying the course of descriptive geometry]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Moscow, V. 6, 1978, pp. 6-10 (in Russian)
3. Borovikov I.F., Ivanov G.S., Surkova N.G. O primenenii preobrazovanij pri reshenii zadach nachertatel'noj geometrii [On Application of Transformations at Descriptive Geometry’s Problems Solution]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 6, I. 2. pp. 78-84. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b55a35d683a33.30813949. (in Russian)
4. Borodkina S.I. Obobshchennye algoritmy resheniya zadach nachertatel'noj geometrii [Generalized algorithms for solving problems in descriptive geometry]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 6, Moscow, 1976, pp 13-19. (in Russian)
5. Val'kov K.I. Vvedenie v teoriyu modelirovaniya [Introduction to the theory of modeling]. Leningrad, 1973. 152 p.
6. Voloshinov D.V. Vizual'no-graficheskoe proektirovanie edinoj konstruktivnoj modeli dlya resheniya analogov zadachi Apolloniya s uchetom mnimyh geometricheskih obrazov [Visual-Graphic Design of a Unitary Constructive Model to Solve Analogues For Apollonius Problem Taking into Account Imaginary Geometric Images]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 6, I. 2, pp. 23-46. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b559c70becf44.21848537. (in Russian)
7. Voloshinov D.V. Instrument dlya geometricheskogo instrumenta: kakim emu byt'? [tool for geometric experiment. What would it be?]. Problemy kachestva graficheskoj podgotovki v tekhnicheskom vuze: tradicii i innovacii [Problems of quality of graphic preparation of students in technical higher education: traditions and innovations]. Perm', 2015, V. 2, pp. 111-134 (in Russian).
8. Voloshinov D.V. Ob osobennostyah konstruktivnogo resheniya zadachi o sferah Dandelena [On the Peculiarities of the Constructive Solution For Dandelin Spheres Problem]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 6, I. 2, pp. 55-62. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b559f-018f85a7.77112269 (in Russian)
9. Giloj V. Interaktivnaya mashinnaya grafika: Struktury dannyh, algoritmy, yazyki [Interactive computer graphics: Data structures, algorithms, languages]. Moscow, 1981. 384 p. (in Russian)
10. Girsh A.G. O pozicionnyh zadachah [On positional tasks]. Sboronik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 6, Moscow, 1978, pp. 33-37. (in Russian)
11. Glogovskij V.V., Grineva B.M., Gnatyuk M.O. Nachertatel'naya geometriya na algoritmicheskoj osnove [Descriptive geometry on an algorithmic basis]. L'vov, 1978, 148 p. (in Russian)
12. Glogovskij V.V. Elementarnye konstruktivnye zadachi po nachertatel'noj geometrii [Elementary constructive problems on descriptive geometry]. L'vov, 1981. 156 p. (in Russian)
13. Egorycheva E.V. Reshenie zadach po nachertatel'noj geometrii [Solving problems in descriptive geometry]. Ivanovo, 2014. 352 p. (in Russian)
14. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. Moscow, 2012. 340 p. (in Russian)
15. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noj geometrii [Theoretical Foundations of Descriptive Geometry]. Moscow, 1998. 160 p. (in Russian)
16. Ilovajskij L. V. Razvivat' obraznoe myshlenie studentov [To develop figurative thinking of students]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 2, Moscow, 1974, pp. 37-40. (in Russian)
17. Kagan V.F. Ocherki po geometrii [Essays on geometry]. Moscow, 1963. pp. 42-48 (in Russian)
18. Korolevich A. I. EHlementy teorii informacii v geometrii graficheskogo otobrazheniya [Elements of information theory in the geometry of graphic display]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 3, Moscow, 1976, pp. 66-69. (in Russian)
19. Kotov I.I., Polozov V.S. Metodika planirovaniya i organizacii meteriala v prepodavanii nachertatel'noj geometrii i chercheniya [The method of planning and organization of material in teaching descriptive geometry and drawing]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 4, Moscow, 1977, pp. 4-10. (in Russian)
20. Volkov V.YA. Kurs nachertatel'noj geometrii na osnove geometricheskogo modelirovaniya [The course of descriptive geometry based on geometric modeling]. Omsk, SibADI Publ., 2010, 256 p. (in Russian)
21. Nartova L.G. Kurs nachertatel'noj geometrii s algoritmami dlya EHVM [Course descriptive geometry with algorithms for computers]. Moscow, MAI Publ., 1994, 253 p. (in Russian)
22. Larin M.D. Uchebnye algoritmy kak sredstvo upravleniya deyatel'nost'yu studentov pri obuchenii resheniyu zadach [Educational algorithms as a means of controlling the activity of students in teaching tasks]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 13, Moscow, 1986, pp. 76-80. (in Russian)
23. Markova A. P. Obuchenie studentov sostavleniyu algoritmov resheniya zadach inzhenernoj grafiki [Teaching students to compile algorithms for solving engineering graphics problems]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 3, Moscow, 1976, pp. 8-13. (in Russian)
24. Mihajlenko V.E., Anpilogova V.A. O primenenii EHVM v prepodavanii nachertatel'noj geometrii [On the use of computers in teaching descriptive geometry]. Sbornik nauchno-metodicheskih statej po NG i IG [Collection of scientific and methodical articles on descriptive geometry and engineering graphics]. Vol. 3, Moscow, 1978, pp. 10-13. (in Russian)
25. Eskhozhin D.Z. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. Akmola, ASKHI, 1992, 144 p. (in Russian)
26. N'yumen U., Sprull R. Osnovy interaktivnoj mashinnoj grafiki [Basics of interactive computer graphics]. Moscow, 1976, 576 p. (in Russian)
27. Panchuk K.L., Kajgorodceva N.V. Elementy ciklograficheskoj nachertatel'noj geometrii [Elements of descriptive geometry cyclographic]. GraphiCon 2016. Trudy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, Moskva-Protvino, 2016, pp. 69-71 (in Russian)
28. Peklich V. A. Vysshaya nachertatel'naya geometriya [Higher Descriptive Geometry]. Moscow, 2000, 344 p. (in Russian)
29. Polubinskaya L.G., Husnetdinov T.R., Maksutova R.A. Formal'naya logika i algoritmy v prepodavanii nachertatel'noj geometrii [Formal logic and algorithms in teaching descriptive geometry]. Pedagogika. Voprosy teorii i praktiki [Pedagogy. Questions of theory and practice]. 2018, I. 1(09), pp. 97-102. (in Russian)
30. Salkov N.A., Vyshnepol’skij V.I., Aristov V.M., Kulikov V.P. Olimpiady po nachertatl’noj geometrii kak katalizator ehvristicheskogo myshlenija [Academic Olympics on Descriptive Geometry As a Catalyst of Heuristic Thinking]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 2, pp. 93-101. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5953f-3767b1e80.12067677 (in Russian)
31. Serjogin V.I., Ivanov G.S., Borovikov I.F. Nauchno-metodicheskie voprosy podgotovki studentov k olimpiadam po nachertatel’noj geometrii [Scientific and Methodical Questions of Students Training For Academic Olympics on Descriptive Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 1, pp. 73-81. DOI:https://doi.org/10.12737/25126.(in Russian)
32. Talalaj P.G. Nachertatel'naya geometriya na primerah [Descriptive geometry on examples]. St.Petersburg, BHV-Peterburg, 2011, 288 p. (in Russian)
33. Harah M.M., Kozlova I.A., Slavin B.M., Slavin R.B., Guseva T.V. EHlementy teorii parametrizacyi i parametricheskie chertezhy v «Kompas-grafik» [Parameterization Theory Elements and Parametric Drawings in «KOMPAS-Graphic»]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 1, pp. 64-72. DOI:https://doi.org/10.12737/25125. (in Russian)
34. Hopkroft Dzh., Motvani R., Ul'man Dzh. Vvedenie v teoriyu avtomatov, yazykov i vychislenij [Introduction to the theory of automata, languages, and computations]. Moscow, Vil'yams Publ., 2008. 528 p. (in Russian)
35. Chetveruhin N.F. Metody geometricheskih postroenij [Methods of geometric constructions]. Moscow, 1952, 148 p. (in Russian)
36. Enciklopediya kibernetiki [Encyclopedia of Cybernetics]. Kiev, Glavnaya redakciya Ukrainskoj Sovetskoj Enciklopedii Publ., 1974, Vol. 2, 608 p. (in Russian)
37. Yumatova E.G. Sistema mezhintegrativnyh konstruktivno-analiticheskih zadach kak metod formirovanija professional’no-orientirovannyh sposobnostej budutshih inzhenerov [System of Interintegraptive Constructive-Analytical Problems As a Method For Forming of Future Engineers’ Professionally-Oriented Abilities]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 2, pp. 93-101. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5953f350da7151.85721309. (in Russian)
