Sankt-Peterburg, St. Petersburg, Russian Federation
employee from 01.01.2005 until now
Sankt-Peterburg, St. Petersburg, Russian Federation
This paper’s purpose is investigation of non-traditional projection systems and their projecting surfaces, the choice of such congruence parameters for conical helical lines, which allow cover the whole complex of requirements to the surface, obtained by projecting of an arbitrary flat or spatial line with congruence beams, as well as the use of computer graphics in surface visualization. In the paper has been presented an example of analytical interpretation for an image of curvilinear projection by conical helical lines with constant pitch, and a congruence example for conical helical lines located on coaxial cones with a common vertex and a variable angle of generatrix inclination to an axis. Have been investigated properties and defined parameters of the congruence helical line passing through a space arbitrary point which is not belonging to an axis. An approach for construction of spiral surfaces, which frame consists of beams projecting an arbitrary line. A form generation of surfaces by analytical methods and their visualization by means of computer graphics is one of applied geometry’s urgent problems in connection with the use of such methods in automated systems for scientific research, design, and manufacture on equipment with computer numerical control. The leading research method for this problem is the general analytical theory for surfaces’ applied form generation developed by Professor I.A. Skidan and formed a unique apparatus, based on mathematical support of computing technologies for design and creation of objects with complex forms. On examples of visualization for projecting surfaces by means of computer graphics it is possible to show applicability of analytical models in computer technologies for scientific researches, design and manufacturing.
unconventional projection system, congruence, conic helical line, helical surface, form generation.
Введение
Существуют два направления аналитического моделирования объектов сложной формы, отличающиеся формой их первоначального представления: дискретное моделирование, основанное на сгущении первоначального точечного каркаса, дополненного (не всегда) значениями кривизны или значениями производных в некоторых точках. Как правило, это незакономерные поверхности, которые П. Безье удачно назвал скульптурными. Дискретное моделирование приобрело особое значение с разработкой и широким применением в разноотраслевых расчетах методом конечных элементов. Из иностранных ученых, кроме вышеупомянутого П. Безье, отметим Р. Барнхилла, Г. Бернштейна, В. Гордона, С. Кунса, Ж. Фергюсона, Г. Фарин, В. Бохм, Д. Каххам, А. Грей [1; 2; 14; 16–20; 25]. Второе направление аналитического моделирования поверхностей опирается на их представлении непрерывными функциями. Стратегия развития этого направления заключается в поиске таких выражений функций, обеспечивающих: соответствие формы функциональному назначению изделия, агрегата или сооружения, применения существующих методов их проектирования, применения существующих технологий их изготовления или сооружения. Актуальность аналитического моделирования поверхностей вызвана успехами компьютерной графики, а его базу составляют конструктивные способы формообразования: кинематический (М.Я. Громов, И.И. Котов, А.В. Павлов, О.Л. Подгорный, А.Н. Подкорытов, Н.П. Рузлева, А.М. Тевлин и др.) [10–13]; способ выделения линейного каркаса поверхности из множеств, в частности, конгруэнций линий (В.С. Обухова, О.Л. Подгорный, Н.Н. Рыжов, А.М. Тевлин и др.); способ преобразований (И.С. Джапаридзе, И.И. Котов, С. Иванов, В.С. Обухова, О.Л. Подгорный, А.М. Тевлин и др.) [3; 4]; способ получения линейного каркаса поверхности как множества лучей нестандартного проецирования как прямыми, так и кривыми линиями (А.И. Руубель, А.Н. Каченюк, И.И. Котов, В.С. Обухова, О.Л. Подгорный, А.М. Тевлин и др.) [10]. Следует определить, что параллельно с разработкой конструктивных способов формообразования поверхностей, разрабатывались их аналитические интерпретации; согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей [5]; методы определения очертаний сложных технических поверхностей при их отображении различными видами конгруэнций [9]. Так, аналитическую интерпретацию кинематического способа дают И.И. Котов, А.Н. Подкорытов, А.М. Тевлин, способа извлечения линейного каркаса из множеств или конгруэнций линий — Н.Н. Рыжов, А.М. Тевлин, способа преобразований — С. Иванов, способа криволинейного проецирования — А.И. Руубель, А.Н. Подкорытов, А.М. Тевлин. Методологическая основа В геометрии вообще и в прикладной геометрии в частности поверхность чаще всего подают не напрямую, а условиями, которые называют определителем. Определитель поверхности имеет конструктивную часть, состоящую из геометрических фигур, и информационную часть, в которой формулируется от-
ношение геометрических фигур конструктивной части к поверхности, то есть, назначаются роли составляющим конструктивной части, которые они должны играть в процессе получения чертежей поверхности. Поскольку в докомпьютерный период развития прикладной геометрии внимание сосредотачивалось на разработке способов конструирования поверхностей сложной формы, сопровождение конструктивных моделей аналитически преследовало единственную цель — повышение точности. Каждому конструктивному способу образования поверхностей присущ свой набор определителей. К определителю при кинематическом способе входит образующая постоянного или переменного вида и закон ее движения в пространстве, который определяется при помощи направляющих линий. Саму образующую, ее мгновенные положения в процессе образования поверхности подают с помощью поверхности или плоскости инциденции.
1. Grigor'ev M.I. Polinomy Bernshteyna ot dvukh peremennykh [Bernshtein polynomials in two variables]. Elektronnyy arkhiv preprintov Sankt-Peterburgskogo matematicheskogo obshchestva. Preprint [Electronic archive of preprints of the St. Petersburg Mathematical Society Preprint.]. 2008-05. (in Russian)
2. Grigor'ev M.I. Geometricheskoe modelirovanie s ispol'zovaniem sostavnykh krivykh i poverkhnostey Bez'e. Kand. Diss. [Geometric modeling using composite curves and Bezier surfaces. Cand. Diss.]. St. Petersburg, 2009. (in Russian)
3. Dzhaparidze I.O. Konstruktivnye otobrazheniya proektivnykh preobrazovaniy prostranstva [Constructive mappings of projective transformations of space]. Tbilisi: Trudy GPI Publ. 1964. 127 p. (in Russian)
4. Dzhaparidze I.O. Osnovnye ploskostnye modeli prostranstva i ikh proizvodnye [The basic plane models of space and their derivatives]. Tbilisi: Trudy GPI Publ. 1964. (in Russian)
5. Zvereva S.A. Soglasovannye konstruktivnye, analiticheskie i komp'yuternye modeli poverkhnostey. Kand. Diss. [Coordinated constructive, analytical and computer models of surfaces.Cand. Diss.]. 2000. (in Russian)
6. Ivzhenko A.V. Modelirovanie krivolineynogo proetsirovaniya mgnovennymi lineynymi kongruentsiyami primenitel'no k konstruirovaniyu poverkhnostey. Kand. Diss. [Simulation of curvilinear projection by instant linear congruences with respect to surface design. Cand. Diss.]. Moscow, 1978. (in Russian)
7. Kotov I.I. Mgnovennye algebraicheskie preobrazovaniya i ikh vozmozhnye prilozheniya [Instant algebraic transformations and their possible applications]. Kibernetika grafiki i prikladnaya geometriya poverkhnostey: Trudy MAI [Cybernetics of graphics and applied geometry of surfaces: Proceedings of the MAI]. Moscow, 1969, I. 3, pp. 71-83. (in Russian)
8. Kotov I.I. Mgnovennye preobrazovaniya i vektornye metody konstruirovaniya poverkhnostey [Instant transformations and vector methods for constructing surfaces]. Kibernetika grafiki i prikladnaya geometriya poverkhnostey: Trudy MAI [Cybernetics of graphics and applied geometry of surfaces: Proceedings of the MAI]. Moscow, 1969, I. 3, pp. 27-33. (in Russian)
9. Naykhanov V.V. Metody opredeleniya ochertaniy slozhnykh tekhnicheskikh poverkhnostey pri ikh otobrazhenii razlichnymi vidami kongruentsiy. Kand. Diss. [Methods for determining the outlines of complex technical surfaces when they are mapped by different kinds of congruences. Cand. Diss.]. Moscow, 1984. (in Russian)
10. Podgornyy A.L. Vintovoe proektirovanie [Screw design]. Trudy obshcheinzhenernykh kafedr USKhA [Works of general engineering chairs USHA]. Kiev: Gossel'khozizdat USSR Publ. 1963, pp. 228-234. (in Russian)
11. Tevlin A.M. Vintovoe proektirovanie i ego primenenie dlya resheniya geometricheskikh i tekhnicheskikh zadach [Screw design and its application for solving geometric and technical problems]. Izvestiya vuzov SSSR. Mashinostroenie [News of Universities of the USSR. Mechanical engineering]. 1968, I. 2. (in Russian)
12. Tevlin A.M. Profilirovanie sopryazhennykh vintovykh poverkhnostey metodom krivolineynogo proektirovaniya [Profiling of conjugate screw surfaces by the method of curvilinear projection]. Voprosy prikladnoy geometrii. Sbornik rabot aspirantov i soiskateley [Problems of applied geometry. Collection of works of graduate students and job seekers]. Moscow, MAI Publ. 1966, pp. 6-16. (in Russian)
13. Khudyakov G.I. Razvitie metodov analiticheskoy geometrii na sfere dlya resheniya zadach geodezii i navigatsii [Development of methods of analytical geometry on the sphere for solving problems of geodesy and navigation]. Zhurnal Zapiski Gornogo institute [Journal of the Notes of the Mining Institute]. 2017, V. 223, pp. 70-82. DOI http://dx.doi.org/10.18454/pmi.2017.1.70. (in Russian)
14. Bohm W., Farin G., Kahmann J. A Survey of Curve and Surface Methods in CAGD, Computer-Aided Design. 1984. P. 1-60.
15. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. V. 4. Paris, 1914. 576 p.
16. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Gmetric Design. 4th ed., Academic Press, San Diego, California. 1997.
17. Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. 2nd ed., CRC Press LLC, Boca Raton, Florida. 1998.
18. Hoscheck J. Approximate Conversion of Spline Curves // Computer-Aided Geometric Design. V. 4. 1987. P. 59-66
19. Hoscheck J., Schneider F. Spline Conversion for Trimmed Rational Bezier and B-spline surfaces // Computer-Aided Design. V. 22. №. 9. November 1990. P. 580-590.
20. Hoscheck J., Schneider F., Wassum P. Optimal Approximate Conversion of Spline Surfaces // Computer-Aided Geometric Design. V. 6. 1989. P. 293-306.
21. Simenko E. V., Voronina M. V. Constructive methods of forming surfaces //International Journal of Applied Engineering Research. 12 (6). 2017. P. 956-962.
22. Simenko E. V., Ignatiev S.A., Voronina M. V. Analytical and computergraphic method of surfaces’ formation projected by rays of congruence of cylindrical screw lines with the constant step // International Journal of Engineering and Technology. Vol 9. No. 5. Oct-Nov 2017. P. 3912-3921.
23. Skidan I.A. Generalization of Analytical Formation Methods Founded on Global Parametrization of Surfaces // The Applied Geometry and Engineering Graphics. Issue 70. Kyiv, KNUBA. 2002. P. 79-84.
24. Skidan I.A. General analytical theory of applied formulation based on global parametrization // Proceedings of the Tavria State Agrotechnical Academy. Vip. Applied geometry and engineering graphics. V. 13. Melitopol: 2001. P. 22-28.
25. Yamaguchi F. Curves And Surfaces in Computer Aided Geometric Design // Springer-Verlag. 1988.
