Sankt-Peterburg, St. Petersburg, Russian Federation
The Apollonius problem on construction of circles, tangent to three arbitrary given circles of a plane, is one of classical geometry’s well-studied problems. The presented paper’s materials are directed at development a unified theory for Apollonius problem solving, taking into account it’s not only real, but also invisible complex-valued images. In the paper it has been demonstrated, that fundamental geometric structures, on which Apollonius problem is based on, are applicable not only to real, but also to complex-valued data, that makes possible to eliminate many exceptions, currently existing in it. In this paper Apollonius problem’s fundamental nature and its strong correlation with projective and quadratic geometric transformations has been disclosed. It has been proved that Apollonius problem and its analogues have a single solution method, in contrast to the prevailing idea that these problems can be solved only by separate particular methods. A concept of geometric experiment proposed by the author has allowed find out many previously unknown and discussed in this paper common factors, due to the set of many computational tests in the system Simplex for visual design of geometric models. In this paper is considered an example for solving an analogue of Apollonian problem for three-dimensional space, but proposed algorithm’s operation is universal, and it can be equally applied to solving similar problems in spaces of arbitrary dimensions. Obtained results demonstrate capabilities of methods for constructive modeling and multidimensional descriptive geometry in application to solving of complex mathematical problems, and determine the trends in development for automation systems of constructive geometric modeling.
scientific visualization, constructive geometric modeling, geometric experiment, projective geometry, Apollonius problem, imaginary geometric images.
1. Введение
В настоящее время приходится с сожалением констатировать, что исследования в области конструктивной геометрии проводятся с недостаточной интенсивностью. Несмотря на, казалось бы, бурное развитие информационных технологий, конструктивная геометрия до сих пор не получает должной поддержки от разработчиков программных систем. Геометрия по сей день воспринимается как достаточно сложная, рутинная и даже устаревшая наука, которая не находит себе должного практического применения, в то время как цифровые (аналитические) методы математики приковывают к себе внимание начинающих исследователей благодаря высокой эффективности реализации таких методов в виде компьютерных программ и систем. Безусловно, существуют попытки использовать программные комплексы, предназначенные для автоматизации проектирования и программирования, для популяризации геометрических знаний и даже для проведения научных исследований. В отличие от аналитики, геометрия обладает неоспоримым преимуществом, заключающимся в способности доставлять человеку информацию о моделях окружающего мира через зрительный канал. Геометрия образна и визуальна, и поэтому к ней обращены взоры многих исследователей, стремящихся представить результаты своих достижений в наглядной, доступной для понимания форме. И, без сомнения, это стремление показывает впечатляющие результаты. Однако сущность геометрии заключается не только в этом. Предоставляя возможность оперирования наглядными образами и представлениями, геометрическая наука позволяет исследовать сложнейшие закономерности мироздания, дает возможность заглянуть в миры, которые недоступны обычному человеческому взору. Складывается парадоксальная ситуация: с одной стороны, геометрическая интерпретация — это шанс осознать нечто, заглянув туда, где обычным глазом ничего не видно, не осязаемо. С другой стороны, выстраивание логических умозаключений в геометрии требует специальных знаний, умения мыслить абстрактными образами и тренировки. На пути к овладению этими знаниями немало сложностей, и основная из них — это высокая трудоемкость достижения результата. В частности, одна из проблем — это существование в математических задачах мнимых решений [13; 18], которые относительно легко воспринимаются как результат математических действий, но которые не находят должного понимания в системе геометрических представлений.
1. Adamar J. Jelementarnaja geometrija. Chast' I. Planimetrija [Elementary geometry. Part I. Planimetry]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1948. 608 p. (in Russian)
2. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroenija na ploskosti [Geometric constructions on the plane]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1957. 268 p. (in Russian)
3. Bakelman I.Ya. Inversija [Inversion]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 79 p. (in Russian)
4. Valkov K.I. Vvedenie v teoriju modelirovanija [Introduction to the theory of modeling]. Leningrad, LISI Publ., 1974. 152 p. (in Russian)
5. Volkov V.Y., Yurkov V.Yu, Panchuk K.L., Kaigorodtseva N.V. Kurs nachertatel'noj geometrii na osnove geometricheskogo modelirovanija: uchebnik [A course in descriptive geometry on the basis of geometrical modeling]. Omsk, SibADI Publ., 2010. 253 p. (in Russian)
6. Voloshinov D.V. Algoritm reshenija zadachi Apollonija na osnove postroenija ortogonal'nyh okruzhnostej [The algorithm for solving the Apollonian problem based on the construction of orthogonal circles]. XXVI Mezhdunarodnaja nauchnaja konferencija Grafikon-2016 [XXVI International Scientific Conference GRAPHICON'2016]. Nizhny Novgorod, 2016, pp. 284-288. (in Russian)
7. Voloshinov D.V. Geometricheskaja laboratorija. Zakladyvaem osnovy [Geometric laboratory. Found the groundwork]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO-2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/53 (in Russian)
8. Voloshinov D.V. Geometricheskaja laboratorija. Instrumenty ortogonal'nosti [Geometric laboratory. Tools of orthogonality]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO-2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/72 (in Russian)
9. Voloshinov D.V. Instrument dlya geometricheskogo eksperimenta. Kakim emu byt'? [Tool geometry for the experiment. What it be?]. V Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2015 [In international online conference, HACO-2015]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2015/papers/47. (in Russian)
10. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie. Teorija, praktika, avtomatizacija [Constructive geometric modeling. Theory, practice, automation]. Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2010. 355 p. (in Russian)
11. Voloshinov D.V. Geometricheskaja laboratorija. Novyj geometricheskij instrument [Geometric laboratory. New geometric tool]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO- 2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/ 60. (in Russian)
12. Volberg A.O. Osnovnye idei proektivnoj geometrii [Basic ideas of projective geometry]. Moscow-Leningrad, Uchpedgiz Publ., 1949. 188 p. (in Russian)
13. Hirsch A.G. Nagljadnaja mnimaja geometrija [Visual imaginary geometry]. Moscow, Maska Publ., 2008. 216 p. (in Russian)
14. Glagolev N.A. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ.,1963. 342 p. (in Russian)
15. Zhizhilkin I.D. Inversija [Inversion]. Moscow, MTsNMO Publ., 2009. 72 p. (in Russian)
16. Korotky V.A. Central'noe proecirovanie dvuh komplanarnyh konik v dve okruzhnosti [The central projection of two coplanar conics to two circles]. Problemy kachestva graficheskoy podgotovki Materialy IV mezhdunarodnoy Internet-konferentsii. Fevral' - mart 2014 g. [Problems of the quality of graphic preparation Materials of the IV International Internet Conference. February - March 2014]. Perm', 2014. (in Russian)
17. Courant P., Robbins G. Chto takoe matematika? Jelementarnyj ocherk idej i metodov [What is mathematics? Elementary sketch of ideas and methods]. Moscow, MTsNMO Publ., 2001. 568 p. (in Russian)
18. Peklich V.A. Mnimaja nachertatel'naja geometrija [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, ASV Publ., 2007. 104 p. (in Russian)
19. Sal'kov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie [Properties of Dupin cyclides and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics], 2015, V. 3, I. 1, pp. 16-25. (in Russian)
20. Sal'kov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie [Properties of Dupin cyclides and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics], 2015, V. 3, I. 2, pp. 9-23. (in Russian)
21. Sal'kov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie [Properties of Dupin cyclides and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 4, pp. 3-14. (in Russian)
22. Sal'kov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie [Properties of Dupin cyclides and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 21-32. (in Russian)
23. Sal'kov N.A. Sposoby zadanija ciklid Djupena [Methods of Dupin’s cyclides definition]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2017, V. 5, I. 3, pp. 11-20. (in Russian)
24. Sal'kov N.A. Cyclide Dupin and its application [Dupin's cyclide and its application]. Moskow, INFRA-M Publ., 2016. 141 p. (in Russian)
25. Sal'kov N.A. Ciklida Djupena i krivye vtorogo porjadka. [Dupin's cyclide and second order curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 2, pp. 19-28. (in Russian)
26. Sal'kov N.A. Ciklida Djupena i krivye vtorogo porjadka [Dupin's cyclide and second order curves]. Geometriya igrafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 3, pp. 17-28. (in Russian)
27. Filippov P.V. Nachertatel'naja geometrija mnogomernogo prostranstva i ee prilozhenija [Descriptive geometry of multidimensional space and its applications]. Moscow, LENAND Publ., 2016. 282 p. (in Russian)
28. Chetverukhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Prosveshenie Publ., 1953. 360 p. (in Russian)
29. Viete F. Apollonius Gallus, Paris, 1600.
30. Staudt K.G.C. Geometrie der Lage, Nurnberg, Verlag von Bauer und Raspe (Julius Merz), 1847.
