Financial University under the Government of the Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
Peoples’ Friendship University of Russia (Associate Professor)
Moskva, Moscow, Russian Federation
In the center of attention of article are methodical features of training in extreme tasks at the higher economic school which accounting in practice of teaching mathematical disciplines will promote increase quality of mathematical and vocational training of the graduate. Applied problems of socio-economic issues on determination of the greatest and smallest values from the methodical point of view can be characterized as difficult problems of integrative character. They are of special interest in the context of strengthening of applied orientation of training in mathematics and updating of new receptions and active methods of training both at the level of high school, and for training of bachelors at the economic universities. In article the difficulties of students arising in the course of the solution of these applied tasks are opened. From the substantial point of view, they are explained with difficulties of the formalization assuming transition from the real social and economic situation described verbally to the corresponding mathematical model. The fragment of the system of extreme tasks directed to formation of concepts of area of the theory of extreme tasks and also methods of the decision and the principles of creation of extreme tasks and the principles of formalization of social and economic problems in the form of extreme tasks is presented.
mathematical preparation; methodological features; applied gain; conditional extremum; economic situation; an extremum problem; extremum.
Практика реализации прикладной математической подготовки будущих бакалавров, основные идеи которой представлены ранее в работах авторов [3, 4] свидетельствует о том, что процесс моделирования требует от студентов две важные компетенции: во-первых, адекватный перевод языка прикладной задачи на математический язык с возможностью обратного перевода, во-вторых, содержательную интерпретацию в терминах социально-экономической ситуации полученного результата внутримодельного исследования, записанного на формальном математическом языке. С методической точки зрения представляет большой интерес исследование процесса нахождения необходимого «языка», определяемого современной математической теорией, в частности дифференциальным исчислением функций нескольких переменных. Среди трудностей решения прикладных задач социально-экономической тематики отметим непонимание информации, подлежащей определению в процессе решения задачи. Реализуемая авторами методика усиления прикладной направленности обучения математике в экономическом университете подразумевает особое внимание к прикладным задачам социально-экономической тематики, в частности, задачам на условный экстремум. Данная статья посвящена раскрытию методических особенностей и теоретических основ рассматриваемого вида задач.
Задачи на наибольшее или наименьшее значение, связанные с методами оптимальных решений [11], относятся к разделу «Применение производной к исследованию функции одной переменной». Однако, если посмотреть на эти задачи с точки зрения теории функции многих переменных, то фактически любой сюжет задачи на наибольшее или наименьшее значение описывает некоторую величину, являющуюся функцией нескольких переменных, которые, если пользоваться соответствующей терминологией, удовлетворяют некоторой системе уравнении связи (или одному уравнению связи в частном случае). Отметим, что уравнений связи в системе на одно меньше, чем переменных. Но в отличие от задач на нахождение условного экстремума в теории функции многих переменных, система уравнении связи в рассматриваемых задачах всегда позволяет явно выразить все переменные через одну из них (независимую переменную, пробегающую некоторый промежуток), а это, в свою очередь, позволяет свести исследование функции нескольких переменных к исследованию функции одной независимой переменной на некотором множестве. Это множество также определяется (явно или неявно) условиями задачи. Учитывая вышесказанное, можно выделить важную методическую особенность – последовательность действий алгоритмического типа, которая с одной стороны является средством решения задач данного класса, с другой – средством интуитивного осмысления элементов новой математической теории, а с третьей стороны – средством обучения студентов решению прикладных экстремальных задач.
Итак, решение текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции можно разбить на следующие три этапа: первый этап – составление математической модели реальной ситуации; второй этап – исследование полученной модели; третий этап – возврат к реальной ситуации и ответ на поставленный в экстремальной задаче вопрос. Можно выделить следующую общую содержательно-методическую особенность. «Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, экстремум которой мы ищем, функции, задающие уравнения связи, умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум или минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных. Ж. Лагранж» [19].
Под оптимизацией в современных исследованиях принято понимать процесс определения наилучших или оптимальных решений разнообразных прикладных задач [16], как правило, связанных с исследованием социально-экономических ситуаций, а также производственных проблем, бизнес-задач и др. Оптимизация предполагает использование специальных математических моделей и методов. В качестве проблемы оптимизационной задачи выступает минимизация или максимизация значений критерия, значения которого заданы на множестве допустимых решений. Среди наиболее часто используемых критериев отметим доход, затраченное время, риск, фактическую продолжительность, эффективность, качество, стоимость и др. Важную роль в оптимизационной задаче играет учет заданных условиями реальной ситуации ограничений, которые могут быть записаны в виде уравнения или неравенства, а также системы уравнений, неравенств.
Задачи на поиск оптимальных значений функции постоянно возникают в практической деятельности, в том числе, в процессе решения сложных технических и социально-экономических задач [9, 17]. Это объясняется существованием возможности изменения параметров системы. Центральное место в прикладной математической подготовке будущего бакалавра экономики занимают классические методы оптимизации, накладывающие определённые ограничения на целевую функцию. Среди этих ограничений отметим выпуклость целевой функции, аналитическое задание целевой функции и возможность определения координат вектор-градиента в любой точке множества допустимых решений.
Однако в последние годы интерес исследователей смещается в сторону новых задач оптимизации, постановка и методы решения которых не в полной мере вписывается в классические рамки. Технический прогресс и изменение производства стали причинами появления новых оптимизационной задач, свойствами которых стали алгоритмическое задание функции, присутствия большого числа локальных экстремумов целевой функции, большая размерность оптимизационных задач и различные типы входящих параметров. Так, оптимизационная задача может одновременно содержать логические, целочисленные и вещественные параметры. В таких условиях возникает необходимость применения эволюционных методов оптимизации [7] и имитационного моделирования [6].
В учебном пособии [14] представлены основные приёмы, позволяющие находить оптимальные решения в различных задачах на поиск экстремумов функций нескольких переменных. При этом особое внимание уделяется обоснованию приемов и методов, в основе которых лежат необходимые и достаточные условия существования экстремума функций нескольких переменных. «Изложены численные методы нулевого, первого и второго порядков решения задач безусловной минимизации, а также численные методы поиска условного экстремума. Описаны алгоритмы решения задач линейного программирования, целочисленного программирования, транспортных задач. Приведены методы решения задач поиска безусловного и условного экстремума функционалов на основе метода вариаций». В учебном пособии [10] отмечается, что «практические задачи прикладной математики обладают рядом особенностей, среди которых – большая размерность (бесконечномерность), дискретность искомых переменных, стохастичность условий и другие особенности». В учебном пособии представлен ряд наиболее эффективных приемов и методов оптимизации сюжетных прикладных задач и классические алгоритмы для их решения.
Рассматривая связь исследования операций с классическими экстремальными задачами в своей исследовании [18] Хемди Таха отметил, что «Исследование операций ориентировано на решение практических задач, которые можно описать с помощью математической модели». Данное исследование содержит базовые разделы исследования операций, среди которых линейное программирование, нелинейное программирование, детерминированное программирование и стохастическое программирование, а также элементы теории принятия решений и введение в теорию игр. С методической точки зрения большой интерес представляет учебное пособие [12], специально разработанное авторами для усиления прикладной экономической направленности в области подготовки будущего учителя математики. Идеи реализации задачного подхода в преподавании математических дисциплин представлены в методологии проектирования учебного курса [13]. Представим далее четыре типовые задачи учебной темы «Условный экстремум функций нескольких действительных переменных» с решениями и соответствующими методическими комментариями.
Типовая задача 1. Функция полезности имеет вид 
. Стоимости единиц первого блага x и второго блага y составляют 5 и 2 у.е. соответственно. На приобретение этих благ планируется затратить 900 у.е. Как распределить имеющуюся сумму затрат на приобретение благ, чтобы полезность была максимальной?
Решение. Рассмотрим функцию полезности 
. Далее составим уравнение связи, учитывающее, что стоимости единиц первого блага x и второго блага y составляют 5 и 2 у.е. соответственно, а на приобретение этих благ планируется затратить 900 у.е. Получаем, что уравнение связи в этой экстремальной задаче имеет вид уравнения 
. Перейдем к составлению функции Лапласа на основе заданной функции полезности и составленного уравнения связи: 
. Воспользовавшись необходимым условием существования экстремума, получим систему уравнений
Данная система имеет единственное решение 
Отметим, что полученное решение 
– количество единиц блага каждого блага. Следовательно, функция полезности 
в точке 
достигает максимума, т.е. 
.
Методический комментарий. Опорными понятиями для первой типовой задачи являются: «Благо», «Дифференцирование произведения», «Достаточное условие экстремума», «Множитель Лагранжа», «Необходимое условие экстремума», «Полезность», «Решение системы уравнений», «Система уравнений», «Уравнение связи», «Функция Лагранжа», «Функция полезности», «Функция», «Частная производная», «Экстремум функции».
Типовая задача 2. Общие издержки производства задаются функцией 
, где x и y соответственно количество товаров A и B. Общее количество произведенной продукции составило 120 единиц. Определите, сколько единиц товара каждого вида нужно производить, чтобы издержки были минимальны?
Решение. При нахождении условного минимума функции 
следует записать уравнение связи. Учитывая, что по условию задачи общее количество произведенной продукции составило 120 единиц, получаем x+y=120. Следовательно, функция Лагранжа принимает вид 
, где x и y соответственно количество товаров A и B, 
– коэффициент Лагранжа. Вычислим частные производные первого порядка:
Таким образом, необходимо условие существования экстремума функции 
принимает вид
Решая полученную систему уравнений, получим 
Таким образом, оптимальное количество товаров каждого вида A и B, которое следует производить с целью минимизации издержек производства равно A и B соответственно. Отметим, что при таких значениях количества товаров каждого вида общие издержки производства, заданные по условию задачи функцией 
, будут равны 
д.е.
Методический комментарий. Опорными понятиями для второй типовой задачи являются: «Дифференцирование суммы», «Достаточное условие экстремума», «Множитель Лагранжа», «Необходимое условие экстремума», «Продукция», «Производство», «Решение системы уравнений», «Система уравнений», «Товар», «Уравнение связи», «Формула дифференцирования степенной функции», «Функция издержек», «Функция Лагранжа», «Функция», «Частная производная», «Экстремум функции».
Типовая задача 3. Производственная функция равна 
, где x и y – количество единиц первого и второго ресурсов соответственно. Стоимость единицы первого ресурса составляет 5 у.е., а второго ресурса – 1 у.е. Бюджетное ограничение на ресурсы составляет 400 у.е. Какова будет максимальная прибыль при использовании этих ресурсов?
Решение.
Методический комментарий. Опорными понятиями для третьей типовой задачи являются: «Бюджетное ограничение», «Достаточное условие экстремума», «Множитель Лагранжа», «Необходимое условие экстремума», «Прибыль», «Производственная функция», «Ресурс», «Решение системы уравнений», «Система уравнений», «Степенная функция», «Стоимость», «Уравнение связи», «Функция Лагранжа», «Функция», «Частная производная», «Экстремум функции».
Типовая задача 4. Фабрика выпускает два вида товара в объеме x и y соответственно. От реализации единицы товара x фабрика получает 8 у.е., а от единицы товара y – 10 у.е. Функция издержек имеет вид 
. Сколько единиц товара каждого вида нужно производить, чтобы доход был максимальным, если на все издержки выделено 4400 у.е.? Найдите максимальное значение дохода.
Решение.
Методический комментарий. Опорными понятиями для третьей типовой задачи являются: «Достаточное условие экстремума», «Доход», «Издержки», «Множитель Лагранжа», «Необходимое условие экстремума», «Правила дифференцирования», «Решение системы уравнений», «Система уравнений», «Товар», «Уравнение связи», «Функция издержек», «Функция Лагранжа», «Функция», «Частная производная», «Экстремум функции».
Выделенные содержательные и методические особенности экстремальных задач, а также учитывающая эти особенности система задач, фрагмент которой представлен в данной статье, способствуют:
- формированию понятий в области теории экстремальных задач, а также методов решения и принципов построения экстремальных задач [5]; принципов формализации социально-экономических проблем и ситуаций в виде экстремальных задач;
- развитию экономического мышления и финансовой грамотности студентов [2], реализации интегративного подхода к проведению занятий по математическим дисциплинам, идеи которого представлены в работах [1, 8];
- использованию основных методов теории экстремальных задач, применяемых для исследования социально-экономических проблем и ситуаций, применению аналитических методов и методов вычислительной математики [15] дифференциального исчисления к решению типовых экстремальных задач;
- усвоению общих приёмов работы над прикладной задачей, совершенствование приемов и методов решения типовых экстремальных задач; знакомству с основными идеями и приёмами теории экстремальных задач на основе дифференциального исчисления функций нескольких переменных;
- развитию интереса и ознакомительного, изучающего чтения специальной литературы по математическому анализу и прикладной математике (математических методов в экономике), потребностей в использовании социально-экономических данных для построения и решения экстремальных задач.
1. Bykanova O.A. O Podhode integracii obucheniya matematike i ekonomicheskim disciplinam po letnim shkol'nym programmam [Tekst] / O.A. Bykanova, N.V. Filipova // Innovacii i investicii. - 2015. - № 5. - S. 159-162.
2. Bykanova O.A., Filippova N.V. Ekonomicheskoe myshlenie i finansovaya gramotnost' kak sostavnye elementy profil'noy napravlennosti shkol'noy matematiki dlya abiturientov i uchaschihsya na letney praktike v ekonomicheskom VUZE [Tekst] / O.A. Bykanova, N.V. Filipova / V sbornike: Problemy i perspektivy razvitiya obrazovaniya Materialy VI Mezhdunarodnoy nauchnoy konferencii. - 2015. - S. 249-251.
3. Vlasov D.A. Vozmozhnosti professional'nyh matematicheskih paketov v sisteme prikladnoy matematicheskoy podgotovki buduschih specialistov [Tekst] / D.A. Vlasov // Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya: Informatizaciya obrazovaniya. - 2009. - № 4. - S. 52-59.
4. Vlasov D.A. Osobennosti celepolaganiya pri proektirovanii sistemy obucheniya prikladnoy matematike [Tekst] / D.A. Vlasov // Filosofiya obrazovaniya. - 2008. - № 4. - S. 278-283.
5. Vlasov D.A. Matematicheskie modeli i metody vnutrimodel'nyh issledovaniy: monogr. [Tekst] / D.A. Vlasov, N.V. Monahov, M.V. Monahov - M., Al'fa - 2007. - 365 s.
6. Vlasov D.A. Didakticheskie osobennosti primeneniya paketa imitacionnogo modelirovaniya ITHINK v sisteme podgotovki bakalavrov ekonomiki [Tekst] / D.A. Vlasov, A.V. Sinchukov / V sbornike: Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie Sbornik nauchnyh trudov. Moskovskiy gosudarstvennyy universitet imeni M.V. Lomonosova, fakul'tet vychislitel'noy matematiki i kibernetiki; Pod redakciey V.A. Suhomlina. - 2015. - S. 295-299.
7. Goremykina G.I. Simulink-modelirovanie processov ekspress-kreditovaniya [Tekst] / G.I. Goremykina, N.A. Schukina // Modelirovanie, optimizaciya i informacionnye tehnologii. - 2017. - № 4 (19). - S. 14.
8. Kalinina E.S. Integrativnyy podhod k provedeniyu zanyatiy po matematicheskim disciplinam v Vuzah MChS Rossii [Tekst] / E.S. Kalinina // Nauchno-analiticheskiy zhurnal Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta Gosudarstvennoy protivopozharnoy sluzhby MChS Rossii. - 2017. - № 2. - S. 187-193.
9. Kalinina E.S. Primenenie matematicheskih metodov v zadachah proektirovaniya slozhnyh tehnicheskih sistem [Tekst] / E.S. Kalinina / V sbornike: Fundamental'nye i prikladnye issledovaniya: gipotezy, problemy, rezul'taty sbornik materialov I Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferencii. - 2017. - S. 64-69.
10. Kolbin V.V. Special'nye metody optimizacii. [Tekst] / V.V. Kolbin / - Spb.: Lan', 2014. - 384 s.
11. Mastyaeva I.N., Goremykina O.N. Metody optimal'nyh resheniy. [Tekst] / I.N. Mastyaeva, O.N. Goremykina /- INFRA- M, 2016. - 384 s.
12. Monahov V.M. Metody optimizacii. Primenenie matematicheskih metodov v ekonomike. [Tekst] / V.M. Monahov, E.S. Belyaeva, N.Ya. Krasner / - M.: Prosveschenie, 1978. - 175 s.
13. Muhanov S.A. Proektirovanie uchebnogo kursa [Tekst] / S.A. Muhanov, A.I. Nizhnikov // Pedagogicheskaya informatika. - 2014. - № 4. - S. 39-46.
14. Panteleev A. V. Metody optimizacii v primerah i zadachah. [Tekst] / A.V. Panteleev, T.A. Letova / - Spb.: Lan', 2015 - 512 s.
15. Pantina I.V. Vychislitel'naya matematika - Moskovskiy finansovo-promyshlennyy universitet «Sinergiya». [Tekst] / I.V. Pantina, A.V. Sinchukov / - 2012. - 176 s.
16. Sinchukov A.V. Metodicheskie osobennosti matematicheskoy podgotovki bakalavra v ekonomicheskom universitete [Tekst] / A.V. Sinchukov // Postulat. - 2017. - № 8 (22). - S. 19.
17. Suhorukova I.V. Komp'yuternoe modelirovanie i matematicheskoe obespechenie ekonomiko-social'nyh zadach [Tekst] / I.V. Suhorukova, G.G. Lihachev // Ekonomicheskiy analiz: teoriya i praktika. - 2003. - № 5. - S. 60-62.
18. Taha H. Issledovanie operaciy. [Tekst] / H. Taha /- M.: Vil'yams, 2016. - 912 s.
19. Tihomirov V.M. Rasskazy o maksimumah i minimumah. [Tekst] / V.M. Tihomirov /- M.: MCNMO, 2006. - 200 s.
