The authors have previously studied two-dimensional Fredholm integral operators with homogeneous kernels of fiber-singular type. For this class of operators, the symbolic calculus is built using the theory of bilocal operators by V. Pilidi, and Fredholm criterion is formulated through the inversibility of two families: the family of one-dimensional convolution operators, and the family of one-dimensional singular integral operators with continuous coefficients. The aim of this work is to study composite two-dimensional integral operators with homogeneous kernels of fibersingular type analogous to Simonenko’s continual convolution integral operators. This investigation is a part of a more general study of algebra of operators with homogeneous kernels which layers are singular operators with piecewise continuous coefficients. For the considered operators, the symbolic calculus and the necessary and sufficient Fredholm conditions are obtained.
singular equations, convolution operators, homogeneous kernels, Fredholm property
Исследование в пространстве 
, где 1<p<+∞, n
2операторов вида:
c однородными, степени (−n), ядрами начато Л. Г. Михайловым. Вопросам разрешимости таких операторов с переменными коэффициентами посвящены работы Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, О. Г. Авсянкина и других авторов ([1, 2] и цитированные в них источники). Кроме условий однородности в данных работах на ядра накладывались и существенно использовались условия
инвариантности относительно диагонального действия группы ортогональных преобразований SO(n). В [3, 4] рассматривались классы ядер компактного и сингулярного типа, включающие в себя SO(n)-инвариантные ядра, а также методами теории операторов локального [5] и билокального типа [6] исследовалась разрешимость операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Топологические свойства пространств обратимых и фредгольмовых операторов из этого класса изучались в [7]. Ключевым моментом при исследовании различных классов операторов с однородными ядрами является установление связи с соответствующими алгебрами операторов свртки.
1. Karapetiants, N., Samko, S. Equations with Involutive Operators. Boston, Basel, Berlin : Birkhauser, 2001, 427 p.
2. Avsyankin, O. G. Ob algebre parnykh integral´nykh operatorov s odnorodnymi yadrami / O. G. Avsyankin. Matematicheskie zametki. - 2003. - T. 73, vyp. 4. - C. 483-493.
3. Deundyak, V. M. Mnogomernye integral´nye operatory s odnorodnymi yadrami kompaktnogo tipa i mul´tiplikativno slabo ostsilliruyushchimi koeffitsientami / V. M. Deundyak. Matematicheskie zametki. - 2010. - T. 87, № 5. - S. 713-729.
4. Deundyak, V. M. Ob integral´nykh operatorakh s odnorodnymi yadrami posloyno singulyarnogo tipa v prostranstve 2 p L R / V. M. Deundyak, E. A. Stepanyuchenko. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2007. - T. 7, № 2 (32). - S. 161-168.
5. Simonenko, I. B. Lokal´nyy metod v teorii invariantnykh otnositel´no sdviga operatorov ikh ogibayushchikh / I. B. Simonenko. - Rostov-na-Donu : TsVVR, 2007. - 120 s.
6. Pilidi, V. S. O bisingulyarnom uravnenii v prostranstve p L / V. S. Pilidi. Matematicheskie issledovaniya. - 1972. - T. 7, № 3. - S. 167-175.
7. Deundyak, V. M. Topologicheskie metody v teorii razreshimosti mnogomernykh parnykh integral´nykh operatorov s odnorodnymi yadrami kompaktnogo tipa / V. M. Deundyak. Trudy MIAN. - 2012. - T. 278. - S. 59-67.
8. Simonenko, I. B. Operatory tipa svertki v konusakh / I. B. Simonenko. Matematicheskiy sbornik. - 1967. - T. 74, № 2. - S. 298-314.
9. Pilidi, V. S. Lokal´nyy metod v teorii operatorov tipa bisingulyarnykh uravneniy / V. S. Pilidi, L. I. Sazonov. Izvestiya vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. Spetsvypusk. Psevdodifferentsial´nye uravneniya i nekotorye problemy matematicheskoy fiziki. - 2005. - S. 100-106.
10. Deundyak, V. M. Simvoly i gomotopicheskaya klassifikatsiya semeystv odnomernykh singulyarnykh operatorov s kusochno-nepreryvnymi koeffitsientami / V. M. Deundyak, I. B. Simonenko, Chin´ Shok Min´. Izvestiya vuzov. Matematika. - 1988. - № 12. - C. 17-27.
11. Duduchava, R. V. Integral´nye operatory svertki na kvadrante s razryvnymi simvolami / R. V. Duduchava. Izvestiya AN SSSR, seriya «Matematika». - 1976. - T. 40, № 2. - C. 388-407.
12. Deundyak, V. M. Ob odnoy algebre operatorov bilokal´nogo tipa v Lp (R *T) / V. M. Deundyak, E. A. Stepanyuchenko. Integro-differentsial´nye operatory i ikh prilozheniya : mezhvuz. sb. nauch. trudov. - Rostov-na-Donu, 2007. - S. 59-66.
13. Pilidi, V. S. Lokal´nyy metod v teorii lineynykh operatornykh uravneniy tipa bisingulyarnykh integral´nykh uravneniy / V. S. Pilidi. Matematicheskiy analiz i ego prilozheniya. - 1971. - T. 3. - S. 81-105.
14. Kash, F. Moduli i kol´tsa / F. Kash. - Moskva : Mir, 1981. - 368 s.
15. Deundyak, V. M. Kanonicheskie predstavleniya i yadra predsimvolov bisingulyarnykh integral´nykh operatorov / V. M. Deundyak. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2004. - T. 4, № 1 (19). - S. 3-8.
