Elec, Russian Federation
Since the XVIII century Russian and foreign teachers have been pondering over the aims of teaching mathematics. L.F. Magnitskiy, Christian Freiherr von Wolff and others stimulated an interest in practical importance of teaching mathematics. In the first official documents connected with spreading education in Russia the instructive and developing aims were given. Pedagogues from St. Petersburg P.S. Guryev, F.I. Busse and others gave concrete expression to these aims as applied to mathematics. The scientist N.D. Brashman theoretically grounded the developing aim of teaching mathematics. The professor from Moscow N.V. Bugayev developed N.D. Brashman´s ideas and revealed the educational potential of teaching mathematics. At the beginning of the XX century all pre-conditions for realizing the three-unity aim of teaching mathematics: instruction, education and development, were created in the theory and practice of the Russian secondary school. But the Russian pedagogues´ interpretation of developing aim of teaching mathematics differed from that of the West. I.G. Pestalozzi, A. Grube and others interpreted this aim in isolation from the logic of mathematical science itself.
history of mathematical education, aims of teaching mathematics
Со школьных лет всем известно крылатое изречение М.В. Ломоносова (1711–1765): «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Из каких же источников почерпнул наш великий соотечественник эту глубокую и так чеканно сформулированную мысль?
Изучение дореволюционных изданий показало, что уже в XVIII–XIX вв., как в Европе, так и в России осмыслению целеполагающего компонента обучения математике придавалось большое значение.
Ранее в исследовании [13] уже обращалось внимание на то, что близкое по смыслу утверждение встречается у немецкого математика, автора распространенных в Европе учебников Хр. Вольфа (1679–1754), который писал: «Для двух причин я люблю и выхваляю математику, во-первых, для несравненно хорошего порядка, коим содержащееся в ней учение прилагается и утверждается. Потом для ее наук самих, которые как в истинном познании естества, так и в человеческой жизни весьма много приносят пользы. И для сего всякому учащемуся необходимо нужною почитаю математику. Я с Филиппом Меланхтоном непременно думаю так, что никто твердо и право рассуждать не может о вещах, не учась прилежно математике» [4].
Хр. Вольфа М.В. Ломоносов считал одним из своих лучших учителей. А вот к «вратам своей учености» он причислял «Арифметику» Л.Ф. Магницкого(1669–1739), вышедшую в 1703 г. В этой книге автор предлагал такую поэтическую формулировку целей изучения математики:
«Арифметике прилежно учися,
В ней разных правил и штук придержися,
Ибо в гражданстве к делам есть потребно,
Лечите свой ум, аще числит вредно.
Та пути в небе решит и на мори,
Еще на войне полезна и в поли…» [10, с. 2].
Хотя практическая цель обучения математике выступает здесь определяющей, но при этом делается замечание про необходимость «лечить тот ум», который «числит вредно».
В официальных документах (в первых уставах, планах и циркулярных письмах), касающихся русского просвещения, сначала нет упоминания о целях обучения математике. Однако по косвенным фактам можно утверждать, что Уставом 1786 г. определялись, прежде всего, обучающие цели: это объяснение нового материала (хором выучивали наизусть текст учебника), опрос учащихся, решение задач.
Устав 1804 г. декларировал, что учителя должны заботиться об образовании и «изощрении рассудка» учащихся. А Циркулярное письмо 1810 г. вскрывало следующие недостатки: вместо постепенного развития учащихся в обучении остается «засилие трех китов: зубрения, повторения, долбления».
Устав 1828 г. ставит задачу «приучать детей рассуждать, соображать, одним словом, действовать умом своим» [15, Стб. 180].
Представление о целях обучения математике, которые ставились в 1830-х годах, дают «Арифметические листки, постепенно расположенные от легчайшего к труднейшему» Петра Семеновича Гурьева (1807–1884). Своей главной задачей автор считал развитие самостоятельности учащихся, для чего он предлагал им индивидуально работать с разноуровневым раздаточным материалом. Образовательную цель П. С. Гурьев видел в том, чтобы учащийся мог «сравнивать и противополагать пройденное им вновь с выученным прежде, и получаемые понятия о науке соединять в одно целое» [5, с. 2]. Тем самым П.С. Гурьев расширил понятие образовательной цели, включив в него систематизацию знаний учащихся.
В педагогической литературе середины XIX в.встречается понятие «цели обучения науке», в частности обучения арифметике. Федор Иванович Буссе (1794–1859) в «Руководстве к преподаванию арифметики» обращает внимание на то, что «при обучении всякой науке должно иметь в виду две главные цели. Первая состоит в упражнении и развитии умственных способностей учащихся, а вторая — в сообщении им полезных и необходимых в общежитии познаний». Таким образом, Ф.И. Буссе, по сути, определяет развивающую и практическую цели обучения математике.
На заседании педагогического комитета Владимирской Киевской военной гимназии 2 января 1866 г. военный педагог Алексей Федорович Фролов(1824–1888) отмечал, что обучение математике «должно иметь своей целью не только сообщение известного запаса сведений, но, что еще гораздо важнее, и развитие мыслительной способности учащихся, приучение их к самодеятельной работе мысли и к выражению мысли в слове» [17, с. 801]. Тем самым А.Ф. Фролов обогатил идеи П.С. Гурьева и Ф.И. Буссе о развивающих целях обучения математике, дополнив их новыми компонентами (например, высказав мысль о необходимости формировать у учеников культуру математической речи).
Обращает на себя внимание тот факт, что годы обучения и педагогическая деятельность всех троих педагогов-математиков (П.С. Гурьева, Ф.И. Буссе и А.Ф. Фролова) проходили в Санкт-Петербургском учебном округе. Однако это не значит, что проблема целей обучения математике интересовала только столичное педагогическое сообщество. Она горячо обсуждалась московскими учеными-математиками, где имела свою специфику — была связана с решением философских вопросов преподавания математики, а не конкретно-дидактических, как в Санкт-Петербурге.
В 1841 г. на торжественном собрании Московского Императорского университета профессор Николай Дмитриевич Брашман (1796–1866) произнес речь «О влиянии математических наук на развитие умственных способностей». Поводом для его выступления послужила критика занятий математическими науками, высказанная шотландским философом У. Гамильтоном, который уверял, что «математические науки не только не развивают умственных способностей, но даже притупляют их, и что они вредны в нравственном отношении» [2, c. 3]. Под удар была поставлена целесообразность занятия любимой наукой, и Н.Д. Брашман встал на защиту математики и ее преподавания.
Во-первых, Н.Д. Брашман утверждал, что математика полезна тем, что «приучает ум к точному и последовательному рассуждению».
Ссылаясь на мнение французского математика Д’Аламбера (1717–1783), Н.Д. Брашман указывал: «Дети способнее к прилежанию и размышлению, нежели как обыкновенно думают: это показывают опыты, и если бы их учили геометрии, то я не сомневаюсь, что чудные дарования и гении в сем роде были бы не так редки» [2, c. 8].
Н.Д. Брашман отмечал, «что надлежащее занятие математическими науками увеличивает объем ума, изощряет его и возвышает нравственность», последовательно и горячо доказывал, что главной образовательной ценностью математики является умение связывать суждения [2, с. 4].
В 1869 г. ученик Н.Д. Брашмана — профессор Московского университета Николай Васильевич Бугаев (1837–1903) — развил идеи своего учителя и коллеги. Он обосновал, что математика имеет «громадное преимущество перед другими науками», так как «строгий логический процесс, при помощи которого создается величественное здание математики, служит самым лучшим средством для воспитания логической, рассудочной стороны мышления. Постоянная необходимость при каждом дальнейшем движении иметь в виду все предшествующие истины и понятия приучает рассудок к вниманию, сосредоточенности, к гибкости и способности сопоставлять идеи и истины. Все признают, что под влиянием этих условий развивается соображение» [3, с. 23].
Н.В. Бугаев видел реализацию развивающей цели обучения математике через сочетание следующих трех составляющих: знание теории; знание механизмов вычислений; приложение теории к решению задач.
Согласно Н.В. Бугаеву, каждый учащийся должен как бы самостоятельно воспроизводить процесс открытия математических истин, что невозможно без знания теории. Механизм вычисления, по мнению автора, есть тот язык, при помощи которого математик излагает свои идеи, задает и решает свои вопросы.
Приложение теории к решению задач автор выделял как самый важный момент педагогического влияния математики на развитие умственных способностей учащихся. Именно самостоятельная работа учащихся при решении задач развивает их математические способности.
Передовой для своего времени была мысль Н.В. Бугаева о том, что математика в силу своей специфики сама развивает того, кто ею занимается. Педагог-математик считал, что, проводя математические доказательства, где утверждения, опирающиеся на предшествующие, сами становятся закономерным основанием для последующих, учащиеся строят верные логические цепочки, тем самым привыкая искать верный результат и быть правдивыми. В результате подобных размышлений Н.В. Бугаев пришел к закономерному заключению, что математика воспитывает «любовь к истине», т.е. способствует формированию нравственных качеств человека.
Проблема целей обучения математике волновала в Москве и педагогов средней школы. Преподаватель Московского учительского института, автор учебных и методических руководств по арифметике Ф.И. Егоров (1845–1915) обращал внимание на две составляющие образовательного значения математики, видя в ней «могущественное орудие» как для умственного развития, так и для решения задач, возникающих в практической жизни и при изучении других наук [14].
Отчасти точку зрения московских математиков разделял киевский профессор Василий Петрович Ермаков (1845–1922). При этом он отдавал предпочтение развивающей цели обучения математике, считая, что роль применения математики к другим наукам и познанию мира преувеличена. «Великая цель» этой науки, по его мнению, высказанному в 1892 г. в работе «О преподавании алгебры», состоит в другом — она учит правильному мышлению. В защиту этого тезиса В.П. Ермаков приводил следующие аргументы:
«Бог наделил каждого человека частицею разума. Наш разум мы должны укреплять и развивать мышлением… Но только глупец может думать, что его мышление безошибочно. Кто сколько-нибудь знаком с историей развития какой бы то ни было науки, тот легко поймет, что наш ум склонен скорее к ошибкам, чем к правильным выводам: прежние мыслители часто делали ошибочные заключения. Историю индуктивных наук можно назвать историей человеческих заблуждений. Почти все воззрения Аристотеля на физическую природу ошибочны; между тем Аристотель до сих пор считается величайшим мыслителем. Если мы убеждены, что наш ум склонен к ошибкам, то в каждом частном случае для нас весьма важно знать, правильно ли наше мышление. Но только одна математика дает возможность проверить результаты нашего мышления. Если объектом нашего мышления есть видимая природа, то результат мышления может быть проверен опытом. Если же мышление направлено на предметы отвлеченные, то и здесь математика дает возможность проверить мышление при помощи обратного метода рассуждения. Так, например, положим, что мы ищем решение уравнения; если мы желаем убедиться в верности решения, то стоит только найденное решение подставить в уравнение и произвести в обеих частях уравнения действия; если обе части выйдут одинаковы, то найденное решение верно…
Правильное занятие математикой делает человека хорошим мыслителем. Мыслитель же годится ко всякому делу и на всяком месте. Наоборот, плохой мыслитель, обладай он хотя бы большими энциклопедическими познаниями, везде принесет мало пользы; он может быть полезен своими знаниями и быть хорошим исполнителем, но его нельзя поставить во главе какого бы то ни было дела» [7, с.10–12].
Важно отметить, что проблема целеполагания обучения математике находилась в центре внимания и западных мыслителей. Так, швейцарский педагог И.Г. Песталоцци (1746–1827) в качестве главной цели образования называл необходимость развивать все природные задатки и способности человека (интеллектуальные, нравственные и физические). И изучение арифметики, по его мнению, более других предметов позволяло достичь этой цели. Песталоцци, ставя на первый план развитие памяти, внимания и пр. психологических функций ребенка, выдвинул на первое место развивающую (формальную) цель, а не обучающую (материальную), отдающую предпочтение формированию у детей знаний. Можно сказать, он недооценивал обучающую цель и упустил из виду практическую цель обучения математике [12]. Таким образом, видение развивающей цели у Песталоцци отличалось от того, какой смысл в это понятие вкладывали русские математики XIX в., полагавшие, что правильно поставленное изучение этой науки уже автоматически способствует реализации этой цели, поскольку строгая логика заложена уже в самой математике. «Строгий логический процесс, при помощи которого создается величественное здание математики, — пишет Н.В. Бугаев, — служит самым лучшим средством для воспитания логической, рассудочной стороны мышления» [3].
В XIX в. также начал накапливаться опыт постановки дидактической цели на конкретном уроке математики. Так, А.Ф. Фролов об одном из своих уроков говорил: «Цель урока — привести не к доказательству, а только к уяснению признаков» [17, с. 801]. Или А.Н. Страннолюбский(1839–1908) в описании своих уроков приводил такую цель: «сообщить понятие о многочленах и о разделении их на двучлены, трехчлены и т.д.; объяснить подобие одночленов и сокращение подобных членов» [16, с. 59].
В начале XX в. назревала реформа математического образования. Стремление обновить школьный курс математики приобретало международный характер, так как во многих странах Запада так же, как и в России стало господствовать формальное направление в обучении, согласно которому математические знания представлялись в виде определенной последовательности правил и их приложений к задачам «искусственного содержания» [8]. Основным методом изучения математики часто становилась «зубрежка», математические доказательства рекомендовалось запоминать наизусть.
Недостатки математического образования оживили педагогическую дискуссию, которая вышла за рамки периодической печати. Апогеем педагогической активности стало проведение съездов преподавателей. На Рождественских каникулах 1911–1912 гг. в Петербурге прошел I Всероссийский съезд преподавателей математики, а через два года, уже в Москве, состоялся II Съезд.
В этих условиях, опираясь на знания из психологии, педагог Д.Д. Галанин (1857–1929), выступая на ICъезде, отмечал, что «при обучении математике у ребенка работает зрительно-моторная и зрительно-слуховая память, обучение математике должно быть не формальным, а исходить из опыта ребенка, из его конкретных чувственных восприятий, которые уже им самим перерабатываются в идеи, а эти идеи сами собой перерабатываются в логические понятия и суждения» [5, с. 191].
Первая явная классификация целей обучения математике в отечественной методике математики была предложена в книге В.Р. Мрочека (1879–1937), Ф.В. Филипповича (1878–1938) «Педагогика математики» (1910 г.), в которой цели ранжированы на три группы: практические цели, образовательные и воспитательные. Эта классификация, по сути, сохраняется и до настоящего времени.
Практическая цель, по мнению В.Р. Мрочека и Ф.В. Филипповича, заключалась в том, чтобы «научить применять математику к житейским вопросам; научить применять математические методы и выводы к изучению явлений природы» [11, с.117].Для того чтобы достичь этой цели, педагоги предлагали использовать практические лабораторные занятия по математике в урочное и внеурочное время.
Так, в частности, попечителем Кавказского учебного округа был издан циркуляр о практических лабораторных занятиях по всем предметам в средней школе. В нем отмечалось, что «одним из серьезных недостатков нашей средней школы, несомненно, является некоторая отвлеченность преподавания, оторванность усваиваемого питомцами школы учебного материала от жизни, вследствие чего окончившие курс школы, в лучшем случае, выносят из нее одни отвлечения, приобретенные чисто теоретическим путем познания, и очень мало основательных практических умений, необходимых для жизни, служащих средством для прочного закрепления в сознании молодых людей преподаваемого им в школе теоретического материала» [14].
Попечитель Кавказского учебного округа организовал периодическое издание физико-математического сборника, в котором помещались задачи и их решения, рефераты, переводы статей и вообще все то, что было связано с проведением лабораторных занятий учащихся по математике и представляющих общий интерес. Таким образом, мерой борьбы с формализмом стало усиление практической направленности в обучении математике.
Образовательную цель В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович видели в том, что «далеко не столь [важно] развить формальное мышление, сколько дать мир идей, оперируя над материалом, имеющим научную и культурную ценность» [11, с. 117].
В то же время в педагогической литературе начала XX в. разграничиваются понятия «образование» и «обучение». Так, Д.Д. Галанин под образованием понимал то, «что человек приобретает сам, лично, путем внутренней психологической и логической обработки данного жизненного опыта, чтения книг и школьного обучения» [5, с. 191]. А обучение, по его мнению, представляет собой процесс внешнего воздействия на психику человека, «благодаря которому к своему личному опыту он присоединяет опыт других людей, отчасти усваивая его, отчасти запоминая. В образовании центр тяжести лежит в мышлении и творчестве, а в обучении – в памяти и усвоении» [5, с. 191].
Итак, к началу XX в. русскими педагогами-математиками были довольно глубоко осмыслены такие понятия, как «образовательная цель» обучения математике, «образование» и «обучение».
Воспитательную цель В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович видели в том, чтобы учащихся «приучить к экономии мышления, к сосредоточиванию внимания целесообразнейшим образом; воспитать осторожность суждения, его последовательность и достаточную обоснованность» [11, с. 117].
Из этого следует, что под термином «воспитательная цель» они подразумевали, по сути, то, что сегодня относят к развивающим целям или называют формированием надпредметных компетенций. Действительно, педагоги-математики утверждали: «…теперь задача умственного воспитания не в том, чтобы сообщить личности те приемы и те формулы, при помощи которых откроются двери всякой науки. Не быть энциклопедией, но уметь разбираться в энциклопедиях, не заучивать формулы, но знать, где их найти и как ими пользоваться, – вот задача современного образования» [11, с. 100].
В педагогической литературе того периода встречается термин «воспитывающее обучение». Казанский педагог-математик Н.Г. Лексин вкладывал в сущность этого понятия следующий смысл: «обучение, при котором ученики не только приобретают те или другие познания в области начальной арифметики, но, главным образом, получая эти познания, воспитывают свои внешние чувства, ум, сердце, волю» [9, с. 13]. Согласно Н.Г. Лексину, при воспитывающем обучении учитель не должен ставить на первое место сообщение знаний, поскольку это разумеется само собою, а должен развивать детей физически, воспитывать их ум, облагораживать сердце, укреплять волю. Очевидно, что автор не разграничивал понятия воспитательной и развивающей цели, был сторонником развивающего обучения. Однако Н.Г. Лексин предупреждал, что такой способ обучения покажется учителям сложным, затруднительным, но, по его мнению, «всякое знание постольку и ценность представляет, поскольку оно облагораживает человека, поскольку оно делает его лучшим» [9, с. 13].
Заметный вклад в осмысление целеполагающего компонента обучения математике внес еще один сегодня забытый, к сожалению, военный педагог Николай Алексеевич Бобровников (1854–1921).
Н.А. Бобровников воспитывающим обучением называл такое обучение, при котором учитель, сообщая знания, стремится к тому, чтобы ученик, усваивая эти знания, развивал свои душевные силы в широком смысле слова [1, с. 8].
Достижения развивающей цели обучения математике Н.А. Бобровников добивался через специальные упражнения для развития памяти. В качестве средства для развития памяти он предлагал применять на уроках «умственный счет».
На данном историческом этапе в педагогической литературе обсуждался вопрос не только о целях обучения математике, но и о целях урока математики. Говоря о целях урока вообще, Н.А. Бобровников утверждал, что всякий урок преследует не только учебные, но и воспитательные цели. Воспитывать, по его мнению, — это значит «создавать душевные или физические навыки, развивать и укреплять те и другие способности» [1, с. 5]. Педагог обращал внимание на воспитание аккуратности, дисциплины: «…каков бы ни был урок, учитель всегда потребует выполнения учениками некоторых внешних, так сказать, правил, например, чтобы ученики являлись в класс, чисто умывшись, причесанными, подпоясанными, приветствовали учителя вставанием, не начинали говорить без разрешения учителя, сидели как указано и пр.» [1, с. 6]. Автор замечал, что можно только говорить отдельно о развитии памяти, воображения, чувства на уроке; в действительности же в человеке воображение неотделимо от чувства, чувство от разума, поэтому всякое научное знание воздействует одновременно на разные стороны души человека.
Петербургский педагог С.И. Шохор-Троцкий (1853–1923) отмечал, что «отсутствие цели приводит к плохим результатам и переутомлению учащихся на уроке» [14, с. 28]. Обращая внимание на воспитательную цель обучения математике, он вкладывал в понимание этой цели несколько иной смысл, нежели Н.А. Бобровников и Н.Г. Лексин. С.И. Шохор-Троцкий отдавал предпочтение воспитанию интереса к математике, любознательности и самостоятельности учащихся, а не их нравственным качествам. Причем акцент делал на чувственное восприятие учебного материала учащимися на уроке: приятное изумление ученика по поводу полученного им результата, приятное сознание своих сил, удовольствие по поводу хорошо сделанной работы и т.п.[14, с. 28–29].
Итак, в первых официальных документах XVIII – начала XIX вв. были заложены обучающая и развивающая цели обучения, которые получили конкретизацию применительно к обучению математике в работах петербургских педагогов П.С. Гурьева, Ф.И. Буссе и др. На практической значимости обучения в XIX в. заостряли внимание Ф.И. Буссе, Ф.И. Егоров и др. Развивающую цель обучения теоретически обосновал ученый-математик Н.Д. Брашман. А московский профессор Н.В. Бугаев развил идеи Н.Д. Брашмана и раскрыл воспитательный потенциал обучения математике.
В начале XX в. в теории и практике русской средней школы были созданы все предпосылки для осознания триединства целей обучения математике: обучение, воспитание и развитие. Спецификой данного учебного предмета обуславливается появление и специфической цели обучения — практической. В педагогической литературе стало использоваться понятие воспитывающего (развивающего) обучения, где на первое место ставилась не обучающая цель, а развивающая. Понимание развивающей цели обучения математике у русских педагогов отличалось от западного (Песталоцци, Грубе и др.), рассматривавших ее изолированно от логики самой математической науки. Новаторством в русской методике математики стала постановка обучающих (дидактических) целей конкретного урока математики.
1. Bobrovnikov N.A. What is a good lesson. From conversations with teachers.Kazan, 1914. 136 p.
2. Brashman N.D. On the influence of Mathematical Sciences on the development of mental abilities.Moscow, 1841. 85 p.
3. Bugaev N.V. Mathematics as a tool for research and teaching. Moscow, 1885. 35 p.
4. VolfKhr. Cut the first foundations of mathematics.Т.1. St. Petersburg, 1770. 349 p.
5. Galanin D.D. To change the method of teaching in lower and middle school //Trudy I Vserossiyskogosezdaprepodavateleymatematiki[Proceedings of the 1st All-Russian Congress of Teachers of Mathematics].St. Petersburg, 1913, Vol.2, pp. 190-201.
6. Gurev P.S. Arithmetic sheets. St. Petersburg, 1832. 345 p.
7. Yermakov V.P. On the teaching of algebra.St. Petersburg, 1892. 32 p.
8. KolyaginYu.M., Savvina O.A., Tarasova O.V. Russian school and mathematics education: Our pride and our pain.Orel, 2007. Vol.1.307 p.
9. Leksin N.G. Methods algebra. Guidelines and sample lessons in visual-laboratory methods. Kazan, 1916. 343 p.
10. Magnitskiy L.F. Arithmetic.Moscow, 1914. 80 с.
11. Mrochek V.R., Filippovich F.V. Pedagogy of Mathematics. Historical and methodological studies. St. Petersburg, 1910. Vol.1.380 p.
12. Savvina O.A. The origin of mathematics teaching methods in Europe //Istoriyanauki i tekhniki[History of science and technology]. 2016,no. 3, pp. 54-59.
13. Savvina O.A. Formation and development of learning higher mathematics in the national high school. [Thesis … of Doctor of Science]. Yelets, 2002. 485 с.
14. Savvina O.A., Marushkina I.A. Lesson of mathematics in pre-revolutionary high school. Moscow, 2013. 80 p.
15. Collection of resolutions of the Ministry of Education.1825-1855.St. Petersburg, 1864. Vol.2.
16. Strannolyubskiy A.N. Algebra course. Санкт-Петербург, 1868. 134 p.
17. Frolov A.F.Progress Report on the teaching of arithmetic and algebra and geometry propedeutics. 1866/1867. //Pedagogicheskiysbornik [Teaching collection]. 1867, noIX, pp. 800-869.
