Введение. Создание и развитие теории ребристых оболочек во многом обязано трудам известных ученых в области механики деформируемых тел: Н.П. Абовского, С.А. Амбарцумяна, П.И. Балабуха, В.В. Болотина, Б.С. Василькова, В.З. Власова, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, А.Л. Гольденвейзера, В.А. Заруцкого, А.И. Лурье, И.Е. Милейковского, К.М. Муштари, В.В. Новожилова, П.Ф. Папковича, Г.И. Пшеничнова, И.С. Цуркова и других. Расчет подкрепленных ребрами оболочек ведут, в основном, по следующим направлениям, а именно: с использованием методов конструктивной анизотропии и методами, учитывающими дискретное расположение ребер. Многие авторы используют конструктивно-анизотропную модель как первое приближение для получения точного решения задачи, где учитывается дискретное расположение ребер. Основы метода дискретной континуализации оболочек были заложены в работах С.П. Тимошенко, В.З. Власова, А.И. Лурье. По сравнению с методом конструктивной анизотропии дискретно-континуальный метод обладает следующим преимуществами: более высокая точность получаемых решений, возможность построения решения для нерегулярной геометрии подкрепляющих элементов.
Специфика расчета ребристых оболочек породила различные методы решения поставленных задач. Среди них можно выделить следующие:
1) энергетические методы [1]
2) метод расчленения исходной подкрепленной оболочки на панели, связанные ребрами [2]
3) вариационные методы [3]
4) итерационные методы [4]
5) методы расчета, сводящие решение задачи к расчету неподкрепленной оболочки [5]
6) методы, основанные на использовании интегральных и интегродифференциальных уравнений [6]
7) методы, в которых ребра рассматриваются как тонкие стержни
Одним из аналитических методов решения краевых задач является метод начальных параметров, предложенный В.З. Власовым [7] и получивший дальнейшее развитие в работах А.Р. Ржаницына [8], В.Н. Котуранова [9]. Применение метода позволяет выполнять вычисления с высокой степенью точности, а также исключает необходимость “разгонного” участка в начальной точке интервала интегрирования. Как отмечает В.Н. Котуранов [9] применение метода конечных элементов в задачах оценки напряженно-деформированного состояния оболочек привлекательно, потому что данный метод позволяет рассчитывать по общей схеме структуры, образованные из элементов различной мерности, но для получения удовлетворительных результатов приходится преодолеть трудности, связанные с формированием и решением систем алгебраических уравнений очень высокого порядка. От этих недостатков свободен метод начальных параметров, который удобен в вычислительной практике из-за операций над матрицами малых порядков. Метод начальных параметров был использован В.Н. Котурановым при составлении машинного алгоритма решения задачи оболочек котлов по полубезмоментной теории. При этом автор [9] отмечает, что применение метода может обеспечить устойчивую вычислительную процедуру, а также позволяет сформулировать граничные условия задачи таким образом, что будут учитываться многие конструктивные особенности оболочек, влияние которых при интегрировании уравнений в двойных рядах либо совсем не рассматривается, либо потребует больших усложнений расчетных зависимостей. Основное преимущество метода, как отмечал А.Р. Ржаницын [8], перед другими методами заключается в том, что обычно уже в самом начале решения удается часть неизвестных параметров исключить при помощи граничных условий одного из концов оболочки, и, в результате, в дальнейшем решении участвуют не все неизвестные величины, а только две или одна.
При этом [9] метод начальных параметров позволяет формировать граничные условия таким образом, что будут учитываться многие особенности конструкций оболочек, влияние которых при расчете оболочек вариационными методами либо не рассматривается, либо приводит к значительным усложнениям расчетных зависимостей.
Однако автор [9] отмечает и трудности использования метода начальных параметров: получающиеся при вычислениях малые разности больших величин приводят к недопустимым погрешностям. На трудности, возникающие при решении краевых задач теории оболочек путем сведения их к линейной комбинации задач Коши указывают многие авторы [10,11]. Это объясняется наличием у системы дифференциальных уравнений быстроизменяющихся решений. В результате чего фундаментальная система векторов решений, ортогональная в начальной точке, при удалении от нее становится все более коллинеарной. Вследствие этого система алгебраических уравнений, из которой на другом конце интервала интегрирования определяются недостающие произвольные постоянный, оказывается вырожденной. Преодолению этого недостатка и расширению границ применимости метода начальных параметров служит метод ортогональной прогонки С. К. Годунова [12]. В ней автор предложил при решении краевых задач методом дополнительных функций разбивать интервал интегрирования на отдельные участки (шаги ортогонализации). На каждом шаге фундаментальная система векторов ортонормируется, что позволяет поддерживать указанную систему ортогональной и предупреждает чрезмерный рост векторов. Метод дискретной ортогонализации Годунова применялся многими авторами [11, 14] для решения задач расчета оболочек. Все авторы отмечают хорошее применение метода в сочетании с численными методами для решения краевых задач, возникающих при расчете различных оболочек.
Материалы и методы. В настоящей статье рассматривается применение метода начальных параметров к решению краевой задачи, возникающей при расчете цилиндрических оболочек с неоднородными граничными условиями, подкрепленной ребрами жесткости. Использование метода в сочетании с методом ортогональной прогонки Годунова позволяет устранить трудности, возникающие при решении задач теории оболочек аналитическими методами, вызванные наличием у оболочек с ребрами краевых и локальных эффектов.
Цель статьи. Показать применение метода начальных параметров в сочетании с методом ортогональной прогонки для расчета замкнутой цилиндрической оболочки, подкрепленной специфическими ребрами жесткости фальцевого типа.
Основная часть. Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку, подкрепленную фальцевыми ребрами жесткости, находящуюся под действием неравномерной по высоте горизонтальной и вертикальной нагрузок. Тогда расчетную схему такой оболочки можно представить в виде многоконтактной системы, представленной на рис.1.
Расчетная схема представляется как составная система из коротких составляющих оболочек, соединенных между собой фальцевыми ребрами замкового типа. Такие отдельные составляющие оболочки высотой l будем называть обечайками. Горизонтальную и вертикальную нагрузку считаем постоянными в пределах обечайки и переменными по высоте всей системы. С точки зрения статики такая конструкция представляет собой многоконтактную сложную систему. Поскольку ребра системы расположены слишком часто использование безмоментной теории и теории краевого эффекта оказывается невозможным; однако, расстояние между ребрами жесткости не так уж мало для использования ортотропной теории. Поэтому расчет необходимо выполнять в строго моментной постановке с учетом дискретного расположения ребер. Вследствие малости отношения толщины стенки оболочки к радиусу расчет выполняем по деформированной схеме согласно теории Доннела-Власова [7]. Для расчета использованы уравнения прочности и устойчивости, полученные И. Е. Милейковским [13] для цилиндрических оболочек зернохранилищ. Эти уравнения в косоугольной неортогональной системе координат с учетом симметрии системы имеют вид:
где
-цилиндрическая жесткость оболочки, h-толщина оболочки, E, 
-модуль упругости и коэффициент Пуассона, R- радиус оболочки, 
.
Рис.1 Расчетная схема оболочки
Для расчета такой сложной составной конструкции необходимо решить следующие задачи:
- Получить разрешающее дифференциальное уравнение для каждого из регулярных участков оболочек
- Построить «соотношения перехода» через участки оболочек, подкрепленные ребрами.
В случае небольшого угла наклона ребер, с учетом осесимметричной начальной погиби уравнения (1) упрощаются и принимают вид:
Интегрируя дважды второе уравнение, с учетом закона Гука, подставляя в первое уравнение с учетом осевой симметрии задачи получаем
В технической литературе [14] это уравнение называют уравнением нелинейного краевого эффекта.
Данное уравнение представляет собой, совместно с граничными условиями на краях обечайки нелинейную краевую задачу 4-го порядка.
Для решения этой задачи необходимо задать уравнение начальной погиби. Ее форму можно аппроксимировать уравнением изгиба балки, защемленной по концам:
), (4)
Тогда общее решение уравнения (3) принимает вид:
где
Постоянные интегрирования С1, С2, С3, С4 выражаются через решение w (0) и его производные при ƶ=0. Для получения системы уравнений, определяющих значение w(ƶ) и его производных в любой точке отдельной обечайки через его начальные параметры 
, , 
, 
, 
подставим постоянные интегрирования С1, С2, С3, С4 в решение(5) и его производные. Полученную систему уравнений в матричном виде можно представить как:
где t- номер регулярного участка (обечайки).Коэффициенты 
этой системы являются линейно-независимыми и называются функциями Коши уравнения (3). Каждая из этих функций представляет собой влияние на прогиб одного единичного начального параметра при равенстве нулю всех остальных параметров. При этом сама матрица А имеет несимметричную структуру относительно обратной диагонали в отличие от работ других авторов [7]. Это объясняется тем, что там в качестве начальных параметров выбраны искомые функции перемещений и усилий, а в настоящей работе в качестве начальных параметров выбраны прогибы w и их производные, что обусловлено расчетом по деформированной схеме.
По найденным значениям w(ƶ) и его производных определяются все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки по формулам:
, (7)
Таким образом, при помощи преобразований (6) граничные условия на одном конце обечайки выражаются через параметры, относящиеся к другому концу.
Для решения краевой задачи система (6) должна быть дополнена системой соотношений, определяющих граничные условия в крайних точках интервала интегрирования. В общем случае граничные условия на нижнем конце оболочки имеют вид:
, (8)
Для того, чтобы выразить параметры конца первого участка 
через начальные параметры и 
. следует в соотношения (6) подставить значения вектора 
согласно (8), иными словами произвести перемножение матрицы A на матрицу H
, (9)
Для перехода от параметров конца первого участка к параметрам начала второго участка 
необходимо выполнить преобразование, определяющее условия их сопряжения. В матричном виде оно выглядит следующим образом:
=
, (10)
Сопряжение отдельных обечаек между собой выполнено посредством кольцевых ребер фальцевого типа. В отношении ребер жесткости приняты следующие допущения:
1) ребро в окружном направлении считается достаточно жестким, поэтому зависимости между усилиями и перемещениями приняты линейными, а уравнения равновесия для ребра можно составить по недеформированной схеме, при этом начальными искривлениями ребра пренебрегаем;
2) ребра обладают конечной жесткостью на изгиб из своей плоскости, сжатие (растяжение) и кручение, и податливостью из плоскости. При этом расчетная схема ребра принята в виде стержневой модели [15] в запас прочности, как наиболее общей для случаев растяжения и сжатия ребра вдоль образующей оболочки.
3) эксцентриситетом расположения ребра относительно срединной поверхности оболочки пренебрегаем в связи с малостью последнего по сравнению с радиусом оболочки R.
При принятых допущениях соотношения перехода 
и
имеют вид [15]:
Геометрические соотношения
, (11)
При выводе статических соотношений перехода нагрузка на ребро 
была выражена через усилия, действующие на ребро со стороны оболочки:
, (12)
Используя отношения перехода (11), (12), получаем соответствующие матрицы преобразования и .
Переход от начальных параметров к параметрам начала второй обечайки 
получаем, выполнив следующее преобразование :
, (13)
Тогда для конца последнего n-го участка преобразование принимает вид
, (14)
или
, (15)
Представим граничные условия для конца последнего участка в виде:
, (16)
где 
- коэффициенты жесткости упругих связей для верхнего конца оболочки.
Для получения линейных алгебраических уравнений подставляем выражения (15) в (16). Решая построенную таким образом систему уравнений определяем начальные параметры ,
.
После этого, по найденным значениям 
обратным ходом вычисляем значения прогибов и усилий по всем обечайкам оболочки.
Согласно представленного алгоритма была рассчитана оболочка H=8 м, D=10 м, l(шаг ребер)=36,5 см,h(толщина оболочки для показанных на рис.2 обечаек)=0,3 см, Е(модуль упругости)=71000 Мпа, ν(коэффициент Пуассона)=0,3.Граничные условия задачи : шарнирно-подвижное закрепление нижнего края оболочки и упруго-податливая опора вверху. Результаты расчета приведены на рис. 2 для 4-х обечаек по высоте оболочки.
Рис. 2 Результаты расчета
Результаты расчета хорошо согласуются с результатами расчета подобных оболочек других авторов [16,17]
Выводы по статье:
1) Построена расчетная схема оболочки с учетом конструктивных особенностей цилиндрических оболочек с кольцевыми ребрами фальцевого типа.
2) На основе анализа результатов вычислений сделан вывод о необходимости применения к расчету таких тонкостенных цилиндрических оболочек нелинейной теории.
3) Предлагаемая методика расчета ребристых цилиндрических оболочек на основе метода начальных параметров в сочетании с методом ортогональной прогонки Годунова обладает простой логической структурой, высокой алгоритмичностью и хорошо реализуется на ЭВМ.
4) Напряженно-деформированное состояние оболочек оказывается существенно возмущенным в местах расположения ребер фальцевого типа за счет эксцентричной передачи вертикальных усилий и значительной жесткости ребер на изгиб.
5) Ввиду частого расположения по высоте оболочки кольцевых ребер фальцевого типа и их значительной жесткости на изгиб по сравнению с жесткостью на изгиб оболочки, влияние условий закрепления на характер напряженно-деформированного состояния оболочки быстро затухает и сказывается только в первых двух обечайках.
6) Решение краевой задачи для такого типа цилиндрических ребристых оболочек получено в замкнутом виде, что позволяет более строго определить картину напряженно-деформированного состояния не только оболочки, но и ребер жесткости.
