Линейчатые поверхности давно привлекают внимание геометров, архитекторов, машиностроителей и дизайнеров. Наиболее изученными и применяемыми из неразвертываемых поверхностей являются геликоиды, иперболический параболоид, однополостной гиперболоид и поверхности Каталана [1; 5; 19; 22; 27–29], которые можно увидеть практически повсюду. Согласно классической классификации в русскоязычной учебной литературе, линейчатые поверхности по количеству направляющих делятся на три типа: с тремя, двумя и одной направляющей. В свою очередь, линейчатые поверхности с тремя направляющими делятся на [5]: 1) поверхность общего вида — с тремя криволинейными направляющими; 2) дважды косой цилиндроид — с двумя криволинейными и одной прямолинейной направляющей; 3) дважды косой коноид — с двумя прямолинейными и одной криволинейной направляющей; 4) однополостной гиперболоид — с тремя прямолинейными направляющими. Линейчатая поверхность с тремя направляющими фактически представляет собой поверхность линейчатой конгруэнции иперболического типа, где две из трех направляющих являются директрисами, а третья — погружаемой в линейчатую конгруэнцию кривой. Таким образом, дважды косые коноиды являются поверхностями гиперболической конгруэнции прямых Кг (1,1), а однополостной гиперболоид является ее частным случаем при погружении прямой. Особое внимание конгруэнциям начали уделять в период развития проективной геометрии. В начале ХХ в. было построено множество натурных наглядных моделей по представлению пространственных кривых, являющихся линиями пересечения поверхностей, линейчатых поверхностей и линейчатых конгруэнций и их поверхностей (рис. 1). Практическое применение поверхностей конгруэнций прямых стало возможным с развитием синтетической и конструктивной геометрии [2; 6; 10–14]. В настоящее время изучение построения и визуализации таких поверхностей ведется как с точки зрения создания программно реализуемых алгоритмов проективной геометрии [7; 8; 19–21; 23; 25–30], так и с точки зрения получения параметрических уравнений конгруэнций и их поверхностей конструктивно-параметрическим методом [3; 4; 9; 15–18; 24]. В работах [18; 31] был предложен способ получения параметрических уравнений гиперболической конгруэнции прямых Кг (1,1) и ее поверхностей, а также рассмотрены некоторые частные случаи управления параметрами формы. Эти поверхности являются дважды косыми коноидами. Целью настоящей работы является получение параметрических уравнений линейчатых поверхностей, полученных погружением кривой в конгруэнцию гиперболического типа, в которой директрисами являются прямая и винтовая линии (цилиндрическая и коническая с постоянным шагом), а лучом — прямая. Данный тип поверхности относится к категории дважды косых цилиндроидов.
КО
Ученая степень:
кандидат технических наук
Ученое звание:
доцент
Донской государственный технический университет доцент · Россия · Ростов-на-Дону
