Распространенным типом перекрытий промышленных зданий является монолитное перекрытие с опиранием на систему балок. Ниже предложена приближенная методика определения напряженно-деформированного состояния таких систем. При моделировании совместной работы плиты перекрытия и поддерживающих ее балок пренебрегаем силами трения между монолитной плитой и поддерживающими её балками [6]. Считаем, что балки являются упругоподатливыми опорами и воспринимают только вертикальную составляющую нагрузки [5].
Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности плиты [1]:
, (1)
где W – прогиб; q – распределенная нагрузка;
D – цилиндрическая жесткость плиты постоянной толщины.
Представим (1) в виде системы двух дифференциальных уравнений записанных в безразмерном виде [2],[4],[7]:
(2)
(3)
где
где а – длина стороны плиты; – интенсивность нагрузки в какой-либо точке; – коэффициент Пуассона; Mx и Мy – значения изгибающих моментов вдоль осей x и y, соответственно.
Разностное уравнение, аппроксимирующее (2) по МПА [2], [3], запишем здесь на квадратной сетке ( рис.1) при непрерывных , полагая, что нагрузка в пределах каждого элемента постоянна, но меняется скачкообразно при переходе от одного элемента к другому . При этом будем учитывать конечные разрывы .
Получим:
(4)
где остальные члены с имеют аналогичный смысл; верхние левые индексы при означают номер элемента, которому принадлежит нагрузка (рис.1),
Из сопоставления дифференциальных уравнений (2) и (3) следует, что для аппроксимации последнего по МПА можно в левой части (4) и заменить соответственно на и в выражениях для прогибов. Для случая непрерывных , , и получим
(5)
Рис. 1. Аппроксимация на квадратной сетке
Уравнения (4) и (5) записываются для всех регулярных точек сетки с учетом краевых условий и решаются совместно.
Для расчета шарнирно (свободно) опертых плит достаточно уравнений (4), (5), поскольку в краевых точках сетки = = 0 [2].
После определения и переходим к вычислению внутренних усилий. Для этого предварительно следует вычислить в тех расчетных точках сетки, которые представляют интерес для расчетчика. Записывая формулу на квадратной сетке для случаев непрерывных получим:
(6)
При найденных по (6) значениях и уже известных из решения задачи величины можно определить из (3). После определения , величины безразмерных изгибающих моментов в направлении осей и вычисляются по формулам :.
(7)
В уравнениях, приведенных выше, верхний правый индекс в скобках означает направление, например, - внутренний безразмерный изгибающий момент в направлении оси .
В качестве примера рассмотрим расчет двухпролетной неразрезной пластины, опертой по контуру шарнирно, с центрально расположенной промежуточной упруго-податливой диафрагмой. Пластина загружена равномерно-распределенной нагрузкой p=1 на участке 01-41 и 03-43. Схема пластины с нанесенной расчетной сеткой и номерами узлов приведена на рис. 2 (при h=1/4 ).
Продемонстрируем составление разностных уравнений для точки 22. В данной точке неизвестными являются значения трех величин: изгибающего момента m22 , прогиба плиты w22 и . – скачка в функции поперечной силы в направлении η, обусловленного реакцией со стороны балки. С учетом симметрии задачи уравнение (4) примет следующий вид:
(8)
Уравнение (5) для той же точки примет такой вид:
( 9)
|
P=1 |
|
A |
|
A |
|
A - A |
|
40 |
|
30 |
|
20 |
|
10 |
|
04 |
|
03 |
|
01 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1 |
|
ξ |
|
η |
|
00 |
|
02 |
|
14 |
|
24 |
|
34 |
|
44 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
41 |
|
42 |
|
43 |
Полученные два уравнения необходимо дополнить выражением для вертикальной реакции, подчиняющейся гипотезе Винклера и действующей на плиту со стороны балки, пропорциональной жесткости опоры
= (10)
В реальных расчетах жесткость должна быть определена для каждой расчетной точки.
Зададимся безразмерным значением жесткости и Тогда, учитывая (10), = Знак минус указывает на то, что реакция направлена снизу вверх. Следует иметь в виду, что для точки 12, как и для всех точек контакта плиты с упругой опорой, необходимо систему уравнений (4) и (5) дополнить выражением (10).
В таблице 1 приведены значения прогиба для двух случаев:
1 – плиты с промежуточной упруго-податливой опорой на сетке h = 1/4;
2 – с абсолютно жесткой опорой.
|
W |
|
0,001528 |
|
0,002249 |
|
0,002101 |
|
0,0030468 |
|
а |
|
Q |
|
0,17754 |
|
0,05794 |
|
0,1385 |
|
0,2256 |
|
0,0437 |
|
б |
|
0,18602 |
|
_ |
|
+ |
|
в |
|
M |
|
0,0155191 |
|
0,0286424736 |
|
0,0360125 |
|
0,0217627 |
Рис. 3. Эпюры безразмерных прогибов (а) и моментов (в) по линиям 10-14(пунктиром) и 20–24(сплошной линией), безразмерных поперечных сил (б) по линии 10-14 (слева) и 20-24 (справа)
Таблица 1
Безразмерные прогибы плиты
( увеличенные в 1000 раз)
|
Варианты |
Величина Шаг |
|
|
|
1 |
1/4 |
2,101 |
3,046 |
|
2 |
1/4 |
0,14 |
0 |
На рис. 3 приведены эпюры безразмерных прогибов, моментов и поперечных сил в направлении η для рассмотренного примера.
Заключение. Предложенная методика обладает быстрой сходимостью, простотой алгоритма, позволяет получать результаты, обладающие высокой точностью при небольшом числе разбиений. Она может быть рекомендована для использования в практике проектных организаций для: выполнения расчетных обоснований, проверки результатов, полученных с использованием коммерческих расчетных комплексов.
