Задача отображения траектории спутника на карту поверхности планеты в определенной системе картографических проекций представляет собой частный случай задачи преобразования трехмерных координат точек на поверхности планеты, являющихся точками пересечения поверхности планеты с отрезками, соединяющими текущие положения спутника с центром масс планеты, в двухмерные координаты заданной картографической проекции.
Для решения данной задачи предлагается использовать упрощенную модель. Она подразумевает следующие допущения:
- планета является идеальным шаром фиксированного радиуса R;
- орбиты являются идеальными окружностями с центрами, совпадающими с центром планеты, и имеют радиус (R + H) для любого из спутников, где Н — расстояние от спутника до поверхности планеты;
- вращение планеты относительно оси происходит с равномерной угловой скоростью без учета явления прецессии.
Существует множество различных методов решения данной задачи. Один из них основан на представлении положения спутника в пространстве на круговой орбите в любой момент времени в виде двух кватернионов: вектора положения спутника P и орбиты J. Действительная компонента кватерниона орбиты определяется как косинус половины дугового угла окружности орбиты между вектором начального и текущего положения спутника, а нормальный вектор плоскости орбиты определяет мнимые компоненты. Поскольку мнимые части этих кватернионов в любой момент времени суть взаимно перпендикулярные векторы, их скалярное произведение равно 0, что позволяет однозначно рассчитать компоненты вектора Р как функции времени и компонент кватерниона орбиты J [1].
Если рассматривать вектор Р как кватернион, не имеющий действительной компоненты, мнимые компоненты вектора Р определяются из соотношения:
где: N — начальное положение спутника, например, в момент пересечения экваториальной плоскости; определяется углом восхождения орбиты (рис. 1).
Рис. 1
