Исследуются простейшие топологические свойства предельного спектра, а именно связность его дополнения в комплексной плоскости. В работе проведена численная проверка оценок снизу для максимального числа компонент связности дополнения предельного спектра ленточных тёплицевых матриц, символ которых — полином Лорана заданной степени. Приведён алгоритм вычисления параметров символа тёплицевой матрицы, предельный спектр которой разбивает комплексную плоскость на заданное число компонент связности. Численно исследованы примеры полиномов, являющихся символами тёплицевых матриц, предельный спектр которых делит комплексную плоскость на заданное множество компонент связности. Приведены графики предельных спектров тёплицевых матриц, иллюстрирующие полученные в работе результаты. Проведено сравнение полученных методами работы предельных спектров и спектров тёплицевых матриц больших размеров с заданным символом.
ленточная тёплицева матрица, символ тёплицевой матрицы, предельный спектр, число компонент связности.
В данной работе решается задача экспериментальной проверки оценок снизу максимального числа компонент связности дополнения предельного спектра ленточных тёплицевых матриц, символы которых — лорановские полиномы заданной степени. Вычисляются значения параметров символа последовательности ленточных тёплицевых матриц, дополнение предельного спектра которых имеет заданное число компонент связности из промежутка значений, границы которого найдены в работе [1]. Заметим, что это — часть общей задачи исследования геометрии предельного спектра ленточных тёплицевых матриц [2–6]. Отметим, что в случае тёплицевых матриц с более сложным символом предельный спектр часто допускает явное и относительно простое описание по сравнению с предельным спектром ленточных тёплицевых матриц [7–8].
1. Boettcher, A. Spectral properties of banded Toeplitz matrices / A. Boettcher, S. Grudsky. - Philadelphia : SIAM,
2. Schmidt, P. The Toeplitz matrices of an arbitrary Laurent polynomial / P. Schmidt, F. Spitzer // Math. Scand. - 1960. - V. 8. - P. 15-38.
3. Ullman, J. L. A problem of Schmidt and Spitzer / J. L. Ullman // Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. - V. 73. - P. 883-885.
4. Batalshikov, A. Asymptotics of eigenvalues of large symmetric banded Toeplitz matrices / A. Batalshikov, S. Grudsky, V. Stukopin // Linear Algebra and its Applications. - 2015. - V. 469. - P. 464-486.
5. Золотых, С. А. О вычислении предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С. А. Золотых, В. А. Стукопин // Математический форум. (Итоги науки. Юг России.) -2013. - Т. 7. - С. 80-87. Золотых, С. А. Об описании предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С. А. Золотых, В. А. Стукопин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2012. - №8(69). - С. 5-11.
6. Батальщиков, А. А. О распределении собственных чисел тёплицевых матриц с символом Хартвига-Фишера / А. А. Батальщиков, В. А. Стукопин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - № 3. - С. 812-819.
7. Widom, H. Eigenvalue distribution of nonselfadjoint Toeplitz matrices and the asymptotics of Toeplitz determinants in the case of nonvanishing index / H. Widom // Oper. Theory: Adv. Appl. - 1990. - V. 48. - P. 387-421.
8. Золотых, С. А. Об оценках снизу для максимального числа компонент дополнения предельного спектрпоследовательности тёплицевых матриц с символом заданной степени / С. А. Золотых // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования : сб. трудов междунар. науч. конф. - Владикавказ, 2015. - С. 72 - 73.
9. Золотых, С. А. Об оценке числа компонент связности предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С.А. Золотых, В. А. Стукопин // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-III : сб. трудов междунар. науч. конф. - Ростов-на-Дону, 2013. - С. 20. 11. - 422 р.
