В работе рассмотрена регуляризация задача Коши для системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в двухмерной ограниченной области.
задача Коши, факторизация, фундаментальное решение, регулярное решение.
УДК: 517.946
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ПЕРВОГО ПОРЯДКА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEMS ELLIPTIC TYPE EQUATIONS OF THE FIRST ORDER AT SPECIAL DOMAIN
Жураев Д. А., старший преподаватель
Каршинский государственный университет,
город Карши, Узбекистан
DOI: 10.12737/14447
Аннотация: В работе рассмотрена регуляризация задача Коши для системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в двухмерной ограниченной области.
Summary: In the paper is considered regularization of the Cauchy problem for systems of elliptic type equations of the first order with constant coefficients factorable Helmholtz operator in two-dimensional bounded domain.
Ключевые слова: задача Коши,факторизация, фундаментальное решение, регулярное решение.
Keywords: Cauchy problem, factorization, fundamental solution, regular solution.
В некорректных задачах теорема существования не доказывается, существование предполагается заданным априори. Более того, предполагается, что решение принадлежит некоторому заданному подмножеству функционального пространства, обычно компактному. Единственность решения следует из общей теоремы Хольмгрена [6]. Условная устойчивость задачи следует из работы А.Н. Тихонова [5], если сузить класс возможных решений до компакта. Следуя А.Н. Тихонову [5], семейство вектор-функций назовем регуляризованным решением задачи. Регуляризованное решение определяет устойчивый метод приближенного решения задачи. Для специальных областей задача продолжения ограниченных аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на части границы, было рассмотрена Т. Карлеманом [2]. Использование классической формулы Грина для построения регуляризованного решения задачи Коши для уравнения Лапласа было предложено академиком М.М. Лаврентьевым [3], в его известной монографии. Используя идеи М.М. Лаврентьева [3], Ш. Ярмухамедовым было построено в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа [4]. Система, рассматриваемая в данной работе, была введена Н.Н. Тархановым [1]. Задача восстановления, решения системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца, является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений [8].
1. Тарханов Н.Н. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка в частных производных и некоторых его приложениях // Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Институт физики АН СССР, Красноярск, 1980 г. - С. 147-160.
2. Carleman Т. Les fonctions quasi analytiques, Paris. Gautier-Villars et Cie. 1926.
3. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1956. Т. 20. - С. 819-842.
4. Ярмухамедов Ш. Функция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журнал. 2004. - Т. 45. -№ 3. - С. 702-719.
5. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151. -№ 3. - С. 501-504.
6. Берс А., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными // - М.: Мир, 1966. - 351 с.
7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, (Наука, Москва, 1971).
8. Д.А. Жураев Задача Коши для систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в ограниченной области // Труды научной международной конференции «Проблемы современной математики». Карши 22-23 апреля 2011 г. С. 123-126.
