Кассель, Германия
Кривые линии всегда были частью геометрии. Вначале это были прямые и окружности, затем к ним добавились конические сечения и позже, с появлением аналитической геометрии, – более сложные кривые. Особо в ряду линий стоят алгебраические кривые, описываемые алгебраическими уравнениями. Кривые линии находили приложение большей частью в механике. Сегодня алгебраические кривые используются как в технике, так и в самой математике – в теории чисел, теории узлов, информатике, криминалистике и др. С привлечением к счёту комплексных чисел стало возможным рассматривать кривые на комплексной плоскости. Это расширило горизонты геометрии и обогатило знания по кривым, в частности, по алгебраическим кривым. Мы ставим задачу дать геометрическую картину фокусов алгебраических кривых, наглядно показать положение фокусов на плоскости, показать, как количество фокусов связано с классом кривой. Решение поставленной задачи мы видим в приложении разработанного нами способа визуализации мнимых образов к исследованию фокусов и фокальных центров алгебраических кривых. В работе обсуждается понятие фокуса алгебраической кривой, даются основы теории кривых, приводится математический аппарат для разыскания фокусов. Геометрическая картина фокусов показана на совмещённых эпюрах – совмещённые эпюры сводят воедино данную кривую с её фокусами с мнимым сечением данной кривой, на котором сопряжённые изотропные прямые касаются его и пересекаются между собой в фокусе. Совмещённые эпюры даны для 16 кривых – коник, кубик и квартик.
алгебраическая кривая, циркулярная кривая, порядок кривой, класс кривой, коника, кубика, квартика, изотропные прямые, циклические точки, несобственная прямая, мнимое сечение, касание, фокус обыкновенный, фокус особый.
Введение
Кривые линии всегда были частью геометрии [1]. О кривых линиях статьи имеются в различных научных сборниках [6; 13–15; 18; 20], в том числе и в журнале «Геометрия и графика» [6; 15]. Вначале это были прямые и окружности, затем к ним добавились конические сечения и позже, с появлением аналитической геометрии, – более сложные кривые. Особо в ряду линий стоят алгебраические кривые, описываемые алгебраическими уравнениями. Кривые линии находили приложение большей частью в механике. Сегодня алгебраические кривые используются как в технике, так и в самой математике – в теории чисел, теории узлов, информатике, криминалистике и др.
1. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1975. - 872 с.
3. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2013. - 216 с.
4. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
5. Гирш А.Г. О комплексной геометрии и об авторе [Текст] / А.Г. Гирш. - URL: http://www.anhirsch.de
6. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 3. - C. 3-6. - DOI:https://doi.org/10.12737/6518.
7. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в ХIХ столетии [Текст] / Ф. Клейн. - Ч. 1. - М.: Наука, 1989. - 465 с.
8. Клеменс Г. Мозаика теории комплексных кривых [Текст] / Г. Клеменс. - М.: Наука, 1984. - 160 с.
9. Короткий В.А. Двойное прикосновение в пучке поверхностей второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 1. - C. 9-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/3843.
10. Математическая энциклопедия [Текст]. Т. 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - 1060 с.
11. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех [Текст] / М. Рид. - М.: Мир, 1991. - 151 с.
12. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения [Текст]: справочное руководство / А.А. Савелов. - М.: ФМ, 1960. - 293 с.
13. Сальков Н.А. Об одном графическом построении гиперболы // Прикладная геометрия и инженерная графика [Текст] / Н.А. Сальков. - Киев: Будiвельник, 1982. - Вып. 34. - C. 95-95.
14. Сальков Н.А. Прибор для вычерчивания кривых второго порядка [Текст] / Н.А. Сальков. - Кривой Рог, 1986. Деп в УкрНИИНТИ, № 1162Ук-86.
15. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - С. 35-37. - DOI:https://doi.org/10.12737/2084.
16. Смогоржевский А.С. Справочник по теории кривых третьего порядка [Текст] / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столбова. - М.: ФМ, 1961. - 264 с.
17. Böttcher R. Einführung in die Theorie der algebraischen Kurven und deren Eigenschaften. - Fern Universität in Hagen, 2006, 434 S.
18. Heuser W., Burau W. Integrale algebraischer Funktionen und ebene algebraische Kurven. - Berlin: Deutscher Verlag, 1958.
19. Plücker J. Über solche Punkte, die bei Curven einer höheren Ordnung als der zweiten den Brennpuncten der Kegelschnitte entsprechen. Journal für reine u. angewandte Mathematik. - 10, 1832, 84-91.
20. Rice Ethel A. On the foci of plane algebraic corves with application to symmetric cubic corves. - Am. Math. Monthly, 43, 1936, 618-630.
21. Wieleitner H. Theorie der ebenen algebraischen Kurven höherer Ordnung. - Leipzig: G.J. Göschen´sche Verlagshandlung, 1905. - 313 S.
