Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Данная статья является продолжением исследования процесса отражения различных объектов от криволинейных зеркал. Так, ранее в работах был описан геометрический способ построения результатов отражений, который был реализован математически в статье при помощи принципов аналитической геометрии. Полученные аналитические уравнения образов были визуализированы в программе Wolfram Mathematica с возможностью динамически изменять параметры зеркала и отражаемого объекта. Однако в перечисленных работах были рассмотрены лишь случаи отражения на плоскости. В данном же исследовании уделяется внимание более сложному случаю — отражению в трехмерном пространстве. В статье было рассмотрено отражение точки от поверхностей второго порядка: цилиндра, конуса, однополостного и двуполостного гиперболоидов, сферы, эллиптического и гиперболического параболоидов, и от тора — поверхности четвертого порядка. Как и раньше, результат отражения, полученный в каждом из случаев, сопровождается программным кодом для Wolfram Mathematica, позволяющим читателю самостоятельно моделировать процесс отражения при различных исходных параметрах. Кроме того, были проанализированы связи между полученными результатами — как связи между образами различных трехмерными отражений, так и связи результатов трехмерных отражений с их плоскими аналогами. В частности, на основе этого была сформулирована гипотеза о связи кривизны Гаусса зеркала и размерности объекта, получаемого в результате отражения. По результатам работы были сделаны выводы и обозначены перспективы для дальнейших исследований. Одной из них является получение аналитического механизма описания сложных геометрических поверхностей при помощи набора более простых объектов. Данная возможность позволит повысить эффективность деятельности специалистов при работе с отражениями от сложных поверхностей в таких сферах, как авиастроение (для создания аэродинамических поверхностей и воздуховодов), медицина, судостроение и т.п.
геометрия отражения, отражение в трехмерном пространстве, криволинейные зеркала, параметрические уравнения кривых, Wolfram Mathematica, кривизна Гаусса
1. Антонова И.В. Математическое описание вращения точки вокруг эллиптической оси в некоторых частных случаях [Текст] / И.В. Антонова, И.А. Беглов, Е.В. Соломонова // Геометрия и графика. - 2019. Т. 7. - №. 3 - С. 36-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840.
2. Антонова И.В. Математическое описание частного случая квазивращения фокуса эллипса вокруг эллиптической оси [Текст] / И.В. Антонова, Е.В. Соломонова, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. - 2021. Т. 9. - № 1. - С. 39-45. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982021-9-1-39-45.
3. Артюхина Н.К. Основы компьютерного моделирования оптических систем различных классов: учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-38 01 02 / Н.К. Артюхина. - Минск: Изд-во БНТУ, 2016. 182 с.
4. Беглов И.А. Математическое описание метода вращения точки вокруг криволинейной оси второго порядка [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян, И.В. Антонова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 39-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f6e832b4d2.25216268.
5. Беглов И.А. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. - 2017. Т. 5. - № 3. - С. 45-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa4 eb0bf488.99866490.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник [Текст] / Д.В. Беклемишев 13-е изд., испр. - СПб.: Лань, 2015. - 448 с.
7. Белов О.А. Анализ результатов ультразвукового контроля корпуса рыбопромыслового судна [Текст] / О.А. Белов // Техническая эксплуатация водного транспорта: проблемы и пути развития. - 2022. № 5. - С. 5-9.
8. Белоус Ю.В. Исследование влияния цилиндрических границ на поле параметрической антенны и разработка способа восстановления формы отражающей поверхности [Текст]: автоореф. дис. … канд. техн. наук: 01.04.06 / Ю.В. Белоус. - Таганрог, 2002. - 152 с.
9. Бердышев В.И. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения [Текст] / В.И. Бердышев, Л.В. Петрак. - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1999. - 295 с.
10. Блинова И.В. Кривые, заданные параметрически и в полярных координатах [Текст] / И.В. Блинова, И.Ю. Попов - СПб.: Изд-во Университета ИТМО, 2017. - 55 с.
11. Бугров Я.С. Высшая математика [Текст] В 3 т. Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Дрофа, 2004. 288 с.
12. Бугров Я.С. Высшая математика [Текст]. В 3 т. Т. 2: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учебник для вузов / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. 7-е изд., стер. - М.: Издательство Юрайт, 2023. - 281 с.
13. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия [Текст]. В 5 т. Т. 3: Координаты - Одночлен / И.М. Виноградов - М.: Сов. Энциклопедия, 1982. - 592 с.
14. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел) [Текст]: учебник для вузов / И.М. Виноградов. - М.: Высшая школа, 1999. 511 с.
15. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 3-32. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-3.
16. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии. Продолжение [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 4. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-3-10.
17. Гирш А.Г. Операция пересечения на комплексной плоскости [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. 2021. - Т. 9. - № 1. - С. 20-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/23084898-2021-9-1-20-28.
18. Гирш А.Г. Построение сферы по мнимым точкам [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2022. Т. 10. - № 3. - С. 3-11. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982022-10-3-3-11.
19. Жихарев Л.А. Отражение от криволинейных зеркал в плоскости / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 46-54. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article _5c9203adb22641.01479568.
20. Жихарев Л.А. Плоские отражения от кривых / Л.А. Жихарев, Ю.С. Карпова // Журнал естественнонаучных исследований. - 2020. - Т. 5. - № 4. - С. 52-58.
21. Зиновьев А.П. Моделирование оптических систем в программном пакете "Resonator Studio" и их экспериментальная реализация / А.П. Зиновьев, М.В. Кольцов, О.В. Мартынова // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 2012. - Т. 55. - № 12. С. 780-788.
22. Иващенко А.В. Общий анализ формы линии пересечения двух однотипных поверхностей второго порядка [Текст] / А.В. Иващенко, Д.А. Ваванов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 24-34. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-24-34.
23. Игнатьев С.А. Визуализация задач начертательной геометрии посредством Wolfram Mathematica [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 74-84. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-74-84.
24. Игнатьев С.А. Функциональные возможности среды Wolfram Mathematica для визуализации кривых линий и поверхностей [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. - 2021. Т. 9. - № 1. - С. 29-38. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982021-9-1-29-38.
25. Конопацкий Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности [Текст] / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 39-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357.
26. Конопацкий Е.В. Точечные инструменты геометрического моделирования, инвариантные относительно параллельного проецирования [Текст] / Е.В. Конопацкий, А.А. Бездитный // Геометрия и графика. - 2022. Т. 10. - № 4. - С. 11-21. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982022-9-4-11-21.
27. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий, И.Г. Витовтов // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 10. № 1. - С. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-13-19.
28. Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / В.А. Короткий, А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 19-30. - DOIhttps://doi.org/10.12737/22840
29. Короткий В.А. Конструирование G2-гладкой составной кривой на основе кубических сегментов Безье [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. 2021. - Т. 9. - № 2. - С. 12-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/23084898-2021-9-2-12-28.
30. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 3-24
31. Кулизина О.В. Применение ультразвука для неразрушающего контроля напряжений в судостроительных сталях [Текст] / О.В. Кулизина, Н.Е. Никитина // Научные проблемы водного транспорта. - 2010. - № 28. С. 164-168.
32. Лепаров М.Н. О геометрии, еще один раз [Текст] / М.Н. Лепаров // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. № 1. - С. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-101-3-13.
33. Мичуров А.В. Расчет влияния на акустическое поле преломлений и отражений на криволинейных поверхностях оболочек вращения [Текст] / А.В. Мичуров, А.В. Соколкин // Дефектоскопия. - 2020. - № 1. С. 31-43.
34. Муслимов Э.Р. Комплексное использование методов анализа связанных волн и трассировки лучей при проектировании спектрографов с объемно-фазовыми дифракционными решетками [Текст] / Э.Р. Муслимов, Н.К. Павлычева // HOLOEXPO 2019: Тезисы докладов XVI международной конференции по голографии и прикладным оптическим технологиям, Санкт-Петербург, 10-12 сентября 2019 года. - СПб.: Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет), 2019. - С. 365-373.
35. Притыкин Ф.Н. Метод задания положений узловых точек, определяющих конверты теней при различных направлениях солнечных лучей и углах поворота зданий [Текст] / Ф.Н. Притыкин, Е.А. Курышева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2019. - Т. 19. № 3. - С. 37-44.
36. Тодоров Н.Ф. Моделирование и исследование аурализации при распространении волн [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук: 01.04.06 / Н.Ф. Тодоров. - Ростов н/Д, 2014. - 162 с.
37. Сальков Н.А. Об изображениях [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 2. С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-2-3-10.
38. Сунцов О.С. Исследование отражения от криволинейных зеркал на плоскости в программе Wolfram Mathematica / О.С. Сунцов, Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 2. - С. 29-45. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-2-29-45.
39. Сычева А.А. Функционально-воксельное моделирование кривых Безье [Текст] / А.А. Сычева // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 4. - С. 63-72.
40. Тутова А.Ю. Ультразвук в медицине [Текст] / А.Ю. Тутова, М.Г. Перепелкина // Вестник науки. - 2020. Т. 3. - № 1. - С. 206-208.
41. Хейфец А.Л. Влияние даты расчета продолжительности инсоляции на параметры уплотненной застройки [Текст] / А.Л. Хейфец // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2019. - Т. 19. - № 3. - С. 61-70.
42. Bergmann U. High-resolution X-ray imaging based on curved Bragg mirrors: first results [Text] / U. Bergmann // IEEE Transactions on Nuclear Science. 2003. V. 50. I. 1, pp. 140-145.
43. Miguel A.L. Real-time 3D visualization of accurate specular reflections in curved mirrors a GPU implementation [Text] / A.L. Miguel, A.C. Nogueira, N. Goncalves // 2014 International Conference on Computer Graphics Theory and Applications (GRAPP). IEEE, 2014, pp. 1-8.
44. Minato A. Optical design of cube-corner retroreflectors having curved mirror surfaces [Text] / A. Minato, N. Sugimoto, Y. Sasano // Applied optics. 1992. V. 31. I. 28, pp. 6015-6020.
45. Ofek E. Interactive reflections on curved objects [Text] /E. Ofek, A. Rappoport // Proceedings of the 25 th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. 1998, pp. 333-342.
46. Savarese S. Local shape from mirror reflections [Text] /S. Savarese, M. Chen, P. Perona // International Journal of Computer Vision. 2005. V. 64, pp. 31-67.
