Брянск, Брянская область, Россия
Брянск, Брянская область, Россия
Брянск, Брянская область, Россия
УДК 621.891 Общие вопросы. Трение в машине
Произведена оценка параметров контактного взаимодействия инженерных поверхностей и их фрактальных моделей. Фрактальные модели очень хорошо описывают геометрическую структуру шероховатости, адекватны исходным инженерным поверхностям и имеют случайную составляющую при моделировании, которая позволяет каждый раз генерировать новую поверхность с исходными геометрическими параметрами, что даёт возможность проводить исследование контактного взаимодействия поверхностей необходимое количество раз. При решении контактных задач шероховатых поверхностей обычно для упрощения расчётов используют замену исходного контакта на взаимодействие гладкой поверхности с поверхностью, имеющую эквивалентную шероховатость, которую требуется определить. В работе изложены принципы нахождения фрактальной размерности инженерных поверхностей, а также эквивалентной поверхности при её контакте с гладкой, сопряжение которых эквивалентно контакту исходных поверхностей. При этом в настоящей работе показано, что для анизотропных исходных поверхностей имеем совершенно разные параметры контактного взаимодействия при разном направлении их сочетания, что необходимо учитывать при анализе и моделировании. Оценка фрактальной размерности эквивалентной поверхности производилась с помощью известного метода «периметр-площадь», который при определении параметров контактирования, включая фрактальную размерность, позволяет учесть направление следов обработки. Таким образом, в настоящей работе представлена методика определения фрактальной размерности как поверхности, так и фрактального объекта – карты пятен контакта, а также установлен диапазон изменения отношения фактической площади контакта к площади максимального пятна и предложена процедура оценки фрактальной размерности, необходимой для определения параметров контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
фрактальная размерность, инженерная поверхность, эквивалентная поверхность
Известны способы определения фрактальной размерности профиля инженерной поверхности и самой поверхности [1]. Кроме того, рассмотрен подход к оценке фрактальной размерности соединения, которая зависит от фрактальных размерностей сопряженных поверхностей. Разработанный алгоритм и соответствующая программа позволяют оценить фрактальную размерность поверхности с помощью показателя Херста и метода «периметр-площадь» (рис. 1).
Размерность по Херсту дает значение, равное 1,257 (для поверхности 2,257) вдоль одного направления и в перпендикулярном направлении – 1,249 (2,259). Практически можно считать данную поверхность изотропной. Оценка по методу «периметр‒площадь» дает близкий результат и составляет 2,325.
Площади пятен контакта являются площадями среза выступов на каком-то определенном уровне. На самом деле при определении площади пятна контакта следует учитывать состояние контакта: упругое, упругопластическое или пластическое. Так, при упругом контакте площадь физического контакта оказывается в два раза меньше, чем при пластическом. При оценке фрактальной размерности это обстоятельство не принимается во внимание, однако при оценке параметров контактного взаимодействия состояние контакта учитывается в уравнении размерного распределения площадей пятен контакта.
Параметры эквивалентной шероховатой поверхности
Расчет параметров контактного взаимодействия шероховатых поверхностей обычно производится путем адекватной замены на взаимодействие гладкой поверхности с эквивалентной шероховатой. Взаимодействие шероховатых поверхностей при малых нагрузках сопровождается формированием отдельных пятен, размеры и форма которых зависят от параметров шероховатости сопряженных тел и направлением следов обработки (рис. 3 и рис. 4).
Схема приведения к эквивалентной шероховатой поверхности представлена на рис. 5. Используем понятие первичная поверхность (primary surface), т. е. поверхность, не подверженная фильтрации и не зафиксированная в виде профилограммы (2D образ) или в 3D представлении. Математически первичная поверхность описывается уравнением Вейерштрасса-Мандельброта.
Используем понятие первичная поверхность (primary surface), т. е. поверхность, не подверженная фильтрации и не зафиксированная в виде профилограммы (2D образ) или в 3D представлении. Математически первичная поверхность описывается уравнением Вейерштрасса-Мандельброта.
В работе [2] приведена зависимость ординат поверхности относительно срединной плоскости в виде:
где 
– ординаты поверхности; DS – фрактальная размерность поверхности
(2,0 < DS < 3,0; DS = D + 1,0); γ – параметр масштаба, определяющий спектральную плотность и самоаффинность (γ > 1,0); L – длина, характеризующая наличие фрактальности; 
– случайная фаза равномерно распределена на отрезке [0, 2π]; M – количество вершин выступов на
рассматриваемом участке поверхности;
nmax = int[lg(L/LS)/lgγ] – целое число верхнего предела суммы; LS – длина, соответствующая размеру щупа; 
.
Случайная фаза используется для того, чтобы исключить совпадения частот в каждой точке профиля. Фрактальный параметр G является высотным масштабным показателем, не зависящим от частоты. некоторые фрактальные поверхности показаны на рис. 6.
Сопряжения двух фрактальных поверхностей, имеющих разные размерности, можно привести к сопряжению гладкой поверхности с поверхностью, имеющую эквивалентную шероховатость. Предлагается процедура такой замены, которая заключается в следующем. Площади сформированных пятен контакта подвергаются анализу. При этом фрактальная размерность определяется с помощью метода «периметр-площадь».
Для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный «остров» – пятно контакта (рис. 7).
При сближении шероховатых поверхностей формируется фактическая площадь контакта (ФПК), состоящая из дискретных пятен разных размеров. Считается, что при увеличении сближения поверхностей площадь среднестатистического пятна практически остается постоянной, однако при росте фактической площади контакта растет и площадь максимального пятна aL (рис. 2).
Анализ зависимости, представленной на рис. 10, показал значительное влияние отношения фактической площади контакта к площади максимального пятна. Установлен диапазон изменения рассматриваемого отношения, при котором соблюдается условие 1,0 < D < 2,0.
Точность оценки фрактальной размерности существенно зависит от точности определения фактической площади и площади максимального пятна контакта.
Процедура определения параметров контактного взаимодействия
Грубая оценка отношения может быть дана при известной фактической площади контакта, используя карту пятен касания и подсчитав их число. Тогда, разделив ФПК на число пятен, получаем среднюю площадь пятна . Максимальную площадь пятна найдем по формуле:
,
где 
Такой подход оправдан известным утверждением [3 – 11]: рост ФПК при увеличении нормальной на стык нагрузки происходит в основном за счет роста пятен контакта, высоты неровностей поверхностного слоя которых имеют вероятностное распределение.
В ряде случаев требуется получить более точную оценку ФПК и площадь максимального пятна. В этом случае эти площади можно определить, например, с помощью метода Монте-Карло.
Выводы
Разработана методика определения фрактальной размерности как поверхности, так и объекта – карты пятен контакта. Установлен диапазон изменения отношения фактической площади контакта к площади максимального пятна. Предложена процедура оценки фрактальной размерности, необходимой для определения параметров контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
1. Тихомиров В.П., Измеров М.А., Тихомиров П.В. Фрактальные модели инженерных поверхностей // Вестник Брянского государственного технического университета. 2014 № 3(43). С. 72-80.
2. Yan, W. at al. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces/ Journal of Applied Physics 84(7), 3617 (1998).
3. Основы трибологии (трение, износ, смазка): Учебник для технических вузов. 2-е изд. переработ. и доп. / А.В. Чичинадзе, Э.Д. Браун, Н.А. Буше и др.; под общ. ред. А.В. Чичинадзе. М.: Машиностроение, 2001. 664 с.
4. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 525 с.
5. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М.: Машиностроение, 1981. 244 с.
6. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.
7. Adams, G.G., Müftü S., Azhar N.M. A nano-scale multi-asperity contact and friction model // Journal of tribology, ASME transactions, 2002. P. 1-21.
8. Измеров М.А., Тихомиров В.П., Горностаева А.Г. Изнашивание фрактальных поверхностей при малых нагрузках // Сборник научных статей 14-ой международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию Брянской научной школы технологов-машиностроителей. Брянск, 2022. С. 38-42.
9. Маджумдар А., Бхушан Б. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей // Современное машиностроение. Сер. Б., 1991. № 6. С. 11−23.
10. Измеров, М.А., Тихомиров, В.П. Трение фрактальных поверхностей // Транспортное машиностроение. 2022. № 1-2 (1-2). С. 20-28.
11. Тихомиров В. П., Шалыгин М. Г., Измеров М. А. Модель контакта и оценка молекулярной cоставляющей силы трения // Наукоёмкие технологии в машиностроении. 2023. №. 6. С. 20-27. DOI: https://doi.org/10.30987/2223-4608-2023-20-27
