Введение

Одной из распространенных методик экспериментального исследования внутренней структуры слоя, напыленного с помощью газотермической [1 – 3], плазменно-разрядной [4] или лазерной технологии [5, 6], является снятие поперечных шлифов с дорожки напыления и изучение неоднородностей в сечении шлифа [7 – 9]. С помощью специальных компьютерных программ, работающих на основе различных алгоритмов распознавания изображений [10 – 12], можно получать, таким образом, различные количественные характеристики покрытия, одной из которых является функция распределения неоднородностей [13 – 15]. На функцию распределения неоднородностей могут влиять различные технологические факторы: условия нанесения покрытия [12], состав порошка [13], структура материала [14, 15].   
При экспериментальной оценке функции распределения неоднородностей на основании анализа микрофотографий шлифов возникает чисто теоретическая нетривиальная проблема экстраполяции эмпирической функции распределения неоднородностей в сечении шлифа на пространственную функцию распределения, которая и представляет реальный практический интерес. В настоящей статье мы рассматриваем задачу экстраполяции в некоторой упрощенной постановке, при которой типичным паттерном неоднородности является трехосный эллипсоид.
Определение пространственной функции распределения неоднородностей
Полагая, что процесс формирования покрытия содержит неустранимый и неконтролируемый случайный фактор, в результате которого частицы порошка или легирующей добавки имеют вид отдельной фазы (зерен), вкрапленной в матрицу основного вещества, целесообразно использовать функцию распределения этих зерен по совокупности существенных переменных, которые являются случайными величинами. Эту функцию можно определить следующим образом. Примем, что каждое зерно представляет собой трехосный эллипсоид E(ξ) (или эффективный эллипсоид, в некотором строго определенном смысле, заменяющий реальное зерно с неправильной формой), который характеризуется в пространстве набором параметров: 
ξ={X,Θ,A},                         (1)
где X=(x,y,z) – положение центра E в пространстве в некоторой системе координат, жестко связанной с материалом покрытия; Θ – пространство угловых переменных, которое можно параметризовать матрицей L(n ⃗,ϕ) вращения вокруг оси n на угол ϕ и которое задает ориентацию эллипсоида по отношению к некоторой начальной ориентации. Последнюю можно определить как такое положение трехосного эллипсоида, при котором меньшая полуось ориентирована вдоль оси x, средняя – вдоль оси y, и самая большая – вдоль оси z. При этом, с учетом симметрии эллипсоида, следует ограничить направления вектора n ⃗ верхним полупространством, в котором z≥0, а угол вращения ϕ∈[0;π). Таким образом, в сферической системе координат (θ,φ), ассоциированной стандартным образом с выбранной декартовой, вектор n ⃗ будет иметь следующие компоненты: 
 

    n ⃗=(sin⁡θ  cos⁡φ,sin⁡θ  sin⁡φ,cos⁡θ), θ∈[0;π/2], φ∈[0;π).                                 (2)

 
Набор A=(a_1,a_2,a_3) – набор полуосей эллипсоида, причем a_1≤a_2≤a_3. 
Определим теперь функцию распределения f(ξ) посредством следующего соотношения: вероятность dP(ξ) того, что эллипсоид имеет параметры ξ лежащие в объеме dV_ξ в окрестности точки ξ дается выражением: 

    dP(ξ)=f(ξ)dV_ξ=f(ξ)dV_X⋅dV_Θ⋅dV_A,     (3)

где dV_x=dxdydz; dV_Θ=dΩ(θ,φ)dϕ;                dV_A=da_1 da_2 da_3  – мера (элементы объемов) в подпространствах параметров, при этом dΩ(θ,φ)=sin⁡θ dθdφ – стандартный элемент телесного угла (элемент площади на единичной сфере). Из общих соображений f(ξ)≥0 и удовлетворяет условию нормировки: 

    ∫_(R_ξ^9)▒〖f(ξ)dV_ξ 〗=1,                       (4)

где R_ξ^9 – девятимерная область определения f пространства параметров. 
Редукция пространственной функции       распределения: общий подход
Перейдем теперь к задаче о редукции пространственной плотности вероятности f(ξ) распределения эллиптических неоднородностей на плоскость и вопросу о ее восстановлении по функции f_Π (ξ_Π), снятой на каком-то плоском сечении Π. Уравнение произвольного эллипсоида в пространстве получается из его уравнения в специальной системе координат {X,Y,Z}, согласованной с его центром и осями: 

    X^2/(a_1^2 )+Y^2/(a_2^2 )+Z^2/(a_3^2 )=1,                     (5)

с помощью подстановки: 

    R ⃗↦R ⃗'=L(n ⃗,ϕ)(R ⃗-r ⃗),             (6)

Где R ⃗=(X,Y,Z);(〖 R〗^' ) ⃗=(X^',Y^',Z^' ); ( r) ⃗=(x,y,z) – координаты центра эллипсоида; L(n ⃗,ϕ) – матрица вращения вокруг оси n ⃗ на угол ϕ. После подстановки (6) в (5), уравнение (5) примет вид:

    Q_2 (R ⃗,R ⃗)+Q_1 (R ⃗)+Q_0=0,           (7)

где Q_2,Q_1,Q_0 – квадратичная, линейная формы и форма нулевого порядка соответственно, коэффициенты которых зависят от девяти параметров: трех координат центра (x,y,z)=r ⃗, трех угловых переменных (θ,φ,ϕ)=Θ, и трех параметров полуосей эллипсоида (a_1,a_2,a_3)=A. Ввиду громоздкости этих зависимостей мы их не приводим здесь в явном виде. На плоскости Π полагаем Z=0 и получаем уравнение эллипса в виде: 

    Q_2 ((R_Π ) ⃗,(R_Π ) ⃗)+Q_1 ((R_Π ) ⃗)+Q_0=0,         (8)

которое тоже включает в себя квадратичную, линейную формы и форму нулевого порядка по координатам  R ⃗_Π=(X,Y) плоскости Π. На этой плоскости произвольный эллипсоид получается из канонического: 

    X^2/a^2 +Y^2/b^2 =1                              (9)
с помощью подстановки, аналогичной (6): 

    R ⃗_Π  ↦R ⃗'_Π= L((e_z ) ⃗,ψ)(R ⃗_Π-r ⃗_Π),      (10)

где R ⃗_Π=(X,Y); (R') ⃗_Π=(X',Y');〖 r ⃗〗_Π=(x_Π,y_Π )      –координаты центра эллипса на плоскости Π; L((e_z ) ⃗,ψ) – матрица вращения на плоскости Π на угол ψ. Коэффициенты результирующих форм P_2,P_1,P_0, определяющих уравнение произвольного эллипса на плоскости Π: 

    P_2 (R ⃗_Π,R ⃗_Π )+P_1 (R ⃗_Π )+P_0=0         (11)

имеют следующий явный вид: 
 

P_(2|XX)=(a^2+(b^2-a^2)cos^2⁡ψ)/(a^2 b^2 );P_(2|YY)=(b^2+(a^2-b^2)cos^2⁡ψ)/(a^2 b^2 );P_(2|XY)=((a^2-b^2))/(a^2 b^2 )  sin⁡2 ψ;

P_(1|X)=2 (x_Π ((a^2-b^2)cos^2⁡ψ-a^2)+y_Π  sin⁡ψ  cos⁡ψ (b^2-a^2))/(a^2 b^2 );

P_(1|Y)=2 (y_Π ((b^2-a^2)cos^2⁡ψ-b^2)+x_Π  sin⁡ψ  cos⁡ψ (b^2-a^2))/(a^2 b^2 );

         P_(0|X)=(x_Π^2 ((b^2-a^2)cos^2⁡ψ+a^2)+y_Π^2 ((a^2-b^2)cos^2⁡ψ+b^2)+2x_Π y_Π  sin⁡ψ  cos⁡ψ (a^2-b^2))/(a^2 b^2 ).

     
На плоскости Π именно пять параметров {x_Π,y_Π,a,b,ψ}≡ξ_Π являются наблюдаемыми. 
Рассмотрим теперь семейство эллипсоидов, которые в сечении плоскостью Π дают один и тот же эллипс с фиксированным набором параметров ξ_Π. Это семейство характеризуется четырехмерной поверхностью в девятимерном пространстве параметров ξ∈R^9, уравнение на которую получается из требования эквивалентности уравнений (7) и (11), что сводится, по существу, к пропорциональности коэффициентов соответствующих форм: 
    Q_2 (ξ)=λP_2 (ξ_Π); Q_1 (ξ)=λP_1 (ξ_Π)     (12)

– пять уравнений в компонентах, а равенство Q_0 (ξ)=λP_0 (ξ_Π) является просто определением параметра пропорциональности λ. Для корректного переноса функции f(ξ) на плоскость Π теперь целесообразно ввести в пространстве параметров ξ новую систему координат: в качестве новых координат следует взять пять функций, входящих в левые части уравнений (12). А именно, положим: 
 

    y_1=Q_(2|XX) (ξ);y_2=Q_(2|YY) (ξ);y_3=Q_(2|XY) (ξ);y_4=Q_1X (ξ);y_5=Q_(1|Y) (ξ),    (13)

 
и дополним этот набор до девяти частью старых параметров z,a_1,a_2,a_3. В итоге получаем замену системы координат: 

    ξ=(X,Ψ,A)→ξ^'=(Y,z,A),         (14)

где Y=(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5). Эти пять координат должны оставаться фиксированными для всех эллипсоидов, дающих один и тот же эллипс в сечении плоскостью Π, т. е. уравнение поверхности этого семейства эллипсоидов в новых координатах имеет вид: Y="const". 
Замене переменных (14) соответствует 9×9 матрица Якоби J(ξ^' |ξ) и ее определитель (якобиан) |J(ξ^' |ξ)|, где: 

    J(ξ^' |ξ)=((∂ξ^')/∂ξ),                    (15)

причем эта матрица единична по строкам, соответствующим части старых переменных z,A. По этой причине якобиан преобразования (14) фактически равен частичному якобиану: 
    
|J(ξ^' |ξ)|=|J(Y|x,y,Θ)|=Δ(x,y,Θ),    (16)

который зависит только от части переменных, что отражено в обозначении. Записывая теперь элемент вероятности (3) в новых координатах, с учетом правила якобианов |J(ξ^' |ξ)|dV_ξ=dV_(ξ^' ) для преобразования элементов объема, мы     получим: 
 

    dP=f(ξ)dV_X dV_Θ dV_A= f(x(Y),y(Y),z,Θ(Y),a_1,a_2,a_3)Δ^(-1) (x(Y),y(Y),Θ(Y))dV_Y dzdV_A,        (17)

 
где предполагается, что Δ≠0, преобразование по общей теореме об обратном отображении локально обратимо и параметры x,y,θ,φ,ϕ можно выразить в виде функций от y_i и, к примеру, запись f(Y) является сокращением f(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5). 
Теперь мы можем частично проинтегрировать выражение (17) по совокупности дополнительных переменных, которые являются ненаблюдаемыми на плоскости Π: 
 
    
dP →d〖P'〗_Π=∫_(D⊂R^4)▒dP=(∫_(D⊂R^4)▒〖(f(x(Y),y(Y),z,Θ(Y),a_1,a_2,a_3))/(Δ(x(Y),y(Y),Θ(Y))) dzdV_A 〗)dV_Y.                   (18)

 
После интегрирования зависимость  d〖P'〗_Π от ненаблюдаемых переменных z,A полностью пропадает. Теперь для окончательного перехода на плоскость переменных Π нужно сделать еще одну замену переменных: 

    Y→(x_Π,y_Π,ψ,a,b),                  (19)
которое, фактически, задают равенства (12) и (13) в совокупности. Если обозначить эти соотношения символически Y=g(ξ_Π), а соответствующий якобиан преобразования J(Y|ξ_Π) обозначить δ(ξ_Π), то формула (18) примет вид: 
 

    〖dP〗_Π (ξ_Π )=(∫_(D⊂R^4)▒〖f(x(Y),y(Y),z,Θ(Y),A)/Δ(x(Y),y(Y),Θ(Y))  dzdV_A 〗)|■(0@0@Y=g(ξ_Π ) )┤δ(ξ_Π )dV_(ξ_Π ),                        (20)

откуда, окончательно: 

f_Π (ξ_Π )=[(∫_(D⊂R^4)^0▒〖f(x(Y),y(Y),z,Θ(Y),A)dz dV_A 〗)  δ(ξ_Π )/Δ(x(Y),y(Y),Θ(Y)) ]|■(0@0@0_(Y=g(ξ_Π ) ) )┤               (21)

 
Формула (21) и решает в общем виде задачу редукции пространственной функции распределения f неоднородностей на функцию их распределения f_Π на плоскости сечения Π. Ввиду громоздкости общих формул перехода ξ→ξ^'→ξ_Π использование этой формулы в общем случае возможно только в численном виде. Задача ее обращения в общем виде или даже в конкретном случае остается под вопросом. Формально она ставится так: по известной функции распределения f_Π (ξ_Π) (возможно, при некоторых дополнительных предположениях) вывести формулу для f(ξ). Схематически обе задачи иллюстрируются диаграммами: 
 
    
f(ξ)→┴( I-(21) ) f_Π (ξ_Π); f_Π (ξ_Π)→┴( I^(-1) (21) ) f(ξ),                                         (22)

 
где первая стрелка характеризует задачу редукции, которая в общем виде решается формулой (21), включающей некоторое интегральное преобразование I, а вторая стрелка характеризует задачу восстановления пространственной функции распределения с помощью обращения I, если такое обращение существует. В следующем разделе мы покажем, что при некоторых разумных предположениях в самом простом случае сферических частиц обращение I^(-1) существует и является интегральным преобразованием того же типа, что I. 
Редукция пространственной функции распределения для сферических частиц
В качестве пробной (и практически важной!) задачи, на основе которой можно понять методику редукции и восстановления функции распределения, рассмотрим случай сферических частиц-зерен. В этом случае, ввиду сферической симметрии частиц, теряет смысл ориентация зерен и девятимерное пространство параметров ξ редуцируется до четырехмерного пространства R_ξ^4, три координаты которого отвечают за положения центров сфер, а четвертая – за их радиусы a. Ввиду значительного изменения размерности области определения, удобнее пользоваться не общей формулой (21), а проделать вывод заново, с целью избежания громоздких выкладок с простым конечным результатом. Пусть, как и раньше, Π – плоскость сечения, которую без ущерба для общности можно принять за плоскость XY выбранной декартовой системы координат. Если f(x,y,z,a) – функция распределения зерен в пространстве, то функция распределения на плоскости Π получится из нее посредством надлежащей замены переменной, которая приводит к некоторому интегральному преобразованию исходной функции распределения. Действительно, рассмотрим сферическую частицу некоторого радиуса a в ее сечении плоскостью Π. Это сечение представляет собой круг радиуса r, который связан с радиусом шара посредством соотношения: 

    r=√(a^2-z^2 ),                           (23)

где |z| – расстояние от центра шара до плоскости Π в выбранной системе координат. Очевидно, что «правильной переменной» в плоскости Π является именно величина r, а не a, поскольку именно первая переменная наблюдаема на плоскости, а последняя на ней не видима, равно как и сама координата z. Таким образом, правильный переход от функции f к функции f_Π заключается в переходе от переменной a к переменной r: 
 

    dP=f(x,y,z,a)dV_Π dzda=f(x,y,z,√(r^2+z^2 ))dV_Π dz da/dr dr,                               (24)

 
где dV_Π=dxdy, и промежуточному интегрированию по z, поскольку целое семейство пространственных шаров, положение которых удовлетворяет уравнению (23), дает одно и то же сечение в плоскости Π. С учетом того, что da/dr=r/√(r^2+z^2 ), для вероятности dP_Π    обнаружения круговой неоднородности в плоскости Π в объеме параметров                                    [x;x+dz]×[y;y+dy]×[r;r+dr], т. о.         получаем: 

    dP_Π=∫_(-∞)^∞▒〖(f(x,y,z,√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dzdV_Π dr〗.       (25)

В формуле (25) предполагается, что функция f имеет компактный носитель по четвертой переменной (т. е. равна нулю вне некоторого конечного промежутка R), либо спадает на z-бесконечности достаточно быстро (подойдет любая отрицательная степень z в асимтотике f при |z|→∞), чтобы несобственный интеграл сходился. Следуя общей логике определения функции распределения, отсюда заключаем, что редуцированная на плоскость функция распределения 

    f_Π (x,y,r)=∫_(-∞)^∞▒〖(f(x,y,z,√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dz〗       (26)

представляет собой нетривиальное интегральное преобразование типа преобразования Абеля (модифицированное преобразование Абеля). Очевидно, что вклад в распределение круговых неоднородностей на плоскости Π получается как от шаров с центрами, лежащими в полупространстве z>0, так и z<0, хотя, возможно в разной степени ввиду того, что функция f явно зависит от z. При этом на плоскости Π вклады от одного полупространства и другого неотличимы. Поэтому имеет смысл представить выражение (26) в виде, отражающем эту неотличимость. Для этой цели разобьем область интегрирования на части            z<0 и z>0 и выполним следующие преобразования (пишем выражения в сокращенном виде, выделяя только существенные для выкладки зависимости): 
 

    f_Π (x,y,r)=(∫_(-∞)^0▒0+∫_0^∞▒0)  (f(z,√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dz=                                                  (27)

    (-∫_0^(-∞)▒0+∫_0^∞▒0)  (f(z,√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dz=∫_0^∞▒〖(f(-z,√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dz〗+

    ∫_0^∞▒〖(f(z,√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dz〗=2r∫_0^∞▒〖(f_+ (z,√(r^2+z^2 )))/√(r^2+z^2 ) dz〗,

 
где f_+ (x)≡(f(x)+f(-x))/2 – четная часть функции f. Таким образом, окончательная формула: 

    f_Π (x,y,r)=2r∫_0^∞▒〖(f_+ (x,y,z,√(r^2+z^2 )))/√(r^2+z^2 ) dz〗,      (28)

решает прямую задачу для функции распределения сферических неоднородностей: по известной пространственной функции распределения f(x,y,z,a) она позволяет вычислить функцию распределения плоского сечения         Π среды с помощью некоторого интегрального преобразования. 

Пример 1: редукция с зависимостью от двух координат

В качестве примера рассмотрим пространственную функцию распределения вида: 
 

    f(x,y,z,a)=A(kx^4 y^2-a)^2 θ(kx^4 y^2-a),                                                 (29)

 
где θ(x) – ступенчатая функция Хевисайда, равная единице при x≥0, и равная нулю при x<0. Эту зависимость легче интерпретировать, если переписать ее в свернутом виде: f=A(R(x,y)-a)^2 θ(R(x,y)-a). Она описывает пространственное распределение сферических частиц, не зависящее от продольной координаты z, в котором размеры частиц ограничены в каждой точке функцией R(x,y), зависящей от
координат, причем вблизи начала системы координат размеры частиц малы. Это распределение качественно соответствует стационарной технологии напыления, при которой в глубинных слоях вблизи подложки материал покрытия проплавляется полностью и образует однородный расплав, а ближе к поверхности и краям нерасплавленные до конца частицы образуют вкрапления заметных размеров. Применение формулы (28) приводит к зависимости:
 
 

    f_Π (x,y,r)=Ar^3 [(1+(2k^2 x^8 y^4)/r^2 )  ln⁡(√((k^2 x^8 y^4)/r^2 -1)+(kx^4 y^2)/r)-┤                                   (30)

    ├ (3kx^4 y^2)/r √((k^2 x^8 y^4)/r^2 -1)].

Сравнительное поведение зависимостей f и f_Π для рассматриваемого примера показано на рис. 1. 
 
                                             а)                                                                                               б)
Рис. 1. Зависимости f и f_Π для (30) и его преобразования (28) соответственно при A=1,0,k=0,5: 
а – эквипотенциальные линии f=f_Π=0,2 при a=r=0,1 на плоскости переменных (x,y) (нижняя – f, верхняя f_Π); б – распределения по размерам в точке x=y=1 (верхняя кривая – f, нижняя f_Π)

Fig. 1. Dependences f and fp for (30) and its transformations (28), respectively, at A=1,0,k=0,5:
a – equipotential lines f=f_P=0,2 at a=r=0,1 on the plane of variables (x, y) (lower – f, upper f_P); b – size distributions at the point x=y=1 (the upper curve is f, the lower one is f_P)

 
Как это наглядно видно из приведенных рисунков, зависимость от поперечных координат переносится интегральным преобразованием практически без заметных изменений, в то время как распределение частиц по размерам трансформируется существенно или даже кардинально, особенно в области частиц малых размеров. 

Пример 2: редукция распределения Фуллера

Предположим, что имеется плоский слой с координатой x, ориентированной вдоль толщины слоя: x∈[0;l], в котором плотность функции распределения частиц имеет вид: 

    f(x,a)=g(x)⋅Φ(a),                 (31)

 где g(x) – некоторое распределение центров частиц; 

    Φ(a)={■((a/a_0 )^s/a_0,a∈[0;a_0];@0,a∈ ̸[0;a_0])┤          (32)

– плотность распределения Фуллера с параметром максимального размера a_0 и параметром степени -0,5≤s≤0. Поскольку распределение по размерам факторизовано с распределением по координатам центров и от координаты z, нормальной к сечению шлифа, плотность функции распределения f(x,a) не зависит, то формула редукции (26) сохранит координатную часть g(x) неизменной и можно сосредоточиться лишь на преобразовании части Φ(a), отвечающей за размеры. Имеем по формуле (26): 

    Φ_Π (r)=∫_(-∞)^∞▒〖(Φ(√(r^2+z^2 ))r)/√(r^2+z^2 ) dz〗=2r/(a_0^(s+1) ) ∫_0^(√(a_0^2-r^2 ))▒〖(r^2+z^2 )^((s-1)/2) dz〗,                               (33)

 
где была учтена четность подынтегральной функции и конечность верхнего предела интегрирования, на котором аргумент Φ(a) должен принимать свое максимальное значение a_0. Интеграл (33) выражается через гипергеометрическую функцию F(α,β,γ,x) таким образом, что редуцированная на плоскость шлифа функция плотности распределения по размерам частиц имеет вид: 
 
    
Φ_Π (r)=(2r^s √(a_0^2-r^2 ))/(a_0^(s+1) ) F(1/2,(1-s)/2,3/2,1-(a_0^2)/r^2 ).                                            (34)

Сравнительное поведение зависимостей Φ и Φ_Π для рассматриваемого примера при              a_0=1,s=-0,3 показано на рис. 2. 

 
                                          а)                                                                                                 б)
Рис. 2. Зависимости Φ (верхняя кривая) и Φ_Π (нижняя кривая) при a_0=1,s=-0,3 (а); интегральные распределения для тех же зависимостей при тех же параметрах (б) 

Fig. 2. Dependencies F (upper curve) and FP (lower curve) at a_0=1,s=-0,3 (a); integral distributions for the same dependencies at the same parameters (b)

 
Как хорошо видно из приведенных зависимостей, редуцированная на плоскость плотность распределения Фуллера заметно отличается на краях от его пространственного оригинала – она обращается там в ноль. Для интегральных функций распределения наблюдается качественно та же картина: вблизи нуля редуцированная интегральная функция заметно отстает от пространственной, а вблизи правого края распределения она несколько опережает пространственную. Эти обстоятельства необходимо учитывать для правильной интерпретации результатов обработки данных по эмпирическому распределению неоднородностей на шлифах.

Восстановление пространственной
функции распределения

Формулой (28) можно пользоваться и в обратную сторону для приближенного восстановления пространственной функции распределения. Действительно, если считать, что функция в левой части (28) известна из исследования шлифа, а для функции в правой части на основе экспериментальных данных или некоторых общих теоретических соображений выбран некоторый аппроксиматор, содержащий разумное число параметров, то выполняя интегрирование в правой части мы получим равенство двух функций, которое можно понимать в смысле задачи регрессионного анализа. Такой подход не гарантирует высокой точности и в неблагоприятном случае потребует большого числа параметров регрессии.
Более строгая постановка задачи подразумевает обращение формулы (28), точнее, даже его принципиальной возможности. Можно утверждать, что, в случае зависимости функции f от координаты z, эта задача не может иметь решения, поскольку, подбирая эту зависимость надлежащим образом при любой зависимости f от переменной a, первой можно компенсировать последнюю и получить любую наперед заданную зависимость f_Π, что очевидно из структуры выражения (28). С другой стороны, практически важный для любой технологии напыления случай, в котором f не зависит от координаты z (т. е. от координаты вдоль дорожки напыления), соответствует ситуации стационарной работы плазменной свечи, которая напыляет материал на поверхность в строго фиксированных условиях и свойства покрытия стационарны вдоль длины дорожки. В этом случае точное обращение формулы (28) оказывается возможным и в этом разделе мы выведем формулу для него.
Стартуем с формулы (28), в которой, в силу независимости f от z f_+=f. Опуская несущественную для дальнейших рассуждений зависимость f и f_Π от поперечных координат {x,y} (они в последующих рассмотрениях являются постоянными параметрами и зависимость от них тривиально переносится с f на f_Π и обратно как зависимость от параметров), перепишем формулу (28) в более простом виде:

f_Π (r)=2r∫_0^∞▒〖(f(√(r^2+z^2 )))/√(r^2+z^2 ) dz〗.              (35)

Вводя новую удобную переменную
u=√(r^2+z^2 );dz/√(r^2+z^2 )=du/z=du/√(u^2-r^2 ),  интеграл в (35) можно переписать в виде:

f_Π (r)=2r∫_r^∞▒〖(f(u))/√(u^2-r^2 ) du〗,               (36)

в котором зависимость f(u) является искомой, а f_Π (r) считается известной. Умножим обе части уравнения (36) на (r^2-s^2 )^(-1/2) и проинтегрируем их по r в пределах от s до +∞. В результате получим:
 
    
∫_s^∞▒〖(f_Π (r))/√(r^2-s^2 ) dr〗=2∫_s^∞▒r ∫_r^∞▒〖(f(u))/(√(u^2-r^2 )⋅√(r^2-s^2 )) drdu〗= 2∫_(W_2)▒〖(f(u))/(√(u^2-r^2 )⋅√(r^2-s^2 )) drdu〗                  (37)

– интеграл по клиновидной области W_2 на плоскости r-u (рис. 3), задаваемой системой неравенств: 
    s≤r<∞ и r≤u<∞.

 
Рис 3. Область интегрирования в двойном интеграле (37)

Fig. 3. The area of integration in the double integral (37)

 
Выполним интегрирование по этой области последовательно: сначала по переменной r в пределах от s до u, а потом по переменной u в пределах от s до ∞. Первое интегрирование не зависит от вида f(u) и сводится к вычислению безразмерного интеграла:
 

I=∫_s^u▒〖rdr/(√(u^2-r^2 ) √(r^2-s^2 ))  〗  =^(q=r^2)▒1/2 ∫_(s^2)^(u^2)▒dq/(√(u^2-q) √(q-s^2 )) =^( t=√(q-s^2 ))▒0
(38)
∫_0^(√(u^2-s^2 ))▒dt/√(u^2-s^2-t^2 ) =^(η=t/√(u^2-s^2 ))▒∫_0^1▒dη/√(1-η^2 )=π/2.  
Подставляя этот результат в (37), получаем: 

    ∫_s^∞▒〖(f_Π (r))/√(r^2-s^2 ) dr〗=π∫_s^∞▒〖f(u)du〗,          (39)

откуда, дифференцируя обе части по s, получаем искомое обращение: 

    f(s)=-1/π  d/ds ∫_s^∞▒〖(f_Π (r))/√(r^2-s^2 ) dr〗.           (40)

1. Пример: восстановление линейной редуцированной функции распределения
В качестве примера рассмотрим наблюдаемую функцию f_Π в виде линейной убывающей до нуля зависимости: 
    f_Π=A(1-r/r_0 ),                     (41)

где r_0 и A – некоторые параметры (возможно, зависящие от координат x,y на Π). Применение формулы (40) к этой зависимости приводит к функции распределения в пространстве: 

    f=A/πs √(1-s^2/(r_0^2 )).                         (42)

Рассматриваемые зависимости представлены на рис. 4 
 

 
                                                                а)                                                                                          б)
Рис. 4. Плоская и восстановленная по ней пространственная функции распределения сферических неоднородностей в сравнении (а); увеличенный масштаб вблизи правых концов при A=r_0=1 (б)

Fig. 4. The planar and reconstructed space function of the distribution of spherical inhomogeneities in comparison (а); an enlarged scale near the right ends at  A=r_0=1 (б)

 
Рис. 4 иллюстрирует общую закономерность: плоские и пространственные функции распределения по размерам сферических неоднородностей близки друг к другу в области неоднородностей максимальных размеров и довольно сильно расходятся в области неоднородностей малых размеров. Нетривиальный характер близости в области больших размеров дополнительно проиллюстрирован на правом рисунке, который более детально отражает поведение зависимостей на правой границе распределений. Существование предельного размера в плоской функции распределения получает простое объяснение: в восстановленной пространственной функции распределения отсутствуют частицы с размером большим, чем r_0, следовательно, и у сечений этих частиц не может быть большего размера. Далее, частицы большого размера попадают в сечение плоскостью Π с большей вероятностью, чем частицы малых размеров, по чисто геометрическим причинам, поэтому для соблюдения линейного закона убывания плоской функции распределения, плотность вероятности мелких частиц в пространстве должна быть существенно выше, что и отражают полученные теоретические зависимости. 

Редукция функции распределения 
эллипсоидов

Рассмотрим теперь частицы примесей в виде эллипсоидов вращения в слое с поперечной координатой X c плотностью функцию распределения: 

    f(x,a_1,a_2)=g(x)⋅Φ_1 (a_1)⋅Φ_2 (a_2),    (43)

где g(x) – некоторое распределение центров частиц вдоль толщины; Φ_1 (a_1),Φ_2 (a_2) – распределения Фуллера, задаваемые парой параметров {(a_01,s_1),(a_02,s_2)} для каждой из полуосей, при этом оси вращения всех эллипсоидов параллельны оси X. Поскольку мы рассматриваем очень простой частный случай общей схемы «Редукция пространственной функции распределения для сферических частиц», то для сокращения выкладок имеет смысл не пользоваться приведенными там общими громоздкими формулами, а проиллюстрировать их смысл, заново проделав процедуру редукции в явном виде. Уравнение некоторого пространственного эллипсоида вращения E в рассматриваемом случае имеет вид: 

    ((X-x)^2)/(a_1^2 )+((Y-y)^2+(Z-z)^2)/(a_2^2 )=1.            (44)
Пусть плоскость шлифа Π совпадает с плоскостью Z=0, тогда в сечении получаем эллипс Π∩E≡E_Π, с уравнением: 

    ((X-x)^2)/a^2 +((Y-y)^2)/b^2 =1,                  (45)
где

    a=a_1 √(1-z^2/(a_2^2 )); b=a_2 √(1-z^2/(a_2^2 )).     (46)

Для записи редуцированной функции распределения (далее мы будем выписывать ее с точностью до постоянных нормировочных множителей, опуская их), необходимы обратные формулы: 

    a_2=√(b^2+z^2 ); a_1=a/b √(b^2+z^2 ),     (47)

а также якобиан перехода (a_1,a_2)→(a,b). Непосредственный расчет по формулам (47) через матрицу Якоби или с помощью внешних форм приводит к простому результату: Δ(a_1,a_2 |a,b)=1. Таким образом, выделяя из общего элемента объема промежуточную переменную z, по которой необходимо произвести усреднение, получаем для редуцированной функции распределения следующее выражение: 

 
    
f_Π (x,a,b)=∫_(-L)^L▒〖g(x)⋅Φ_1 (a/b √(b^2+z^2 )) Φ_2 (√(b^2+z^2 ))dz〗∼
(48)
g(x)a^(s_1 ) b^(s_2+1) ∫_(-ξ_L)^(ξ_L)▒〖(1+ξ^2 )^((s_1+s_2)/2) dξ≡a^(s_1 ) b^(s_2+1) I(ξ_L,(s_1+s_2)/2)〗,
                            
 
где ξ_L=L/b; L — размер слоя в z-направлении, который надо рассматривать как параметр регуляризации L→∞. Интеграл в (48) вычисляется через гипергеометрическую функцию: 
 

    I(R,s)=(-π^(3/2) (2s+1)+2R^(2s+1) Γ(-s)Γ(s+3/2)cos⁡( πs)F(-s,-1/2-s,1/2-s,-R^(-2)))/((2s+1)cos⁡( πs)Γ(s+3/2)Γ(-s)).                (49)

Поскольку слой является протяженным по оси Z, то нужно рассмотреть асимптотику (49) при R→∞ – она имеет простой вид: 

    I(R,s)=^(R→∞)▒2/(2s+1) R^(2s+1).    (50)

Подставляя это в (48), получаем после простых преобразований: 

f_Π (x,a,b)   g(x)⋅a^(s_1 ) b^(〖-s〗_1 )=g(x) (a/b)^(s_1 ).
    
 
Таким образом, редукция плотности функции распределения (43) эллипсоидов на сечение плоского шлифа переносит плотность распределения центров без изменения, а произведение распределений Фуллера с независимыми параметрами переводит в произведение распределений с противоположными параметрами степени и с прежними значениями параметров a_0=a_10,b_0=a_02. Можно сказать, что редуцированная функция плотности зависит только от отношения размеров полуосей. Это обстоятельство можно использовать для экспериментальной проверки справедливости пространственного распределения Фуллера для примесей по исследованию свойств распределения сечений примесей на шлифе. 
 

1. Кудинов В.В., Бобров Г.В. Нанесение покрытий напылением. Теория, технология и оборудование. М.: Металлургия, 1992. 432 с.

2. Газотермическое напыление / под общей ред. Л.Х. Балдаева. М.: Маркет ДС, 2007. 344 с.

3. Davis J.R. Handbook of thermal spray technology. ASM International, 2004. 338 p.

4. Пузряков А.Ф. Теоретические основы технологии плазменного напыления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Е. Баумана, 2008. 360 с.

5. Pinkerton A.J. Advances in the modeling of laser direct metal deposition // Journal of Laser Applications. 2015. V. 27. S15001. https://doi.org/10.2351/1.4815992.

6. Yu T., Yang L., Zhao Yu., Sun J., Li B. Experimental research and multi-response multi-parameter ptimization of laser cladding Fe313 // Optics and Laser Technology. 2018. V. 108. P. 321-332. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2018.06.030.

7. Sawant M.S., Jain N.K. Evaluation of stellite coatings by µ-PTA powder, laser, and PTA deposition processes // Materials and Manufacturing Processes. 2017. V. 33:10. P. 1043-1050. http://dx.doi.org/10.1080/10426914.2017.1364764.

8. Alaluss K., Mayr P. Additive Manufacturing of Complex Components through 3D Plasma Metal Deposition-A Simulative Approach // Metals. 2019. V. 9. P. 574-693. https://doi.org/10.3390/met9050574.

9. Prozorova M.S., Kovaleva M.G., Arseenko M. Yu., et al. Microstructure and mechanical properties of alumina powder coatings by a new multi-chamber detonation sprayer // Surface Review and Letters. 2016. V. 23. No. 01. P. 1550088-1-1550088-7. https://doi.org/https://doi.org/10.1142/S0218625X15500882.

10. Murphy T., Schade C.T., Zwiren, A. Using automated image analysis for characterization of additive manufacturing powders // International Journal of Powder Metallurgy. 2018. V. 54. P. 47-59.

11. Bakas G., Dimitriadis S., Deligiannis S. et al. A Tool for Rapid Analysis Using Image Processing and Artificial Intelligence: Automated Interoperable Characterization Data of Metal Powder for Additive Manufacturing with SEM Case // Metals. 2022. V.12. P. 1816-1-1816-15. https://doi.org/https://doi.org/10.3390/met12111816.

12. Соловьев М.Е., Раухваргер А.Б., Балдаев С.Л., Балдаев Л.Х., Мищенко В.И. Влияние условий плазменного напыления порошка оксида алюминия на пористость и электрическое сопротивление покрытия // Наукоёмкие технологии в машиностроении. 2023. № 5 (143). С. 22-32.

13. Zhu H., Huang Y., Ren J., Zhang B. et al. Bridging Structural Inhomogeneity to Functionality: Pair Distribution Function Methods for Functional Materials Development // Advanced Science. 2021. V. 17. P.2003534-1-2003534-31.

14. Tsitsiashvili G., Osipova M. Asymptotic Relations in Applied Models of Inhomogeneous Poisson Point Flows // Mathematics. 2023. V.11. P. 1881-1-1881-10. https://doi.org/10.3390/math11081881.

15. Sluzalec A. Stochastic characteristics of powder metallurgy processing // Applied Mathematical Modelling. 2015. V. 39, No 23-24. P. 7303-7308. https://doi.org/10.1016/j.apm.2015.03.013.