Воронеж, Воронежская область, Россия
УДК 517.977.1 Общая теория систем управления и управляемость (математическая теория)
УДК 519.63 Численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
Рассматривается полностью управляемая динамическая система в частных производных. Решена задача построения функций состояния и управления в аналитическом виде. Основным методом является метод каскадной декомпозиции, алгоритмически реализующийся в три этапа: прямой ход каскадной декомпозиции, центральный этап и обратный ход. Метод базируется на свойствах матричного коэффициента при производной от функции управления. Под декомпозицией подразумевается р-шаговый переход от исходной системы к редуцированной системе, вполне аналогичной по виду исходной, но относительно функций из подпространств. Пошаговая декомпозиция сопровождается редукцией заданных условий. Переход к системе р-го шага сопровождается появлением дополнительных условий на частные производные от компонент функции состояния. Дополнительное количество условий в каждой точке равно количеству шагов декомпозиции. Свойства матричного коэффициента при производной от функции управления редуцированной системы последнего шага, а именно, его сюръективность, определяют наличие свойства полной управляемости рассматриваемой системы. Установлением количества шагов декомпозиции и выявлением свойства полной управляемости завершается первый этап декомпозиции – этап прямого хода. Целью следующего - центрального этапа декомпозиции является построение функции состояния редуцированной системы последнего шага в аналитическом виде. Функция состояния редуцированной системы является определяющей базисной функцией, так как ее форма определяет форму функции состояния исходной системы. Установлены необходимые и достаточные условия существования определяющей базисной функции (ОБФ) в полиномиальном виде, а также устанавливается минимальная степень полинома, определяемая количеством шагов декомпозиции. Приведены формулы для построения вектор-функций – коэффициентов полинома ОБФ. Приведены формулы для построения функции управления редуцированной системы также в полиномиальном виде. В ходе реализации последнего этапа декомпозиции последовательно восстанавливается, удовлетворяющая заданным условиям в начальной и конечной точках, функция состояния исходной системы в полиномиальном виде. Завершающим этапом является построение функции управления исходной системы также в полиномиальном виде. Разработан пошаговый алгоритм решения задачи программного управления для динамической системы в частных производных. Приводятся формулы для построения функций состояния и управления в полиномиальном виде. На примере трехмерной динамической системы в частных производных с сюръективным матричным коэффициентом в системе расщепления первого шага демонстрируется реализация разработанного алгоритма и строятся функции состояния и управления в виде полинома минимальной степени.
Система в частных производных, полная управляемость, алгоритм, каскадная декомпозиция, состояние, полиномиальное решение, программное управление.
1. Джохадзе, О.М. Смешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного уравнения колебания струны / О.М. Джохадзе // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 5. - С. 591-606. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122050028; EDN: https://elibrary.ru/CASWYZ
2. Назаров, С.А. Волны Релея для эллиптических систем в областях с периодическими границами / С.А. Назаров // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 5. - С. 638-655. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122050053; EDN: https://elibrary.ru/CBEIJR
3. Зайцева, Н.В. Классические решения гиперболических дифференциально-разностных уравнений в полупространстве / Н.В. Зайцева // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 5. - С. 628-637. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122050041; EDN: https://elibrary.ru/CBCDZS
4. Алексеева, Л.А. Обобщенные решения стационарных краевых задач для биволновых уравнений / Л.А. Алексеева // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 4. - С. 477-488. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122040045; EDN: https://elibrary.ru/BZLLWX
5. Коненков, А.Н. Асимптотика фундаментальных решений параболических уравнений с одной пространственной переменной / А.Н. Коненков // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 4. - С. 489-497. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122040057; EDN: https://elibrary.ru/BZPNYP
6. Фуджита-Яшима, Х. Вариант ряда Фурье в сферической области и его применение к моделированию испарения капли воды / Х. Фуджита-Яшима // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 2. - С. 204-222. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122020078; EDN: https://elibrary.ru/XDFUVZ
7. Eliseev, A.G. Development of the Lomov Regularization Method for Singularly Perturbed Caushy Problem and a Boundary Value Problem on the Half-Line for Parabolic Equations with a “Simple” Rational Turning Point / A.G. Eliseev, T.A. Ratnikova, D.A. Shaposhnikova // Differential equations. - 2022. - V. 58, № 3. - P. 314-340. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266122030041; EDN: https://elibrary.ru/QRIUKG
8. Ломов, И.С. Построение обобщенного решения смешанной задачи для телеграфного уравнения: секвенциальный и аксиоматический подходы / И.С. Ломов // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 11. - С. 1471-1483. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122110048; EDN: https://elibrary.ru/MABMSA
9. Белопольская, Я.С. Вероятностная интерпретация задачи Коши для систем нелинейных параболических уравнений / Я.С. Белопольская // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 12. - С. 1606-1623. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122120032; EDN: https://elibrary.ru/NCBSDL
10. Шишкина, Э.Л. Единственность решения задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона_Дарбу / Э.Л. Шишкина // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 12. - С. 1688-1693. DOI: https://doi.org/10.31857/S037406412212010X; EDN: https://elibrary.ru/NCVYIW
11. Elkin, V.I. Application of Dofferential-Geometric Methods of Control Theory to the Theory of Partial Differential Equations. I / V.I. Elkin // Differential equations. - 2021. - V. 57, № 11. - P. 1451-1459. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266121110057; EDN: https://elibrary.ru/SQVHAC
12. Елкин, В.И. Применение дифференциально-геометрических методов теории управления в теории дифференциальных уравнений с частными производными / В.И. Елкин // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 11. - С. 1453-1460. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122110024; EDN: https://elibrary.ru/LZVOCI
13. Stabilization of a System of Unstable Pendulum Discrete and Contininuous Case / P.A. Meleshenko, M.E. Semenov, A.M. Solovyov, K.I. Sypalo // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2022. - V. 61, № 2. - Pp. 135-154. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064230722020113; EDN: https://elibrary.ru/GWPIQB
14. Тхай, В.Н. Стабилизация колебания управляемой механической системы с N степенями свободы / В.Н. Тхай // Автоматика и телемеханика. - 2020. - № 9. - С. 93-104. DOI: https://doi.org/10.31857/S0005231020090044; EDN: https://elibrary.ru/FEBNFW
15. Selyutskiy, Y.D. Controlling the Motion of an Aerodynavic Pendulum with an Elastically Fixed Suspension Point / Y.D. Selyutskiy // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2022. - V. 61, № 3. - Pp. 322-331. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064230722030121; EDN: https://elibrary.ru/WVQYTM
16. Balandin, D.V. Stabilization of Linear Dynamic Objects According to the Measured-Error State Under Constraints on the Phase and Control variables / D.V. Balandin, A.A. Fedyukov // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2021. - V. 60, № 5. - P. 673-685. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064230721050038; EDN: https://elibrary.ru/AJSYKP
17. Maksimov, V.I. On Guaranted Control of a Linear System of Differential Equations with Incomplete Information About State Coordinates / V.I. Maksimov // Differential equations. - 2021. - V. 57, № 11. - P. 1468-1480. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266121110070; EDN: https://elibrary.ru/LSJKXI
18. Зубова, С.П. Алгоритм решения линейных многоточечных задач управления методом каскадной декомпозиции / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Автоматика и телемеханика. - 2017. - № 7. - С. 22-38. EDN: https://elibrary.ru/YTFMGD
19. Раецкая, Е.В. Исследование сингулярно возмущенной системы управления / Е.В. Раецкая // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2018. - Т. 23, № 122. - С. 303-307.
20. Zubova, S.P. Solution of the multi-point control problem for a dynamic system in partial derivatives / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2021. - V. 44, № 15. - Pp. 11998-12009. DOI: https://doi.org/10.1002/mma.7130; EDN: https://elibrary.ru/NUYVYN
21. Zubova, S.P. Control problem for dynamical systems with partial derivatives / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, L.H. Trung // Journal of Mathematical Sciences. - 2021. - V. 249, № 6. - Pp. 941-953.
22. Zubova, S.P. Construction of Controls Providing the Desired Output of the Linear Dynamic System derivatives / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Automation and Remote Control. - 2018. - Vol. 79 (5). - Pp. 774-791. DOI: https://doi.org/10.1134/S0005117918050016; EDN: https://elibrary.ru/UPRTTV
23. Зубова, С.П. Построение управления для получения заданного выхода в системе наблюдения / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 1400-1404. EDN: https://elibrary.ru/UJFBVX
24. Зубова, С.П. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Т.К. // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2010. - Т. 25, № 6. - С. 1678-1679. EDN: https://elibrary.ru/MVPPHT
25. Зубова, С.П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Ле Хай Чунг // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 11. - С. 41-47. EDN: https://elibrary.ru/MWHPSP
26. Zubova, S.P. Invariance of a nonstationary observability system under certain perturbations / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. - 2013. -V. 188, № 3. - P. 218-226. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-012-1120-9; EDN: https://elibrary.ru/REUKIP
27. Раецкая, Е.В. Алгоритм построения управления динамической системой в частных производных / Е.В. Раецкая // Моделирование систем и процессов. - 2022. - Т. 15, № 4. - С. 116-127. DOI: https://doi.org/10.12737/2219-0767-2022-15-4-116-127; EDN: https://elibrary.ru/ZLUVUW
28. Zubova, S.P. A Study of the Rigidity Descriptor Dynamical Systems in a Banach Spase / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. - 2015. -Vol. 208, Is. 1. - Pp. 131-138. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-015-2430-5; EDN: https://elibrary.ru/WTTYXR
29. Зубова, С.П. Решение задачи Коши для двух дескрипторных уравнений с нетеровым оператором / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Доклады академии наук. - 2014. - Т. 459, № 5. - С. 640-652. DOI: https://doi.org/10.7868/S0869565214350084; EDN: https://elibrary.ru/SYZAEN
30. Zubova. S.P. Degeneraty Property of a Matrix Differential Operator and Applications / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, V.I. Uskov // Journal of Mathematical Sciences. - Vol. 255, № 5, 2021. - P. 640-652. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-021-05401-7; EDN: https://elibrary.ru/FBWBSI
31. Зубова, С.П. Решение полуграничной задачи для вырожденного уравнения в частных производных / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 9. - С. 1193-1204. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064122090035; EDN: https://elibrary.ru/CHUCTT
32. Зубова, С.П. Исследование решения задачи Коши для дескрипторного уравнения с возмущением в правой части / С.П. Зубова, Е. В. Раецкая // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2021. - Т. 195.- С. 51-56. DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2021-195-51-56; EDN: https://elibrary.ru/DMHBZE
