сотрудник с 01.10.2008 по настоящее время
Россия
В первой части предлагаемой работы рассматривался вопрос об основных свойствах циклид Дюпена, а также приводились некоторые примеры их применения: три способа решения задачи Аполлония исключительно при помощи циркуля и линейки, используя выявленные свойства циклиды, т.е. давалось классическое решение задачи. Во второй части работы продолжено рассмотрение свойств циклид Дюпена. Предложена и доказана возможность задания циклиды Дюпена произвольным эллипсом в качестве линии центров множества образующих сфер и сферой с центром, принадлежащим этому эллипсу. Доказана достаточность этих сведений для построения циклиды Дюпена. Геометрически доказано, что фокальные линии циклид представляют собой не что иное, как кривые второго порядка. Дано графоаналитическое представление фокальных линий циклид. Показано поликоническое соответствие фокальных линий циклид Дюпена, которое рассмотрено во всех четырех случаях. Предложено формирование гиперболической поверхности четвертого порядка с использованием одной или двух первичных кривых второго порядка, в данном случае – эллипсов. Применяются софокусные данному эллипсу гиперболы. При этом первичный эллипс, лежащий в плоскости хОу, с центром, совпадающим с началом координат, находится в неподвижном состоянии, а система координат вращается вокруг оси z. Тогда точки пересечения вращающихся координат х и у с неподвижным эллипсом задают новые значения большой и малой оси эллипса с вытекающими изменениями в форме софокусной гиперболы. Хотя такое моделирование напрямую и не связано с циклидой Дюпена, но однозначно вытекает из свойств ее фокальных кривых – кривых второго порядка. Выведены уравнения поверхности и ее горла.
начертательная геометрия, циклические поверхности, каналовые поверхности, циклида Дюпена, задача Аполлония, задача Ферма.
В первой части предлагаемой работы [20] рассматривался вопрос об основных свойствах циклиды Дюпена [5; 6; 8; 10–12; 23], а также приводились некоторые примеры их применения: три способа решения задачи Аполлония [9] исключительно при помощи циркуля и линейки, используя выявленные свойства циклиды, т.е. показывалось классическое решение задачи. Во второй части работы продолжено рассмотрение свойств циклиды Дюпена. При исследовании были применены методы аналитической [3], проективной [21] и элементарной [1; 2] геометрий. Методам аналитической геометрии в статьях придается особое значении [5; 6; 8; 10–18; 23], поскольку они позволяют получить математически точное решение.
1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.
2. Берже М. Геометрия. Т. 1-2. М.: Мир, 1984.
3. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия. М.: Физматгиз, 1963.
4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
5. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании // Геометрия и графика, 2012. Т. 1. № 1. С. 17-19. DOI:https://doi.org/10.12737/2077.
6. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых // Геометрия и графика, 2012. Т. 2. № 3. С. 3-6. DOI:https://doi.org/10.12737/6518.
7. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
8. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М.: ЛИБРОКОМ, 2010.
9. Левицкий В.С. О теме «Сопряжения» в курсе «Инженерная графика» // Сборник научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Высшая школа, 1980. С. 44-51.
10. Надолинный В.А. Аналитические методы в конструировании поверхностей. Киев, КПИ, 1981.
11. Сальков Н.А. О некоторых закономерностях, имеющих место при касании сфер // Прикладная геометрия и инж. графика. Вып. 32. Киев: Будiвельник, 1981. С. 113-115.
12. Сальков Н.А. Об особенностях оси торовой поверхности переменного радиуса // Прикладная геометрия и инж. графика. Вып. 33. Киев: Будiвельник, 1982. С. 79-80.
13. Сальков Н.А. Геометрические параметры грохота // Прикл. геометрия и инж. графика. Киев: Будiвельник, 1987. Вып. 43. С. 69-71.
14. Сальков Н.А. Геометрическое и математическое моделирование виражных участков автомобильных дорог / Труды МАДИ: Вычислительная геометрия и машинная графика в задачах САПР автомобилестроения и автомобильных дорог. М., 1989. С. 4-9.
15. Сальков Н.А. Геометрическое и программно-математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог - дис. … канд. техн. наук. М.: МАДИ, 1990.
16. Сальков Н.А. Аналитическое представление проектных горизонталей поверхностных форм автомобильных дорог / Актуальные проблемы градостроительства и жилищно-коммунального комплекса. Международная научно-практическая конференция 15-16 мая 2003 г. М.: МИКХиС, 2003. С. 61-62
17. Сальков Н.А. Кинематическое соответствие вращающихся пространств // Геометрия и графика, 2013. Т. 1. № 1. С. 4-10. DOI:https://doi.org/10.12737/2074.
18. Сальков Н.А. Графо-аналитическое решение некоторых частных задач квадратичного программирования // Геометрия и графика, 2014. Т. 2. № 1. С. 3-8. DOI:https://doi.org/10.12737/3842.
19. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании // Геометрия и графика, 2014. Т. 2. № 3. С. 7-13. DOI:https://doi.org/10.12737/6519.
20. Сальков Н.А. Циклиды Дюпена и их применение. Часть 1 // Геометрия и графика, 2015. Т. 3. № 1. С 16-25. DOI:https://doi.org/10.12737/10454.
21. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Учпедгиз, 1961. - 360 с.
22. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая - Геометрия. М.: Наука, 1966.
23. Якубовский А.М. Исследования аналитического метода задания циклид Дюпена при выявлении их из конгруэнций окружностей // Труды УДН. Т. 53. Вып. 4. Прикладная геометрия. М., 1971. С. 26-40.
24. Dupin Ch. Développements de géometrié, P., 1813.
