сотрудник
Воронеж, Воронежская область, Россия
УДК 519.63 Численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
Для динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением в частных производных разного порядка, решается задача построения программного управления в аналитическом виде. Основным методом исследования является метод каскадной декомпозиции, усовершенствованный алгоритм которого включает три основных этапа: прямой ход, центральный этап и обратный ход. Метод базируется на свойствах матричного коэффициента при частной производной второго порядка от функции управления. Нетеровость коэффициента обуславливает расщепление исходного пространства в прямые суммы подпространств. Приводится схема структурирования подпространств, в соответствии со свойствами матричного коэффициента. Реализуется прямой ход декомпозиции, который заключается в пошаговом переходе к эквивалентным иерархически структурированным системам двух уровней в подпространствах. С использованием проекторов - матричных коэффициентов, производится пошаговое структурирование компонент функции состояния, на функции из подпространств, именуемые функциями псевдосостояния и псевдоуправления. Производится графическая визуализация иерархической структуры исходного пространства в форме схемы, отражающей сущностные связи между компонентами подпространств каждого уровня декомпозиции. Рассматриваются конечномерные пространства, что обуславливает полное завершение первого этапа алгоритма за конечное число шагов, не превышающее размерности исходного пространства. В ходе декомпозиции редуцируются условия в начальной и конечной точках, так что по завершении каждого шага прямого хода появляется по одному дополнительному условию в каждой точке для каждой системы второго уровня. В процессе реализации первого этапа алгоритма устанавливаются свойства матричных коэффициентов исходной системы, влекущих полную управляемость или неуправляемость, а также выявляются свойства функций в исходных условиях, необходимых для реализации управляемого процесса. Выводится критерий полной управляемости исходной системы. Для полностью управляемой системы производится переход к центральному этапу алгоритма – построению определяющей базисной функции, удовлетворяющей всем дополнительным, возникающим вследствие редукции исходных, условиям на частные производные по времени в каждой точке, что закладывает предпосылки для построения функций состояния и управления исходной системы на заключительном этапе алгоритма. Приводится схема, визуализирующая процедуру пошагового восстановления компонент функции состояния в процессе реализации обратного хода, завершающегося построением в явном виде сначала функции состояния, затем функции управления. Производится качественный анализ структуры управления исследуемой системы.
Алгоритм, каскадная декомпозиция, динамическая система, программное управление, функция состояния, частные производные, матричный коэффициент, структурный анализ
1. Petrenko, P.S. Controllability of a Singular Hybrid System / P.S. Petrenko // The bulletin of Irkutsk state university. Series: Mathematics. - 2020. - Vol. 34. - Pp. 35-50. - DOI:https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.34.35.
2. Петренко, П.С. Робастная управляемость нестационарных дифференциально-алгебраических уравнений / П.С. Петренко // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2018. - Т. 25. - С. 79-92. - DOI:https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.25.79.
3. Furtat, I.B. Spatially Discrete Control of Scalar Linear Distributed Plants of Parabolic and Hiperbolic Types / I.B. Furtat, P.A. Gushin // Automation and Remote Control. - 2021. - Т. 82 (3) - Pp. 433-448. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0005117921030048.
4. Елкин, В.И. Применение дифференциально-геометрических методов теории управления в теории дифференциальных уравнений с частными производными. I / В.И. Елкин // Дифференциальные уравнения. - 2021. - Т. 57, № 11. - С. 1474-1482. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0374064121110054.
5. Футат, И.Б. Управление динамическими объектами с гарантией нахождения регулируемого сигнала в заданном множестве / И.Б. Фуртат, П.А. Гущин // Автоматика и телемеханика. - 2021. - Т. 4. - С. 121-139. - DOI:https://doi.org/10.31857/S000523102104005X.
6. Antipov, A.S. Synthesis of Invariant Nonlinear Signal-Channel Sigmoid Feedback Tracking Systems Ensuring Given Tracking Accuracy / A.S. Antipov, S.A. Krasnova, V.A. Utkin // Automation and Remote Control. - 2022. - T. 83(1). - Pp. 32-53. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0005231022010032.
7. Щеглова, А.А. Об управляемости дифференциально-алгебраических уравнений в классе импульсных воздействий / А.А. Щеглова //Сибирский математический журнал. - 2018. - Т. 59, № 1. - P. 210-224. - DOI:https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.118.
8. Прилепко, А.И. Задачи управления и наблюдения в банаховых пространствах. Оптимальное управление и принцип максимума. Применение для ОДУ в / А.И. Прилепко // Дифференциальные уравнения. - 2019. - Т. 55, № 12. - С. 1683-1692. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0374064119120094.
9. Амосова, Е.В. Точная локальная управляемость двумерным течением вязкого газа / Е.В. Амосова // Дифференциальные уравнения. - 2020. - Т. 56, № 11. - С. 1447-1470. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0374064120110047.
10. Между LOG/H2 и H1 теориями управления / А.П. Курдюков, О.Г. Андрианова, А.А. Белов, Д.А. Гольдин // Автоматика и телемеханика. - 2021. - Т. 4. - С. 8-76. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0005231021040024.
11. Максимов, В.И. О гарантированном управлении линейной системой дифференциальных уравнений при неполной информации о фазовых координатах / В.И. Максимов // Дифференциальные уравнения. - 2021. - Т. 57, № 11. - С. 1491-1502. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0374064121110078.
12. Храмцов, О.В. Управляемость вполне интегрируемых линейных нестационарных систем Пфаффа / О.В. Храмцов, С.А. Прохожий // Дифференциальные уравнения. - 2020. - Т. 56, № 8. - С. 1130-1134. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0374064120080130.
13. Golubev, A.E. construction of programmed motion of constrained mechanical systems using third-order polinomials / A.E. Golubev // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2021. - Vol. 60 (2) - Pp. 303-314. - DOI: https://doi.org/10.1134/S1064230720060040.
14. Прилуцкий, М.Х. Программные управления двухстадийными стохастическими производственными системами / М.Х. Прилуцкий // Автоматика и телемеханика. - 2020. - № 1. - С. 81-92. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0005231020010067.
15. Раецкая, Е.В. Алгоритм построения управления динамической системой в частных производных / Е.В. Раецкая // Моделирование систем и процессов. - 2022. - Т. 15, № 4. - С. 116-127. - DOI:https://doi.org/10.12737/2219-0767-2022-15-4-116-127.
16. Zubova, S.P. Solution of the multi-point control problem for a dynamic system in partial derivatives / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Mathematical Methods in the Applied Science. - 2021. - Vol. 44, № 15. - Pp. 11998-12009. - DOI:https://doi.org/10.1002/mma.7130.
17. Zubova, S.P. Control problem for dynamical systems with partial derivatives / S.P Zubova, E.V Raetskaya, L.H. Trung // Journal of Mathematical Sciences. - 2021. - V. 249, № 6. - P. 941-953. - DOI:https://doi.org/10.1007/s10958-020-04986-9.
18. Зубова, С.П. Исследование сингулярно возмущенной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2018. - Т. 23, № 122. - С. 303-308. - DOI:https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-122-303-308.
19. Zubova, S.P. Construction of controls providing the desired output of the linear dynamic system derivatives / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Automation and Remote Control. - 2018. - Vol. 79 (5). - P. 775-792. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0005117918050016.
20. Зубова, С.П. Алгоритм решения линейных многоточечных задач управления методом каскадной декомпозиции / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Автоматика и телемеханика. - 2017. - № 7. - С. 22-38. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0005117917070025.
21. Зубова, С.П. Построение управления для получения заданного выхода в системе наблюдения / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 1400-1404.
22. Зубова, С.П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Ле Хай Чунг // Автоматика и телемеханика.- 2008. - № 11. - С. 41-47.
23. Zubova, S.P. Invariance of a nonstationary observability system under certain perturbations / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. - 2013. - Vol. 188, № 3. - Pp. 218-226. - DOI:https://doi.org/10.1007/s10958-012-1120-9.
24. Зубова, С.П. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Т.К. Фам // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2010. - Т. 15, № 6. - С. 1678-1679.
25. Zubova, S.P. A study of the rigidity descriptor dynamical systems in a banach spase / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. - 2015. - Vol. 208, № 1. 2015. - Pp. 131-138. - DOI:https://doi.org/10.1007/s10958-015-2430-5.
26. Зубова, С.П. Решение задачи Коши для двух дескрипторных уравнений с нетеровым оператором / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Доклады академии наук. - 2014. - Т. 459, № 5. - С. 640-652. - DOI:https://doi.org/10.7868/S0869565214350084.
27. Zubova S.P. Degeneraty Property of a Matrix Differential Operator and Applications / S.P Zubova, E.V Raetskaya, V.I. Uskov // Journal of Mathematical Sciences. 2021. - Vol. 255, № 5. - P. 640-652. - DOI:https://doi.org/10.1007/s10958-021-05401-7.
28. Зубова, С.П. Решение полуграничной задачи для вырожденного уравнения в частных производных / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 9. - С. 1193-1204. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0374064122090035.
