Рассматривается решение задач о равновесии полуплоскости и полосы, ослабленных прямолинейными поперечными трещинами и усиленных тонкими гибкими накладками. В качестве математической модели тонкой накладки использованы граничные условия специального вида. Для установления границ применимости модели проведено численное исследование данных условий. На основе уравнений равновесия задача сведена к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши относительно производной функции раскрытия трещины. При этом использован метод обобщённых интегральных преобразований. В различных диапазонах изменения геометрических и физических параметров задачи построены решения вышеуказанного интегрального уравнения методами малого параметра и коллокации. Получены значения коэффициента интенсивности напряжений в окрестности краёв трещины. Проведён многофакторный анализ влияния накладки на критическое состояние трещин в подложке.
трещина, полуплоскость, полоса, накладка, коэффициент интенсивности напряжений, фактор влияния
Введение
Выполняя защитную или иные функции, тонкие покрытия изменяют механические характеристики изделий. Кроме того, покрытия могут подвергаться постоянно растущей нагрузке. Таким образом, представляется интересной разработка методов оценки напряжённого состояния в упругих телах, ослабленных технологическими и эксплуатационными дефектами и усиленных тонкими покрытиями и накладками. Решение этой актуальной задачи отвечает потребностям современного производства.
Первые исследования по изучению тонких накладок, изгибной жёсткостью которых можно пренебречь, приведены в работах Э. Мелана [1], Э. Рейсснера [2], В.-Т. Койтера [3], а также отечественных учёных [4]. В работе В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [5] собраны результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [6] решена контактная задача о передаче нагрузки от периодической системы стрингеров к полосе, ослабленной трещиной.
Математическая постановка задачи
Рассмотрим статическую задачу теории упругости для полуплоскости 
, 
, ослабленной внутренней прямолинейной трещиной длиной 2a, перпендикулярной её границе. Центр трещины расположен на расстоянии h от поверхности. К берегам трещины приложены нормальные усилия интенсивности p (y), поддерживающие её в раскрытом состоянии.
При y = 0 действует граничное условие, моделирующее влияние накладки [5]:
1. Melan, E. Zur plastizität des räumlichen kontinuums / E. Melan // Archive of Applied Mechanics. - 1938. - № 9 (2). - P. 116-126.
2. Рейсснер, Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Упругие оболочки / Э. Рейсснер. - Москва : Издательство иностранной литературы, 1962. - 263 с.
3. Koiter, W. The nonlinear theory of thin elastic shells / W. Koiter, T. Warner // Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. - 1966. - № 69.1. - P. 1-54.
4. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Л. А. Галина. - Москва : Наука, 1976. - С. 493.
5. Александров, В. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, С. М. Мхитарян. - Москва : Наука, 1979. - 486 с.
6. Мхитарян, С. М. Об одной периодической контактной задаче для упругой полосы, ослабленной трещинами и усиленной упругими стрингерами / С. М. Мхитарян, К. Л. Агаян // Известия Академии наук Армянской ССР. Механика. - 1978. - Т. 31, № 3. - С. 3-17.
7. Backstrom, G. Deformation and Vibration by Finite Element Analysis: Problems in 2D and 3D Solved by the Free Edition of FlexPDE / G. Backstrom. - Stockholm : GB Publishing, 2007. - 240 p.
8. Никифоров А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. - Долгопрудный : Интеллект, 2007. - 344 c.
9. Paris, P.-C. Stress Analysis of Cracks, Fracture Toughness Testing and Its Applications / P.-C. Paris, G.-C. Sih // Special Technical Publications. - 1965. - № 381. - P. 30-81.
10. Панасюк, В. В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, А. П. Дацышин. - Киев : Наукова думка, 1976. - 443 c.
11. Александров, В. М. Эффективные методы решения сложных смешанных задач теории упругости, связанных с вопросами концентрации напряжений / В. М. Александров, Б. И. Сметанин, А. С. Соловьев // Концентрация напряжений. - 1971. - № 3. - С. 5-10.
12. Соболь, Б. В. Об асимптотических решениях трёхмерных статических задач теории упругости со смешанными граничными условиями / Б. В. Соболь // Вестник Нижегородского ун-та им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - Т. 4, № 4. - C. 1778-1780.
