Показано, что известные методы скалярного и векторного перемножения непригодны в теоретической электротехнике, где токи, напряжения и сопротивления аппроксимируют направленными отрезками, с которыми необходимо выполнять все арифметические операции. В основу математического обоснования предлагаемого графического векторного исчисления положены пары чисел, называемые координатами точки, для которых известен аппарат математических манипуляций. Новизна состоит в том, что названным точкам придан статус конечной точки вектора, исходящего из начала отсчета системы координат. Подтверждением данного допущения служит известный механизм векторного сложения/вычитания. Графическое изображение суммы (разности) векторов на обычной (не комплексной) плоскости согласно излагаемому методу полностью подчиняется известному правилу параллелограмма. Механизм умножения/деления пар чисел позволил сформулировать правило графического выполнения аналогичных действий. Длина вектора произведения на обычной плоскости есть произведение длин векторов сомножителей (модулей), а угол наклона (аргумент) равен сумме их аргументов. Приводимые зависимости полностью совпадают с аналогичными приемами в теории функций комплексного переменного, где подобные действия осуществляются на комплексной плоскости, в которой ось ординат является мнимой. Это же относится и к операции деления векторов. Произведен расчет суммарного сопротивления участка цепи синусоидального тока, содержащего активное, индуктивное и емкостное сопротивления. При этом показан оригинальный прием одновременного графического выполнения операций сложения, умножения и деления векторов.
вектор, графическое исчисление, умножение, деление, обычная плоскость, пары чисел, мнимая единица, модуль, аргумент, электрическая цепь, расчет, токи.
Векторы, отрезки определенной длины и направления используют для изображения так называемых векторных величин: силы, скорости, ускорений и др. Отсюда возникает необходимость выполнения с ними всех арифметических операций. В частности, это относится к теоретической электротехнике, где аппроксимируемые векторами напряжение, ток и электрическое сопротивление необходимо не только суммировать (вычитать), но умножать и делить.
Однако механизм деления векторов в обычной плоскости в математической литературе не приводится. Известные методы перемножения векторов также малопригодны в электротехнике. Так, в скалярном произведении итоговый вектор является проекцией на скаляр, а в векторном расположен в перпендикулярном направлении и результат зависит от порядка расположения сомножителей, что не подтверждается математически в названной дисциплине.
Цель данной работы состоит в том, чтобы показать возможность выполнения сугубо графических векторных арифметических операций на обычной плоскости, подтвердив декларируемые действия известными математическими приемами, а также выполнением практических геометрических расчетов в области теоретической электротехники.
1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. М.: Энергоатомиздат, 1983.
2. Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. М.: Наука, 1983.
3. Савельев Ю.А. Вычислительная графика. Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2005.
