сотрудник с 01.01.1994 по настоящее время
Ковров, Владимирская область, Россия
УДК 621.833.61 Планетарные передачи с тремя соосными валами. Дифференциальные механизмы (передачи)
ББК 302 Проектирование
Цель исследования - показать возможности матричного подхода при решении задач анализа структурных свойств и создания рациональных конструкций механизмов. Задача, решению которой посвящена статья, - определение структурных характеристик планетарных механизмов с одним внешним и одним внутренним зацеплением и улучшение их конструкций. Методы исследования. В работе использован матричный метод анализа структурных свойств механизма и модификации его устройства, который основан на описании подвижностей кинематических пар, звеньев, кинематических цепей, механизмов с помощью матриц подвижностей и использовании матричных уравнений. Новизна работы. Предложены матричные уравнения, позволяющие последовательно проводить структурный анализ независимых замкнутых контуров сложных механизмов. В отличие от алгебраического метода с помощью матричного подхода можно не только найти местные и общие подвижности, определить число избыточных связей, но и установить каких именно подвижностей не хватает. Результаты исследования. Проведенный анализ показал, что рассматриваемые планетарные механизмы имеют избыточные связи и подвижности в зубчатых зацеплениях, приводящие к точечному контакту зубьев и неравномерности распределения нагрузки по сателлитам. Разработаны предложения по устранению выявленных в механизмах избыточных связей. Выводы. Проведенное на примере планетарных механизмов исследование показывает, что матричный метод структурного анализа - эффективное средство выявления избыточных связей и инструмент, упрощающий поиск технических решений для их устранения.
кинематические пары, избыточные связи, метод, матрицы, подвижность, механизм
Введение
Наличие избыточных связей в изделиях машиностроения приводит к проблемам при изготовлении и эксплуатации. В реальных конструкциях избыточные связи встречаются часто, поэтому в механике большое внимание уделяется вопросу их выявления и устранения. Задача разработки механизмов без избыточных связей и подходы к ее решению были озвучены профессором Л.Н. Решетовым [1] более пятидесяти лет назад. Исчерпывающе данная задача до сих пор не решена [2].
В данной работе показан матричный метод структурного анализа механизмов и создания их модификаций, не имеющих избыточных связей. Используя алгебраические структурные формулы [1] не удается выявить избыточные связи и подвижности в отдельности. Они показывают их разность, а это может привести к ошибкам при поиске и выборе технических решений [3]. Матричный метод используется для исследования многоконтурных планетарных механизмов.
Материалы, модели, эксперименты и методы
Матричное уравнение, предложенное в [4, 5], для определения структурных свойств (подвижностей и избыточных связей) многоконтурных механизмов удобнее представить в виде:
, (1)
где 
– матрица структурных свойств кинематической цепи, полученной формированием 
-го замкнутого контура, она содержит описание подвижностей всего механизма, возникающего при замыкании всех контуров начиная с первого, включая и контур с номером , и избыточных связей в контуре под номером ; 
– матрица общих подвижностей начального механизма, входящего в замкнутый контур под номером , которая содержит подвижности всего начального механизма, полученного замыканием всех контуров начиная с первого, включая и контур с номером 
; 
– суммарная матрица подвижностей в кинематических парах, образованных вновь введенными звеньями при формировании замкнутого контура под номером ; 
- матрица подвижностей 
-ой кинематической пары, где 
, 
, 
– переменные, равные 1 при наличии поступательных подвижностей (движений) вдоль осей 
, 
, 
и 0 в противном случае; 
, 
, 
– переменные, принимающие значение 1 при наличии вращательных подвижностей (движений) вокруг осей , , и значение 0 в противном случае; 
- число кинематических пар, образованных вновь введенными звеньями при формировании замкнутого контура под номером , где 
- число кинематических пар разных классов; 
- матрица местных подвижностей в составе начального механизма звена 
, к которому будут присоединены звенья, вновь вводимые при формировании -го замкнутого контура механизма; 
- матрица местных подвижностей звена , к которому присоединены звенья, введенные при формировании -го замкнутого контура механизма; при образовании замкнутого контура таких звеньев может быть два; 
– суммарная матрица местных подвижностей звеньев, вновь введенных при формировании -го замкнутого контура механизма; 
- матрица местных подвижностей 
-ого звена, где 
, 
, 
– переменные, принимающие значение при наличии независимых поступательных движений
-го звена вдоль осей , , и значение 0 в противном случае; 
, 
, 
– переменные, принимающие значение при наличии независимых вращательных движений
-го звена вокруг осей , , и значение 0 в противном случае; 
- число подвижных звеньев, вновь введенных при формировании -го замкнутого контура механизма; 
– единичная матрица свободного замыкания контура (матрица подвижностей свободного твердого тела); 
- число независимых замкнутых контуров механизма, как разность общего числа его кинематических пар (
) и числа подвижных звеньев (
).
Результаты
Матрицы подвижностей кинематических пар планетарных механизмов
Кинематическая пара вида «цилиндрическое зубчатое зацепление» отнесена Л.Н. Решетовым к линейчатым парам [1, 6]. Ее матрица подвижностей 
. При развороте одного зубчатого колеса относительно другого вокруг общей нормали к касающимся профилям (в выбранной системе координат вокруг оси , рис. 1) линия контакта превращается в точку. Такая кинематическая пара первого класса имеет матрицу подвижностей: 
.
Условимся, что в рассматриваемых планетарных механизмах все зубчатые зацепления являются линейчатыми кинематическими парами, но не второго, а третьего класса 
. Вращение вокруг оси будем считать недопустимым, поскольку оно меняет вид контакта звеньев. Реально данное движение имеет место, так как зубчатое зацепление допускает поступательные подвижности вдоль осей и [5].
|
б) |
|
а) |
Рис. 1. Зубчатое зацепление: а - как кинематическая пара второго класса,
б - вырожденная кинематическая пара первого класса
Fig. 1. Gearing: a - as a kinematic pair of the second class,
b - a degenerate kinematic pair of the first class
|
6 |
В принятой системе координат , , матрицы подвижностей кинематических пар планетарных механизмов, показанных на приведенных ниже рисунках, имеют вид:
, 
,
.
Определение структурных свойств вариантов планетарных механизмов
Для планетарного механизма, приведенного на рис. 2, число кинематических пар 
, число подвижных звеньев 
и число независимых контуров 
.
Рис. 2. Трехзвенный планетарный механизм
Fig. 2. Three-link planetary mechanism
Рис. 3. Четырехзвенный планетарный Рис. 4. Пятизвенный планетарный
механизм механизм
Fig. 3. Four-link planetary mechanism Fig. 4. Five-link planetary mechanism
|
7 |
) замкнутый контур образован звеньями (2, 1, 3, 2). Его начальный механизм включает солнечное колесо 1 и стойку 2, 
. Уравнение (1) будет иметь вид:
. (2)
Для звена 
(в нашем случае сателлит 3) определяем наличие местных подвижностей, используя упрощенный вариант формулы (1) [4]:
, (3)
,
где 
– матрица структурных свойств -ого звена при формировании его кинематическими парами 
-го замкнутого контура; по определению местных подвижностей она содержит подвижности звена относительно связанных с ним звеньев, которые считаются неподвижными; максимальное число замкнутых контуров звена на единицу меньше числа образованных им кинематических пар; 
– матрица подвижностей -ого звена при наличии контуров начиная с первого включая контур под номером 
, при 
- матрица подвижностей первой кинематической пары -ого звена, с которой начинается формирование его первого замкнутого контура; 
– матрица подвижностей кинематической пары, вновь введенной при формировании -го замкнутого контура -ого звена; 
- матрица местных подвижностей -ого звена, полученная из обнулением отрицательных элементов.
Останавливаем солнечное колесо 1 и по формуле (3) для единственного замкнутого контура (
) звена 3, образованного двумя кинематическими парами 
и 
, получим:
,
.
Известно [1], что одной вращательной подвижностью можно заменить одну отсутствующую поступательную подвижность, обозначенную в матрице отрицательным значением соответствующего элемента. Чтобы учесть эту замену необходимо преобразовать суммарную матрицу. Пример выполнения такого преобразования показан ниже [5]:
,
где – вращательная подвижность вокруг оси
, используемая для замены отсутствующей поступательной подвижности вдоль оси
.
В рассматриваемом замкнутом контуре вращательная подвижность звена 3 вокруг оси позволяет заменить отсутствующую поступательную подвижность вдоль оси . Это вращательное движение обеспечивает введение в зацепление сателлита 3 с опорным колесом, являющимся частью стойки 2. В результате матрица структурных свойств звена 3 примет вид:
. Обнулим отрицательные элементы 
и
. (4)
Матрицы местных подвижностей остальных звеньев нулевые. Подставив в уравнение (2) соответствующие матрицы, получим матрицу структурных свойств кинематической цепи, возникшей при замыкании первого контура. В рассматриваемом замкнутом контуре вращательная подвижность вокруг оси позволяет заменить отсутствующую поступательную подвижность вдоль оси . В результате матрица структурных свойств примет вид:
|
8 |
. (5)
Она позволяет выявить в рассматриваемой кинематической цепи общие и групповые подвижности (элементы со знаком плюс) и, отдельно, избыточные связи (элементы со знаком минус). Элементы матрицы показывают, какие именно подвижности и избыточные связи имеются в механизме, а не только фиксируют их количество. С учетом местных подвижностей по алгебраической формуле мы установим, что подвижность данной кинематической цепи равна1.
Механизм, полученный формированием первого замкнутого контура, имеет одну степень свободы (вращение вокруг оси ) и две избыточные связи, вызванные отсутствием вращательных подвижностей вокруг осей и . Они приводят к неравномерности распределения нагрузки по длине зуба. Пусть в одном из зубчатых зацеплений контакт линейчаты й и матрица подвижности этого зацепления 
, а во втором точечный с матрицей: 
. Местные подвижности звена 3 не изменятся, а в соответствии с (2) получим:
.
Как видим, в итоговой матрице отсутствуют отрицательные элементы, а это означает, что избыточных связей нет. Значит, выявленные избыточные связи первого контура приводят к нарушению характера контакта лишь в одном зацеплении. В нем контакт в точке, в другом зацеплении контакт по линии.
Избыточные связи, возникшие в замкнутом контуре нельзя устранить подвижностями кинематических пар, входящих в другие контуры. Подвижности же контура влияют на структурные свойства кинематических цепей, образованных присоединением вновь вводимых звеньев. Поэтому в отличие от избыточных связей подвижности, имеющиеся в контуре, должны быть учтены на следующих этапах структурного анализа.
Обнулением отрицательных элементов превращаем матрицу (5) структурных свойств замкнутой кинематической цепи в матрицу ее подвижностей: 
. Аналогично, обнуляя положительные элементы, получаем матрицу избыточных связей первого замкнутого контура механизма:
. (6)
Второй замкнутый контур возникает при добавлении водила h. При этом образуются две вращательные кинематические пары 
и 
. Они связывают водило с звеньями 2 и 3. Последнее из них имеет в составе первого контура местные подвижности, которые должны быть учтены при исследовании второго контура. Уравнение (1) для него будет иметь вид:
(7)
Местные подвижности 3-го звена (
) в составе первого контура приведены в (4), а во втором контуре они отсутствуют. Вновь веденное водило местных подвижностей не имеет. Определяя структурные свойства механизма, полученного замыканием второго контура, опускаем матрицы, содержащие только нулевые элементы. Для компенсации отсутствующей поступательной подвижности вдоль оси 
, можно использовать вращательную подвижность водила вокруг оси 
, поэтому:
|
9 |
.
Преобразуем матрицу структурных свойств в матрицу подвижностей трехзвенного механизма 
и матрицу избыточных связей второго контура:
. (8)
В соответствии с (6) и (8) планетарный механизм по рис. 2 имеет 4 избыточные связи: 
. Эти связи приводят к неравномерности нагрузки по длине зуба и во втором зубчатом зацеплении сателлита 3. В нем вместо контакта по линии будет контакт в точке. Пусть в обоих зацеплениях сателлита 3 контакт в точке . Тогда по (3) 
и в соответствии с (2) получим:
. Согласно (7) 
. Избыточные связи исчезли. Это значит, что в механизме по рис. 2 контакт зубьев в зацеплениях происходит по точке, а не по линии. Для исключения кромочного контакта проще всего выполнить зуб сателлита 3 с бочкообразным продольным профилем.
Компенсировать четыре избыточных связи, возникающие при линейчатом контакте зубьев, можно заменой вращательной кинематической пары сателлита 3 на сферическую пару и введением еще одного подвижного звена. Опорное зубчатое колесо нужно связать со стойкой кинематической парой четвертого класса, допускающей только вращательные подвижности вокруг осей и .
Перейдем к механизму по рис. 3. Рассматриваем его, как механизм по рис.2 (начальный механизм) с вновь введенным вторым сателлитом 4. Число кинематических пар 
, число подвижных звеньев 
и 
.
Третий замкнутый контур получается добавлением сателлита 4 (рис. 3) к начальному механизму. Для этого образуются две кинематические пары 
и 
, которые связывают вновь введенное звено с звеньями 1 и 2 начального механизма, не имеющими местных подвижностей. Легко показать, что вновь введенный сателлит 4 имеет такие же местные подвижности, как и сателлит 3 в первом замкнутом контуре (4):
. (9)
Для третьего контура уравнение (1) будет иметь вид:
. (10)
Матрица структурных свойств кинематической цепи, полученной замыканием третьего контура, с учетом (9) и замены отсутствующей поступательной подвижности вращательной, будет иметь вид:
.
Матрицы подвижностей и избыточных связей: 
, 
.
|
10 |
.
Четвертый контур замыкаем соединением сателлита 4 с водилом кинематической парой 
. При анализе структурных свойств этой кинематической цепи нужно учесть местные подвижности (9) звена 4 в начальном механизме. При замыкании четвертого контура сателлит 4 теряет свои местные подвижности и матрица 
содержит только нулевые элементы. Новые звенья не вводятся, поэтому уравнение (1) представим в виде:
(11)
Заменить вращательной подвижностью вокруг оси отсутствующую поступательную подвижность вдоль оси
невозможно. Остановим солнечное зубчатое колесо 1. В этом случае
и из (11) получим 
. 
Заменить отсутствующую поступательную подвижность нечем. В предыдущих контурах при остановке солнечного колеса сохраняется вращательная подвижность, которая может быть использована для компенсации отсутствующей поступательной подвижности. С учетом этого для механизма по рис. 3 из (11) получим:
, (12)
,
. (13)
Введение сателлита 4 привело к появлению еще пяти избыточных связей 
. В целом планетарный механизм по рис. 3 имеет в четырех контурах девять избыточных связей: 
. Изменение класса кинематической пары 
с пятого на третий (сферическая) добавит только две дополнительные подвижности. Поэтому одно из двух зубчатых зацеплений сателлита 4 будет точечным, а не линейчатым. Целесообразно оба сателлита 3 и 4 выполнить с бочкообразным продольным профилем зубьев и использовать только вращательные кинематические пары.
Перейдем к механизму по рис. 4, полученному в результате присоединения сателлита 5 к начальному механизму, приведенному на рис. 3. Число кинематических пар 
, число подвижных звеньев 
и 
.
Пятый замкнутый контур образован добавлением сателлита 5, соединенного кинематическими парами 
и 
с звеньями 1 и 2 начального механизма.
Сателлит 5 в составе пятого контура тоже будет иметь две поступательных местных подвижности. По формуле (3) получим:
. (14)
|
11 |
. (15)
Матрицы подвижностей и избыточных связей кинематической цепи, полученной замыканием пятого контура: 
, 
. Кинематическая цепь имеет 11 избыточных связей 
.
В шестом замкнутом контуре сателлит 5 соединен с водилом вращательной кинематической парой. Формула (1) будет иметь вид:
. (16)
С учетом местных подвижностей (14), которые сателлит 5 имеет в пятом контуре, и отсутствием у него таковых в шестом, определяем матрицу структурных свойств механизма по рис. 4, которую преобразуем в матрицу его подвижностей 
и матрицу избыточных связей шестого контура:
. (17)
Избыточные связи, возникшие при установке сателлита 5, аналогичны избыточным связям сателлита 4. В целом планетарный механизм по рис. 4 имеет в своих замкнутых контурах 14 избыточных связей 
. Эти избыточные связи будут иметь место при линейчатом контакте во всех его зубчатых зацеплениях. Шесть из найденных избыточных связей являются фиктивными, вызванными отнесением зубчатых зацеплений к третьему классу, а не второму.
Из полученных результатов следует, что для обеспечения линейчатого контакта зубьев в зацеплениях мало устранения избыточных связей. Необходимо ввести еще шесть вращательных подвижностей, дублирующих подвижности, имеющиеся в самом зацеплении и приводящие к нарушению линейчатого контакта зубьев. Действующие на звенья силы будут способствовать линейчатому контакту в зацеплениях за счет введенных дополнительных подвижностей. Примеры таких решений приведены в [1] на рис. 5.13 и рис. 5.14.
|
12 |
. При этом только одна кинематическая пара 
из трех добавленных может быть изменена с понижением класса. Заменив ее класс с пятого на третий (сферическая), получим только две дополнительные подвижности. Для исключения четырех избыточных связей, вызванных отсутствием вращательных подвижностей, этого недостаточно. Таким образом, и в пятизвенном планетарном механизме с тремя сателлитами целесообразнее использовать сателлиты с бочкообразным продольным профилем зубьев, сохранить вращательные опоры подвижных звеньев и не усложнять конструкцию неподвижного опорного колеса, вводя две вращательные подвижности.
Устранение избыточных связей в планетарных механизмах. В качестве первого шага по устранению избыточных связей планетарного механизма по рис. 4 предположим, что зубья всех трех сателлитов имеют бочкообразный продольный профиль и все зубчатые зацепления являются кинематическими парами первого класса с матрицами подвижностей: 
, 
.
Воспользовавшись уравнениями (2), (7), (10), (11), (15) и (16) можно убедиться, что избыточные связи в замкнутых контурах механизмов, вызванные отсутствием вращательных подвижностей, исчезли, а сохранились лишь две из них, связанные с отсутствием поступательных подвижностей. Одна в четвертом контуре (см. (13)):
, (18)
вторая в шестом (см. (17)) 
.
Они возникают при соединении сателлитов 4 и 5 с водилом. Достаточно найти решение, позволяющее ввести поступательную подвижность, для сателлита 4 в четвертом замкнутом контуре механизмов по рис. 3 и рис. 4. Оно может быть использовано и для сателлита 5.
Решаем задачу для сателлита 4. Принимаем, что в четвертом контуре нет избыточной связи, вызванной отсутствием поступательной подвижности вдоль оси . Тогда матрица структурных свойств механизма по рис. 3 (см. (12)) должна иметь вид 
. Найдем требуемые подвижности кинематической пары преобразовав уравнение (11) и учитывая, что матрица
содержит только нулевые элементы, а в соответствии с (3) аналогичная матрица в третьем контуре не нулевая 
:
.
Требуемая матрица подвижности:
. (19)
Поступательные подвижности могут быть заменены вращательными. Эта замена используется для преобразования итоговой матрицы в выражении (19). Из нее получим два возможных варианта матрицы подвижностей кинематической пары :
. (20)
Дополнительное вращательное движение сателлита 4 должно обеспечивать перемещение его центра вдоль оси (18). Для этого ось дополнительного вращения не должна проходить через центр сателлита. Наиболее просто подвижности, требуемые в соответствие с (20), реализуются рычагом 6, связанным вращательными кинематическими парами 
и 
с водилом и пассивным сателлитом 4 [7] (рис. 6). В [7] сателлит 3, непосредственно связанный с водилом, называется основным.
Таким образом, согласно (20) возможны два варианта конструкции, причем вращательная кинематическая пара должна допускать вращение сателлита 4 вокруг оси . В свою очередь, пара 
может допускать вращения вокруг оси параллельной оси или оси :
|
13 |
и 
.
Рис. 6. Реализация дополнительной Рис. 7. Полученная В и требуемая Е
вращательной подвижности с помощью рычага 6 траектории перемещения центра сателлита 4
Fig. 6. Realization of additional mobility Fig. 7. The obtained B and required E
by means of a lever 6 trajectory of the satellite 4 center movement
Для выравнивания нагрузки самоустановка пассивных сателлитов должна происходить в процессе их естественного движения, определяемого кинематикой планетарного механизма. Для сателлита 4 этим движением является вращение его вокруг полюса зацепления с опорным колесом 2. Будем считать, что обозначение кинематической пары определяет и полюс зацепления. При этом сам полюс перемещается по начальной окружности опорного зубчатого колеса 2. Эти два движения приводят к перемещению центра сателлита по окружности, центр которой расположен на основной оси планетарной передачи, т.е. по траектории 
(рис. 7). В соответствии с (18) для сателлита 4 необходимо ввести поступательное движение вдоль оси . Подвижность, создаваемая дополнительным рычагом 6, должна способствовать этому движению. Однако, конструкция, показанная на рис. 6 и рис. 7, обеспечивает движение центра сателлита по траектории 
(рис. 7), что соответствует поступательному движению вдоль оси . Значит, введенная подвижность приводит, в основном, к изменению межосевых расстояний зубчатых зацеплений планетарной передачи. Таким образом, техническое решение, приведенное в [7], не обеспечивает эффективное решение задачи самоустановки пассивных сателлитов. Обеспечить поступательное перемещение точки, являющейся центром сателлита, вдоль оси может, например, четырехзвенный рычажный механизм, возможный вариант которого показан на рис. 8.
Рис. 8. Схема механизма с самоустановкой пассивных сателлитов
при поступательном движении
Fig. 8. Scheme of the mechanism with self-installation
|
14 |
С водилом шарнирно связанны шатуны 6, 7, 8 и 9. Дополнительные шатуны 10 и 11 шарнирно соединены с шатунами 6, 7 и 8, 9, соответственно. В шатунах 10 и 11 установлены пассивные сателлиты 4 и 5. Сателлиты 4 и 5 самоустанавливаются относительно звеньев 1 и 2 перемещаясь преимущественно в направлении перпендикулярном прямой, соединяющей центры зацепляющихся зубчатых колес. Эта траектория перемещения центра вращения сателлита показана отрезком на фиг. 7. Четвертый и последующие сателлиты могут аналогично соединяться с центральными звеньями механизма. Предложенное техническое решение применимо и для планетарных передач с двумя внешними или с двумя внутренними зацеплениями. Вариант планетарного механизма, показанный на рис. 6 и рис. 7, может использоваться только для передачи с одним внешним и одним внутренним зацеплением. Конструкции аналогичных планетарных передач, приведенные в [8], очень сложны.
Заключение
1. Матричный метод структурного анализа упрощает решение задачи определения и устранения избыточных связей в механизмах. В отличии от алгебраического метода он позволяет определить имеющиеся подвижности звеньев и не только найти число избыточных связей, но и установить каких именно подвижностей не хватает для их устранения.
2. Для обеспечения линейчатого контакта зубьев в зацеплении необходимо не только устранить избыточные связи, обусловленные отсутствием необходимых вращательных подвижностей, но и нейтрализовать действие вращательной подвижности самого зубчатого зацепления, приводящей к изменению линейчатого контакта на точечный. Для это можно использовать введение одноименных нейтрализуемым дублирующих подвижностей для зацепляющихся колес. Действующие на звенья силы будут способствовать линейчатому контакту в зацеплениях. Однако данные решения существенно усложняют конструкцию планетарных механизмов.
3. Наиболее простой путь для обеспечения отсутствия кромочного контакта во всех зубчатых зацеплениях планетарного механизма - выполнение одного колеса в каждом зубчатом зацеплении с бочкообразным продольным профилем зубьев. Такой профиль могут иметь, например, зубья солнечного и опорного колес, а в случае одновенцового сателлита только его зубья. Данное техническое решение применимо при любом числе сателлитов.
4. Для более равномерного распределения нагрузки по сателлитам недостаточно устанавливать пассивные сателлиты на дополнительных рычагах. Рычаги дают перемещение, изменяющее, в основном, межосевые расстояния в зубчатых зацеплениях. В предложенном техническом решении самоустановка происходит за счет поступательного перемещения сателлитов параллельно касательным в полюсе зацепления к начальной окружности солнечного колеса.
5. Выполнение зубьев сателлитов с бочкообразным продольным профилем и использование рычажных механизмов для соединения каждого пассивного сателлита с водилом позволяет строить рациональные планетарные механизмы с разным числом сателлитов.
1. Решетов Л.Н. Самоустанавливающиеся механизмы: справочник. М.: Машиностроение, 1979. 343 с.
2. Гудимова Л.Н., Дворников Л.Т. Проблемы исключения избыточных связей в плоских шарнирных механизмах. Фундаментальные исследования. 2013. №6-1. С. 24-32.
3. Пономаренко Д.И., Свечников А.А. Проблемы, возникающие при выборе структурных схем механизмов. Наука и образование транспорту. 2015. № 1. С. 30-32.
4. Третьяков В.М. Матричный метод определения избыточных связей и подвижностей в механизмах. Известия вузов. Машиностроение. 1996. №10-12. С. 3-8.
5. Третьяков В.М. Формирование простых кинематических пар на основе узла сопряжения «точка». Теория механизмов и машин. 2015. Т. 13. № 26. С. 46-61. DOI 10.5862.26.6
6. Дворников Л. Т., Дмитриев В.В. Теория структурного синтеза зубчатых механизмов как плоских кинематических цепей с высшими парами. М.: ООО «Эдитус», 2014. 116 с. ISBN 978-5-00058-081-3.
7. Патент № 2342573 Российская Федерация, МПК F16H 1/48 (2006.01). Планетарный механизм: № 2007126434: заявл. 11.07.2007: опубл. 27.12.2008 / Дворников Л.Т., Дмитриев В.В., Бондаренко В.С.; заявитель СГИУ. 6 с.
8. Пивоваров А.О., Шевчук В.П. Разработка рациональных конструкций планетарных механизмов, применяемых в трансмиссиях гусеничных тракторов. Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. №11. С. 577-580.
