Иркутск, Россия
Хайфа, Израиль
Хайфа, Израиль
Исследуется влияние сдвига скорости течения и его устойчивой вертикальной стратификации на эволюцию вихревого возмущения, индуцированного компактным возмущением температуры, наложенным в начальный момент времени на некоторую локальную область течения. Малые размеры возмущения по сравнению с характерными масштабами изменения скорости и температуры фонового течения позволяют считать вертикальные градиенты горизонтальной скорости течения и температуры не зависящими от координат. В рамках линейной теории рассчитаны поля завихренности и температуры. Задача решается аналитически с помощью трехмерного фурье-преобразования исходной системы и дальнейшего перехода к лагранжевым переменным в фурье-пространстве. Показано, что рост интенсивности вихря вызывается как стратификацией, так и сдвигом скорости. Однако характер этого усиления (монотонный или осциллирующий) зависит от того, какой их двух факторов доминирует. В случае, когда диссипативные эффекты отсутствуют, энстрофия растет неограниченно (в рамках линейной теории), однако диссипативные факторы (вязкость и термодиффузия) модифицируют этот рост и делают его только транзиентным (врéменным), так что в конце концов возмущение затухает. Область возмущения растягивается вдоль направления течения, однако ее вертикального и горизонтального смещения как целого в рамках линейной теории не происходит, поскольку это нелинейные эффекты. Нелинейные эффекты рассмотрены нами в отдельной работе.
сдвиговое течение, стратификация, эволюция возмущений, энстрофия, циркуляция
1.ВВЕДЕНИЕ
Течения, индуцированные эффектами плавучести, носят как естественный, так и техногенный характер. Примерами могут служить выбросы газов из заводских выхлопных труб, сброс сточных вод в реки, разливы нефти в океанах и т. д. Все эти течения включают две составляющие: первичное, фоновое, течение и вторичный поток, инжектированный в первичное течение, или возмущение, помещенное внутри первичной среды. Эффекты плавучести проявляются благодаря разнице в температурах или благодаря смешиванию разных жидкостей (например, океанические течения с различной соленостью). Согласно [Тернер, 1977], в случае, когда вторичный поток инжектируется непрерывно, течение классифицируется как плюм (plume - шлейф). В случае же, когда он инжектируется дискретно или периодически, течение называют «термиком» (thermal) или «плавучим возмущением» (buoyant disturbance). В данной работе мы будем говорить только о термиках (плавучих возмущениях). Мы будем рассматривать генерацию вихря как результат начальной разности температур (а не как прямое следствие переменности плотности). Примером может служить капля нагретой воды в воде комнатной температуры (но не капля соленой воды в пресной воде). Основной интерес исследователей вызывают такие характеристики термиков, как циркуляция скорости в них, высота подъема, геометрическая форма.
В этой работе мы изучаем эволюцию трехмерно локализованного вихря в сдвиговом течении стратифицированной жидкости, генерированного начальным компактным возмущением температуры. Развитие такого вихря управляется двумя факторами: плавучестью и сдвигом скорости невозмущенного течения. Вихри, вызванные эффектом плавучести, изучались многими исследователями. Прекрасный обзор этих работ содержится в книге [Тернер, 1977]. Результаты более поздних исследований довольно подробно описаны в вводном разделе статьи [Weiss Tewner et al., 2015]. Отметим, что в основном изучалось поведение вихрей, вызванных эффектом плавучести, в покоящейся среде или в движущейся среде, но без сдвига скорости. Вопрос о совместном влиянии стратификации и сдвига скорости (шира) на динамику вихря до сих пор изучен недостаточно. Настоящая работа является попыткой восполнить этот пробел. Мы ограничиваемся случаем достаточно слабых возмущений и будем использовать только линейную теорию. Более общий случай нелинейного развития вихря при наличии плавучести и шира рассмотрен нами в статье [Weiss Tewner et al., 2015].
____________________________________________________________________________________________
* На английском языке статья опубликована в журнале "Physics of Fluids". 2015. V. 27. 024103. На русском языке публикуется впервые по лицензии издательства AIP Publishing LLC.
Reprinted with permission from Ilia G. Shukhman, Shoshana Weiss Tewner and Jacob Cohen, Vortical disturbances in a linearly stratified linear shear flow. I. Linear theory. Physics of Fluids, 27, 024103 (2015). © 2015, AIP Publishing LLC.
1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
2. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абра-мовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
3. Тёрнер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. 432 с.
4. Шухман И.Г. Эволюция локализованного вихря в вязком эллиптическом течении // Исследовано в России. 2006. № 254. С. 2438-2462. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2006/254.pdf (дата обращения 03.04.2015).
5. Шухман И.Г. Эволюция локализованного вихря в вязком течении с гиперболическими линиями тока // Исследовано в России. 2007. № 1. С. 1-26. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2007/001.pdf (дата обращения 02.04.2015).
6. Шухман И.Г., Левинский В.Б. Эволюция трехмерно локализованных вихрей в сдвиговых течениях. Линейная стадия // Исследовано в России. 2003. № 6. С. 47-87. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2003/006.pdf (дата обращения 01.04.2015). (На английском языке статья доступна на сайте: http://arxiv.org/abs/physics/0212101 (дата обращения 01.04.2015)).
7. Шухман И.Г., Левинский В.Б. О формировании шпилькообразного вихря в вязком круговом сдвиговом течении // Исследовано в России. 2004. № 4. С. 23-50. Режим доступа: http://www.sci-journal/articles/2004/004.pdf (дата обращения 02.04.2015).
8. Alon G., Philip J., Cohen J. The development of a buoyant vortex in stationary and plane stagnation flows // Europ. J. Mechanics B/Fluids. 2011. V. 30. P. 288-298.
9. Bayly B.J. Three-dimensional instability of elliptical flow // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 2160-2163.
10. Shukhman I.G., Cohen J., Karp M., Philip J. An analytical-based method for studying the nonlinear evolution of localized vortices in planar homogenous shear flows // J. Comp. Phys. 2010. V. 229. P. 7765-7773.
11. Craik A.D.D. The stability of unbounded two- and three-dimensional flows subject to body forces: Some exact solutions // J. Fluid Mech. 1989. V. 198. P. 275-292.
12. Craik A.D.D., Allen H.R. The stability of three-dimensional time-periodic flows with spatially uniform strain rates // J. Fluid Mech. 1992. V. 234. P. 613-627.
13. Craik A.D.D., Criminale W.O. Evolution of wavelike disturbance in shear flows: A class of exact solutions of Navier-Stokes equations // Proc. R. Soc. Lond. A. 1986. V. 406. P. 13-26.
14. Farrell B.F., Ioannou P.J. Optimal excitation of three-dimensional perturbations in viscous constant shear flow // Phys. Fluids A. 1993. V. 5, N 6. P. 1390-1400.
15. Lagnado R. R., Phan-Thien N., Leal L.G. The stability of two-dimensional linear flows // Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 1094-1101.
16. Majda A.J., Shefter M.G. Elementary stratifed flows with instability at large Richardson number // J. Fluid Mech. 1998. V. 376. P. 319-350.
17. Shariff K., Leonard A. Vortex rings // Annu. Rev. Fluid Mech. 1992. V. 24. P. 235-279.
18. Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. I: Hyperbolic flow // Phys. Fluids. 2006. V. 18. 097101.
19. Shukhman I.G. Evolution of a localized vortex in plane nonparallel viscous flows with constant velocity shear. II: Elliptic flow // Phys. Fluids. 2007. V. 19. 017106.
20. Shukhman I.G., Levinski V.B. Temporal evolution of a localized weak vortex in viscous circular shear flows // Phys. Fluids. 2005. V. 17. 017104.
21. Suponitsky V., Cohen J., Bar-Yoseph P.Z. The generation of streaks and hairpin vortices from a localized vortex embedded in unbounded uniform shear flow // J. Fluid Mech. 2005. V. 535. P. 65-100.
22. Thomson W. (Kelvin Lord) Stability of fluid motion: Rectilinear motion of viscous fluid between two parallel plates // Phil. Mag. 1887. V. 24, N 5. P. 188-196.
23. Weiss Tewner S., Cohen J., Shukhman I.G. Vortical disturbances in linearly stratified shear flow. II. Nonlinear evolution // Phys. Fluids. 2015. V. 27. 024104.
