Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Замощение трехмерного пространства весьма интересный и пока не полностью исследованный вид замощений. Замощения выпуклыми многогранниками исследованы частично, например, работы [1, 4, 15, 20] посвящены замощениям различными тетраэдрами, существует по одному замощению фигурами, относящимися к платоновым, архимедовым и каталановым телам. Использование замощений начинается с древнейших времен, на плоскости с создания паркетов и орнаментов, в пространстве – со строительства домов, но и сейчас открывают новые и новые области применений замощений, например, недавний цикл работ по использованию замощений для упаковки информации [17]. До сих пор, замощения в пространстве рассматривались почти всегда гранными телами, которые исследовались издавна и исследуются до сих пор [2, 5, 8]. Тела, ограниченные отсеками криволинейных поверхностей слабо рассмотрены и сами по себе, можно вспомнить осоэдры [14], диэдры, олоиды, биконусы, сферикон [21], фигуру Штейнмаца [22] квазимногогранники ограниченные отсеками гиперболических параболоидов, описанные в [3], астроидальный эллипсоид и гиперболические тетраэдры, кубы, октаэдры, упомянутые в [6], а замощения телами ограниченными такими поверхностями ранее практически не рассматривались, можно вспомнить разве что бесконечные трехмерные поверхности Шварца, но и их рассматривали именно как поверхности, а не как тела, хотя, конечно, в каждой такой поверхности можно выделить элементарную ячейку и заполнить ее телом, получая в итоге геометрическую ячейку. Этой работой мы постарались ликвидировать этот пробел и описали подходы к выявлению геометрических ячеек, ограниченных отсеками криволинейных поверхностей. Сформулировано понятие плотноупаковываемых каркасов и описан подход для их выявления. Описан графический алгоритм выявления многогранников и квазимногогранников – геометрических ячеек.
замощение, паркетирование, геометрические ячейки, геометрические соты, каркасы
1. Бончковский Р.Н. Заполнение пространства тетраэдрами [Текст] / Р.Н. Бончковский // Сборник статей по элементарной и началам высшей математики - М.-Л.: Мат. прос., 1935. - Серия 1. - Вып. 4. - С. 26-40.
2. Васильева В.Н. Золотое сечение и золотые прямоугольники при построении икосаэдра, додекаэдра и тел архимеда, основанных на них [Текст] / В.Н. Васильева // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 47-55 - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1ceb9f91b1.21353054.
3. Ефремов А.В. «Правильные» многопсевдогранники, образованные отсеками гиперболических параболоидов. [Текст] / А.В. Ефремов // Журнал технических исследований. - 2020. - Т. 6. № 2. - С. 21-28.
4. Жихарев Л.А. Фракталы в трехмерном пространстве. i-фракталы [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 51-66. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa55ec01b38.55497926.
5. Иващенко А.В. О влиянии параметров ядра на формообразование полиэдров, полученных проективографическим методом [Текст] / А.В. Иващенко, Т.М. Кондратьева // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - С. 57-64. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-57-64.
6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: Либроком, 2019. - 560 с.
7. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: Материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек. Научное издание [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби. - М.: Наука, 2006. - 539 с.
8. Романова В.А. Визуализация правильных многогранников в процессе их образования [Текст] / В.А. Романова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 55-67. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c91ffd0916d52.90296375.
9. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 20-31. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078.
10. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 14-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839.
11. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 3 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 13-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
12. Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей [Текст] / А.А. Тужилин, А.Т. Фоменко. - М. Наука, 1991. - 173 с.
13. Федоров Е.С. Симметрія на плоскости [Текст] / Е.С. Федоров // Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества. - 1891. - серия 2. - вып. 28. - С. 345-390.
14. Coxeter H. S. M. Regular Polytopes. // New York: Dover Publications Inc., 1973.
15. Gabbrielli R., Jiao Y., and Torquato S. Families of tessellations of space by elementary polyhedra via retessellations of face-centered-cubic and related tilings// Phys. Rev. E., 2012, Vol. 86, iss. 4, 041141 - DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevE.86.041141
16. Polya G. Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene // Zeitschrift für Kristallographie (in German). 60 (1-6): 278-282. DOIhttps://doi.org/10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID 102174323.
17. Protasov, V.Yu. Surface dimension, tiles, and synchronizing automata // SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2020, 52(4), pp. 3463-3486
18. Rao M. Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane // https://arxiv.org/pdf/1708.00274.pdf [Электронный ресурс]
19. Schoen, A. H. Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections // NASA Technical Note, 1970, available on https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700020472/downloads/19700020472.pdf
20. Sommerville D. M. Y. Space-filling Tetrahedra in Euclidean Space / D. M. Y. Sommerville // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1922, Vol. 41, pp 49-57 - DOI:https://doi.org/10.1017/S001309150007783X
21. Stewart I. Mathematical Recreations: Cone with a Twist // Scientific American, 1999, Vol. 281 (4) pp. 116-117.
22. Weisstein E. W. Steinmetz Solid. // From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html
