ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ ОТ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ЗЕРКАЛ НА ПЛОСКОСТИ В ПРОГРАММЕ WOLFRAM MATHEMATICA
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
В данном исследовании продолжается изучение геометрии отражения плоских фигур от кривых линий, расположенных в плоскости данных фигур [15], [16]. Работа посвящена более детальному описанию отражения с точки зрения аналитической геометрии. Кроме того, существенно расширен спектр предложенных задач. Составлен алгоритм отражения нульмерного и одномерного объектов от плоских кривых, приведены соответствующие иллюстрации. Авторами впервые получены уравнения, позволяющие построить отражения точки от кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы, а также от кривых высоких порядков: лемнискаты Бернулли и кардиоиды [17], [24], [13], [25], [23], [22]. Кроме того, были получены уравнения результатов отражений одномерных объектов: отрезка и окружности, от тех же плоских кривых. Аналогичные исследования проводятся в работах [2], [1], [32], [28], [3], [4]. Все уравнения сопровождаются чертежами частных случаев отражений, полученными с помощью математического пакета Wolfram Mathematica [18], [19]. Кроме того, в приложении представлены исходные коды, что даёт читателю, при доступе к данной программе, возможность достаточно просто самостоятельно настроить параметры отражения, а также визуально оценить изменение картины отражения при изменении этих параметров для различных типов плоских зеркал. Также это позволяет совместить использование аналитического и геометрического методов исследования предложенных отражений. В данной статье продемонстрированы возможности, которые дают полученные уравнения, и перспективы дальнейшей работы, заключающиеся в получении новых уравнений отражённых от других плоских зеркал объектов.

Ключевые слова:
геометрия отражения, отражение на плоскости, криволинейные зеркала, параметрические уравнения кривых, Wolfram Mathematica
Список литературы

1. Антонова И.В. Математическое описание вращения точки вокруг эллиптической оси в некоторых частных случаях [Текст] / И.В. Антонова, И.А. Беглов, Е.В. Соломонова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - С. 36-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840

2. Антонова И.В. Математическое описание частного случая квазивращения фокуса эллипса вокруг эллиптической оси [Текст] / И.В. Антонова, Е.В. Соломонова, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 39-45. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-39-45

3. Беглов И.А. Математическое описание метода вращения точки вокруг криволинейной оси второго порядка [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян, И.В. Антонова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - №. 4. - С. 39-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f6e832b4d2.25216268

4. Беглов И.А. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - №. 3. - С. 45-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник [Текст] / Д.В. Беклемишев // 13-е изд., испр. - СПб.: Издательство «Лань». - 2015. - 448 с.

6. Бердышев В. И. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения [Текст] / В.И. Бердышев, Л.В. Петрак // - Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. НН Красовского Уральского отделения Российской академии наук. - 1999. - 295 с.

7. Блинова И.В. Кривые, заданные параметрически и в полярных координатах [Текст] / И.В. Блинова, И.Ю. Попов // СПб.: Университет ИТМО. - 2017. - 55 с.

8. Бугров Я.С. Высшая математика [Текст] В 3 т. Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский // М.: Дрофа. - 2004. - 288 с.

9. Бугров Я.С. Высшая математика [Текст] В 3 т. Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский // М.: Дрофа. - 2004. - 512 с.

10. Ватолин Д.С. Фрактальное сжатие изображений [Текст] / Д.С. Ватолин // ComputerWorld-Россия. - 1996. - №. 6 (23). - С. 21-28.

11. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия [Текст] В 5 т. Т. 3: Координаты - Одночлен / И.М. Виноградов // Сов. энцикл. - 1982. - 592 с.

12. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учеб. для вузов. [Текст] / И.М. Виноградов // М.: Высш. шк. - 1999. - 511 с.

13. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 2. - С. 3-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32

14. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский // М.: Высшая школа. - 1998. - 272 с.

15. Жихарев Л.А. Отражение от криволинейных зеркал в плоскости [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 1. - С. 46-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c9203adb22641.01479568

16. Жихарев Л.А. Плоские отражения от кривых [Текст] / Л.А. Жихарев, Ю.С. Карпова // Журнал естественнонаучных исследований. - 2020. - Т. 5. - №. 4. - С. 52-58.

17. Иващенко А.В. Общий анализ формы линии пересечения двух однотипных поверхностей второго порядка [Текст] / А.В. Иващенко, Д.А. Ваванов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 4. - С. 24-34. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-24-34

18. Игнатьев С.А. Визуализация задач начертательной геометрии посредством Wolfram Mathematica [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 4. - С. 74-84. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-74-84

19. Игнатьев С.А. Функциональные возможности среды Wolfram Mathematica для визуализации кривых линий и поверхностей [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 29-38. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-29-38

20. Конопацкий Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности [Текст] / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 2. - С. 39-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357

21. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий, И.Г. Витовтов // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19

22. Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / В.А. Короткий, А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 19-30. - DOI:https://doi.org/10.12737/22840

23. Короткий В.А. Кривые второго порядка на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - №. 2. - С. 100-112. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b55a829cee6c0.74112002

24. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 3. - С. 3-24. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-24

25. Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 4. - С. 5-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-5-17

26. Маркушевич А.И. Замечательные кривые [Текст] / А.И. Маркушевич // М.: Гостехиздат. - 1952. - 32 с.

27. Микиша А.М. Толковый математический словарь. Основные термины: ок. 2500 терминов [Текст] / А.М. Микиша, В.Б. Орлов; под ред. А.П. Савина // 2-е изд., стер. - М.: Русский язык. - 1989. - 240 с.

28. Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента [Текст] / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 1. - С. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893

29. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс [Текст] / Д.Т. Письменный // 4-е изд. - М.: Айрис-пресс. - 2006. - 608 с.

30. Просис Д. Фракталы и сжатие данных [Текст] / Д. Просис // PC Magazine. - 1994. - С. 289.

31. Роджерс Д. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. [Текст] / Д. Роджерс, Дж. Адамс // М.: Мир. - 2001. - 604 с.

32. Рязанов С.А. Аналитические зависимости кинематического формообразования начальных поверхностей элементов червячной передачи [Текст] / С.А. Рязанов, М.К. Решетников // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 2. - С. 65-75. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c2dda42fda7.79858292

33. Сабитов И.Х. Приближение плоских кривых круговыми дугами [Текст] / И.Х. Сабитов, А.В. Словеснов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50. - №. 8. - С. 1347-1356.

34. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) [Текст] / А.А. Савелов; под ред. А.П. Нордена // Государственное издательство физико-математической литературы. - 1960. - 293 с.

35. Юрков В.Ю. Аппроксимация множеств прямых на плоскости [Текст] / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - С. 60-69. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce6cf7ae1d70.85408915

36. Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica [Текст] / A. Gray, E. Abbena, S. Salamon // 3rd Edition. - Chapman and Hall/CRC. - 2006. - 1016 с.

37. Hastings C. Hands-on Start to Wolfram Mathematica and Programming with the Wolfram Language [Текст] / C. Hastings, K. Mischo, M. Morrison // 3rd Edition. - Wolfram Media, Inc. - 2020. - 553 с.

38. Lockwood E.H. A book of curves. [Текст] / E.H. Lockwood // Cambridge University Press. - 1967. - 199 с.

39. Torrence B.F. The Student's Introduction to Mathematica and the Wolfram Language [Текст] / B.F. Torrence, E.A. Torrence // 3rd Edition. - Cambridge University Press. - 2019. - 544 с.

40. Wolfram S. An elementary introduction to the Wolfram language [Текст] / S. Wolfram // Wolfram Media, Inc. - 2017. - 340 с.

Войти или Создать
* Забыли пароль?