Москва, г. Москва и Московская область, Россия
В данном исследовании продолжается изучение геометрии отражения плоских фигур от кривых линий, расположенных в плоскости данных фигур [15], [16]. Работа посвящена более детальному описанию отражения с точки зрения аналитической геометрии. Кроме того, существенно расширен спектр предложенных задач. Составлен алгоритм отражения нульмерного и одномерного объектов от плоских кривых, приведены соответствующие иллюстрации. Авторами впервые получены уравнения, позволяющие построить отражения точки от кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы, а также от кривых высоких порядков: лемнискаты Бернулли и кардиоиды [17], [24], [13], [25], [23], [22]. Кроме того, были получены уравнения результатов отражений одномерных объектов: отрезка и окружности, от тех же плоских кривых. Аналогичные исследования проводятся в работах [2], [1], [32], [28], [3], [4]. Все уравнения сопровождаются чертежами частных случаев отражений, полученными с помощью математического пакета Wolfram Mathematica [18], [19]. Кроме того, в приложении представлены исходные коды, что даёт читателю, при доступе к данной программе, возможность достаточно просто самостоятельно настроить параметры отражения, а также визуально оценить изменение картины отражения при изменении этих параметров для различных типов плоских зеркал. Также это позволяет совместить использование аналитического и геометрического методов исследования предложенных отражений. В данной статье продемонстрированы возможности, которые дают полученные уравнения, и перспективы дальнейшей работы, заключающиеся в получении новых уравнений отражённых от других плоских зеркал объектов.
геометрия отражения, отражение на плоскости, криволинейные зеркала, параметрические уравнения кривых, Wolfram Mathematica
1. Антонова И.В. Математическое описание вращения точки вокруг эллиптической оси в некоторых частных случаях [Текст] / И.В. Антонова, И.А. Беглов, Е.В. Соломонова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - С. 36-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840
2. Антонова И.В. Математическое описание частного случая квазивращения фокуса эллипса вокруг эллиптической оси [Текст] / И.В. Антонова, Е.В. Соломонова, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 39-45. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-39-45
3. Беглов И.А. Математическое описание метода вращения точки вокруг криволинейной оси второго порядка [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян, И.В. Антонова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - №. 4. - С. 39-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f6e832b4d2.25216268
4. Беглов И.А. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - №. 3. - С. 45-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник [Текст] / Д.В. Беклемишев // 13-е изд., испр. - СПб.: Издательство «Лань». - 2015. - 448 с.
6. Бердышев В. И. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения [Текст] / В.И. Бердышев, Л.В. Петрак // - Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. НН Красовского Уральского отделения Российской академии наук. - 1999. - 295 с.
7. Блинова И.В. Кривые, заданные параметрически и в полярных координатах [Текст] / И.В. Блинова, И.Ю. Попов // СПб.: Университет ИТМО. - 2017. - 55 с.
8. Бугров Я.С. Высшая математика [Текст] В 3 т. Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский // М.: Дрофа. - 2004. - 288 с.
9. Бугров Я.С. Высшая математика [Текст] В 3 т. Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский // М.: Дрофа. - 2004. - 512 с.
10. Ватолин Д.С. Фрактальное сжатие изображений [Текст] / Д.С. Ватолин // ComputerWorld-Россия. - 1996. - №. 6 (23). - С. 21-28.
11. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия [Текст] В 5 т. Т. 3: Координаты - Одночлен / И.М. Виноградов // Сов. энцикл. - 1982. - 592 с.
12. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учеб. для вузов. [Текст] / И.М. Виноградов // М.: Высш. шк. - 1999. - 511 с.
13. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 2. - С. 3-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32
14. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский // М.: Высшая школа. - 1998. - 272 с.
15. Жихарев Л.А. Отражение от криволинейных зеркал в плоскости [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 1. - С. 46-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c9203adb22641.01479568
16. Жихарев Л.А. Плоские отражения от кривых [Текст] / Л.А. Жихарев, Ю.С. Карпова // Журнал естественнонаучных исследований. - 2020. - Т. 5. - №. 4. - С. 52-58.
17. Иващенко А.В. Общий анализ формы линии пересечения двух однотипных поверхностей второго порядка [Текст] / А.В. Иващенко, Д.А. Ваванов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 4. - С. 24-34. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-24-34
18. Игнатьев С.А. Визуализация задач начертательной геометрии посредством Wolfram Mathematica [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 4. - С. 74-84. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-74-84
19. Игнатьев С.А. Функциональные возможности среды Wolfram Mathematica для визуализации кривых линий и поверхностей [Текст] / С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, Э.Х. Муратбакеев // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 29-38. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-29-38
20. Конопацкий Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности [Текст] / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 2. - С. 39-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357
21. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий, И.Г. Витовтов // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19
22. Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / В.А. Короткий, А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 19-30. - DOI:https://doi.org/10.12737/22840
23. Короткий В.А. Кривые второго порядка на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - №. 2. - С. 100-112. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b55a829cee6c0.74112002
24. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - №. 3. - С. 3-24. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-24
25. Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 4. - С. 5-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-5-17
26. Маркушевич А.И. Замечательные кривые [Текст] / А.И. Маркушевич // М.: Гостехиздат. - 1952. - 32 с.
27. Микиша А.М. Толковый математический словарь. Основные термины: ок. 2500 терминов [Текст] / А.М. Микиша, В.Б. Орлов; под ред. А.П. Савина // 2-е изд., стер. - М.: Русский язык. - 1989. - 240 с.
28. Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента [Текст] / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 1. - С. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893
29. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс [Текст] / Д.Т. Письменный // 4-е изд. - М.: Айрис-пресс. - 2006. - 608 с.
30. Просис Д. Фракталы и сжатие данных [Текст] / Д. Просис // PC Magazine. - 1994. - С. 289.
31. Роджерс Д. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. [Текст] / Д. Роджерс, Дж. Адамс // М.: Мир. - 2001. - 604 с.
32. Рязанов С.А. Аналитические зависимости кинематического формообразования начальных поверхностей элементов червячной передачи [Текст] / С.А. Рязанов, М.К. Решетников // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 2. - С. 65-75. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c2dda42fda7.79858292
33. Сабитов И.Х. Приближение плоских кривых круговыми дугами [Текст] / И.Х. Сабитов, А.В. Словеснов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50. - №. 8. - С. 1347-1356.
34. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) [Текст] / А.А. Савелов; под ред. А.П. Нордена // Государственное издательство физико-математической литературы. - 1960. - 293 с.
35. Юрков В.Ю. Аппроксимация множеств прямых на плоскости [Текст] / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - С. 60-69. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce6cf7ae1d70.85408915
36. Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica [Текст] / A. Gray, E. Abbena, S. Salamon // 3rd Edition. - Chapman and Hall/CRC. - 2006. - 1016 с.
37. Hastings C. Hands-on Start to Wolfram Mathematica and Programming with the Wolfram Language [Текст] / C. Hastings, K. Mischo, M. Morrison // 3rd Edition. - Wolfram Media, Inc. - 2020. - 553 с.
38. Lockwood E.H. A book of curves. [Текст] / E.H. Lockwood // Cambridge University Press. - 1967. - 199 с.
39. Torrence B.F. The Student's Introduction to Mathematica and the Wolfram Language [Текст] / B.F. Torrence, E.A. Torrence // 3rd Edition. - Cambridge University Press. - 2019. - 544 с.
40. Wolfram S. An elementary introduction to the Wolfram language [Текст] / S. Wolfram // Wolfram Media, Inc. - 2017. - 340 с.
