Челябинск, Челябинская область, Россия
Челябинск, Челябинская область, Россия
Физический сплайн — упругий элемент, размеры поперечного сечения которого весьма малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны его оси. Такой упругий элемент, проходя через заданные точки, приобретает «природоподобную» форму, обладающую минимальной энергией внутренних напряжений и, как следствие, минимальной средней кривизной. Например, физическим сплайном является гибкая металлическая линейка (spline), которая ранее использовалась для построения плавных кривых, проходящих через заданные компланарные точки. Теоретический поиск уравнения оси физического сплайна представляет собой сложную математическую задачу, не имеющую элементарного решения. Вместе с тем форма физического сплайна, проходящего через наперед заданные точки, может быть без особых затруднений получена экспериментально. В статье рассматриваются полиномиальные и параметрические способы аппроксимации экспериментально полученного физического сплайна с большими прогибами. Как известно, в случае малых прогибов хорошее приближение к реальной упругой линии можно получить с помощью набора кубических полиномов («кубического сплайна»). Но при увеличении прогибов полиномиальная модель начинает заметно отличаться от экспериментально полученного физического сплайна, что ограничивает область применения полиномиальной аппроксимации. Высокая точность аппроксимации упругой линии с большими прогибами достигается при использовании параметризованного описания на основе кривых Фергюсона или Безье. При этом в качестве граничных условий должны быть заданы не только базисные точки, но и касательные к упругой линии реального физического сплайна. Показано, что в этом случае стандартные кубические кривые Безье обладают существенным вычислительным преимуществом перед кривыми Фергюсона. Рассмотрены примеры моделирования физических сплайнов со свободными и защемленными концами. В случае свободного сплайна погрешность параметрической аппроксимации составила 0,4%, для сплайна с защемленными концами получена погрешность менее 1,5%. Вычисления выполнены с помощью системы компьютерной графики SMath Studio.
аффинное сжатие, кубическая кривая, кривая Фергюсона, полиномиальная модель, параметрическая модель, векторная производная, графическое дифференцирование
1. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 3-32. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32.
2. Волошинов Д. В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация: монография [Текст] / Д.В Волошинов. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.
3. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графических дисциплин [Текст] / Д.В. Волошинов, К.Н. Соломонов // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - С. 10-13. - DOIhttps://doi.org/10.12737/778.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с.
5. Завьялов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. - М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.
6. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 157 с.
7. Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.: Высшая школа, 1968. - 266 с.
8. Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 3. - С. 20-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5bc457ece18491.72807735.
9. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 3-24. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-24.
10. Любчинов Е. В. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог / Е.В. Любчинов, К.Л. Панчук // Вестник ЮУрГУ. Серия “Строительство и архитектура”. - 2020. - Т. 20. - № 1. - С. 52-62. - DOI:https://doi.org/10.14529/build200106.
11. Назарова О.Н. Современные проблемы преподавания курса “Прикладная геометрия и инженерная графика” для эксплуатационных направлений авиационного вуза / О.Н.Назарова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 58-65. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-58-65.
12. Понтрягин Л.С. Кубическая парабола / Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1984. - №3. - С. 10-14, 32.
13. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 172 с.
14. Прасолов В.В. Геометрия / В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров. - М.: Изд-во МЦНМО, 2013. - 336 с.
15. Препарата Ф. Вычислительная геометрия / Ф. Препарата, М. Шеймос. - М.: Мир, 1989. - 478 с.
16. Рязанов С.А. Расчет координат модифицированного профиля производящей поверхности зуборезного инструмента / С.А. Рязанов, М.К. Решетников // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 35-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-35-46.
17. Савелов А.А. Плоские кривые / А.А. Савелов. - М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 296 с.
18. Савельев Ю.А. Вычислительная графика в решении нетрадиционных инженерных задач / Ю.А. Савельев, Е.Ю. Черкасова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 1. - С. 33-44. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-44.
19. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 85-93. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109.
20. Сальков Н.А. Качество геометрического образования при различных подходах к методике обучения / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 47-60. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-47-60.
21. Сальков Н.А. Феномен присутствия начертательной геометрии в других учебных дисциплинах / Н.А. Сальков, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 61-73. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-61-73.
22. Сухих Б.И. Вычислительная геометрия. Основные объекты и преобразования: учебное пособие / Б.И. Сухих, Р.А. Вайсбурд. - Екатеринбург, изд-во УПИ, 1989. - 92 с.
23. Усатая Т.В. Современные подходы к проектированию изделий в процессе обучения студентов компьютерной графике / Т.В. Усатая, Л.В. Дерябина, Е.С. Решетникова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 74-82. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5c91fd2bde0ff7.07282102.
24. Уокер, Р. Алгебраические кривые / Р. Уокер. - М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 240 с.
25. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. - М., Мир, 1982. - 304 с.
26. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. - Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с.
27. Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik / G. Glaeser. - Springer Spektrum, 2014. - 508 pp. DOIhttps://doi.org/10.1007/978-3-642-41852-5.
