Кассель, Германия
Евклидова плоскость и евклидово пространство не содержат мнимых образов по определению, но неразрывно связаны с ними через частные случаи и это ведет к необходимости расширения геометрии в область мнимых значений. Такое расширение, т.е. добавление к полю вещественных координат плоскости или пространства, поля мнимых координат приводит к различным вариантам пространств разной размерности, в зависимости от заданной аксиоматики. Ранее в ряде статей были показаны примеры решения некоторых актуальных задач геометрии с использованием мнимых геометрических образов [2; 9; 11; 13; 15]. В данной статье рассматриваются конструкции ортогонального и диаметрального положения окружностей на комплексной плоскости. Сделано обобщение предложения об окружности на комплексной плоскости, ортогонально пересекающей три данные, на пред- ложение о сфере в комплексном пространстве, ортогонально пересекающей четыре данные сферы. Исследования показали, что диаметральное положение окружностей на евклидовой Е-плоскости есть признак ортогонального положения мнимых составляющих окружностей на псевдоевклидовой М-плоскости. В конструкции вовлечены и рассмотрены действительные, мнимые и вырожденные в точку окружности, показаны их формы, свойства и признаки их ортогонального положения. Приведено построение радикальных осей и радикального центра для окружностей одного и разных видов. Сделано расширение 2D взаимного ортогонального положения окружностей на 3D-сферы. На рисунках мнимые образы показаны штриховыми линиями.
окружность: действительная, мнимая, вырожденная; действительная окружность мнимое дополнение, мнимая окружность действительное дополнение, нуль- окружность левая и правая изотропы, прямой угол: действительный, мнимый; радикальная ось, радикальный центр, сферa
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1. [Текст] / Ж. Адамар - М.-Л.: Учпедгиз, 1948. - 608 с.
2. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. С. 3-32. DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32.
3. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 23-46. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5b559c70becf44.21848537.
4. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2018. -Т. 6. - № 2. - С. 47-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b559dc3551f95.26045830.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: ООО ИПЦ «Маска», 2013. - 216 с.
6. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
7. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: ООО ИПЦ «Маска», 2008. - 216 с.
8. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II ─ 3D [Текст] / А.Г. Гирш. - Кассель, 2014. ─ 112 с.
9. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I ─ 2D [Текст] / А.Г. Гирш. - Кассель, 2012. ─ 191 с.
10. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - C. 18-33. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-18-33.
11. Гирш А.Г. О пользе мнимостей в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 33-40. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-40.
12. Гирш А.Г., Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - C. 19-30. - DOI:https://doi.org/10.12737/22840.
13. Гирш А.Г., Короткий В.А. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - C. 28-35. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
14. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/12163.
15. Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 4. - C. 5-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-5-17.
16. Понарин Я.П. Элементарная геометрия [Текст]. В 2 т. Т. 2: Стереометрия, преобразование пространства / Я.П. Понарин. - М.: МЦНМО, 2006. - 256 с.
17. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии [Текст]. / В.В. Прасолов - М.: МЦНМО, 2006. - 640 с.
18. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011 г.
19. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. [Текст] / И.М. Яглом - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 192 с.
20. Duden Rechnen und Mathematik: - Mannheim, Wien, Zürich: Dudenverlag, 2000. 720 p.
21. Hirsch A. Extension of the 'Villarceau-Sektion' to Surfaces of Revolution with a Generating Conic // Jurnal for Geometriy and Graphics, V. 6 (2000), I. 2, pp. 121-132.
22. Stachel H.: Remarks on A.Hirsch's Paper conserning Villatceau-Sections. Jurnal for Geometriy and Graphics V. 6, (2002), pp.133-139
