с 01.10.2008 по настоящее время
Россия
Дается краткая история создания параметрической геометрии за рубежом и в России. Дается определение понятию «параметр». Показывается, какие задачи решает параметрическая геометрия в геометрическом конструировании: 1. Параметраж геометрических фигур и их многообразий. 2. Параметраж геометрических условий. 3. Исследование геометрического смысла параметров. 4. Исследование возможности сосуществования геометрических условий. Указывается ошибочное представление о параметризации геометрических условий как относящихся исключительно к компьютерной графике. На самом деле геометрические зависимости введены в компьютерную графику именно из параметрической геометрии, именно параметрическая геометрия определила, сколько параметров связывает та или иная зависимость. Основой метода параметрической геометрии является параметрическое исчисление. Основной задачей – определение числа параметров геометрических фигур на основе параметров формы и положения, а также геометрических условий и их исследование. Показано, что параметрическая геометрия лежит в основе каркасного метода конструирования. Конструирование поверхностей получением их каркасов имеет определенные преимущества перед другими традиционными математическими методами, так как в реальных условиях производства поверхность изготавливается не как непрерывное двухпараметрическое множество точек, а как дискретное семейство линий, которое при необходимости сглаживается. На примере формирования проезжей части автомобильной дороги, являющейся линейчатой поверхностью общего порядка, показано применение параметрической геометрии в конструировании геометрической и математической моделей, без чего невозможно визуализировать поверхность дороги на компьютере.
параметрическая геометрия, исчислительная геометрия, параметр, геометрические параметры, параметраж геометрических фигур, исчислительный метод, аналитическая геометрия.
Многие преподаватели начертательной геометрии, за редким исключением, плохо знают, что представляет собой параметрическая геометрия и для чего она нужна. Многие ошибочно считают параметраж, использующийся в компьютерной графике, совершенно отдельным элементом, независимым от параметрической геометрии и присущим исключительно компьютерной графике [29], что в корне неверно.
Попробуем популяризовать некоторые сведения, касающиеся параметрической геометрии, и донести до широких масс хотя бы небольшой их объем.
В 1839 г. Ю. Плюккер опубликовал работу [34]. С этого момента, как считается, было заложено начало развития параметрической геометрии. В этой работе речь идет о подсчете параметров алгебраических кривых и их уравнений.
Параметры – это некоторые независимые величины (числа), значения которых служат для различия элементов множеств между собой. В качестве параметров могут выступать коэффициенты уравнений, значения на числовой оси (осях координат), геометрические условия.
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.
2. Геворгян В.В. Автоматизация каркасно-параметрического метода задания и конструирования каркасов поверхностей: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Одесса, 1978.
3. Гершман И.П. Конструирование поверхностей путем выделения их непрерывных линейчатых каркасов из многопараметрических множеств линий // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 33-47.
4. Гершман И.П. Многопараметрические множества геометрических фигур и их координатные подмножества // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 3: Прикладная геометрия. Вып. 4. М., 1971. С. 41-59.
5. Джапаридзе И.С. О роли параметрического исчисления в исследованиях по прикладной геометрии // Аналитические и графические методы рационального конструирования поверхности рабочих органов почвообрабатывающих машин. Киев, 1974. С. 41-46.
6. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.
7. Камалов А. Конструирование линейчатых поверхностей каркасно-параметрическим методом и их применение: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Самарканд, 1980.
8. Кислоокий В.Н., Седлецкая Н.И., Харченко А.И. Автоматизация представления геометрии дискретных моделей в задачах прочностных расчетов лопаток паровых турбин // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 28. Киев: Будiвельник, 1979. С. 19-23.
9. Котов И.И. Параметрическое исчисление фигур и полнота графического задания поверхностей // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инж. графике. Вып. 2. М., 1963. С. 82-91.
10. Подгорный А.Л. Геометрическое моделирование пространственных конструкций: Автореф. дис. … д-ра техн. наук. М., 1975.
11. Принс М.Д. Машинная графика и автоматизация проектирования. М.: Советское радио, 1975.
12. Рыжов Н.Н. Алгоритмы перехода от конструктивно-кинематического задания поверхности к аналитическому // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 53. Вып. 4. М., 1971. С. 17-25.
13. Рыжов Н.Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 3-17.
14. Рыжов Н.Н. Общие вопросы задания и параметризации поверхностей // Тез. докладов II Всесоюзной геометрической конференции. Харьков, 1964. С. 239-241.
15. Рыжов Н.Н. Параметризация поверхностей // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 18-22.
16. Рыжов Н.Н. Формализованная система шифровки чертежа поверхности // Межвузовский сб.: Начертательная геометрия и ее приложения. Вып. 1. Саратов: Саратовский ун-т, 1976. С. 20-28.
17. Рыжов Н.Н., Гершман И.П., Якубовский А.М. Геометрические условия как параметры // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 6. Киев: Будiвельник, 1967. С. 7-12.
18. Рыжов Н.Н., Горшков Г.Ф. Констуирование и задание поверхностей выделением однопараметрического множества определителей линий // Труды УДН им. П. Лумумбы. Вып. 8: Сб. научных трудов инж. факультета. М., 1971. С. 165-169.
19. Рыжов Н.Н., Ловецкий К.П., Сальков Н.А. Математическое моделирование проезжей части автомобильных дорог. М.: МАДИ, 1988. Деп. в ЦБНТИ Минавтодора РСФСР 30.06.88, № 163-ад88.
20. Рыжов Н.Н., Соколова Н.Ю. Параметраж геометрических условий и вывод уравнений огибающих поверхностей по наперед заданным условиям // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 14. Киев: Будiвельник, 1972. С. 52-54.
21. Рыжов Н.Н., Якубовский А.М., Гершман И.П. Параметризация геометрических условий и алгоритм решения одной совокупности задач прикладной геометрии // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. М., 1967. С. 139-152.
22. Рыжов Н.Н. Параметрическая геометрия. М.: МАДИ, 1988.
23. Сальков Н.А. Математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог на подходах к мостам // Труды МАДИ: Прикладные теоретические вопросы проектирования переходов через водотоки. М., 1989. С. 60-66.
24. Сальков Н.А. Моделирование автомобильных дорог: Монография. М.: ИНФРА-М, 2012. URL: http://www.znanium.com/catalog.php#none
25. Соколова Н.Ю. Параметризация фигур и конструирование огибающей поверхности // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т. 73: Математика. Вып. 5: Прикладная геометрия. М., 1975. С. 29-39.
26. Теоретические основы формирования моделей поверхностей / В.И. Якунин, Н.Н. Рыжов, Э.В. Егоров и др.; под ред. В.И. Якунина. М.: МАИ, 1985.
27. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.
28. Фоли Дж., А. вэн Дэм. Основы интерактивной машинной графики. Кн. 2. М.: Мир, 1985.
29. Хейфец А.Л., Васильева В.Н. Реализация обобщенной теоремы Данделена для произвольных квадрик вращения в AutoCAD // Геометрия и графика. Т. 2. Вып. 2. М., 2014. С. 9-14. DOI:https://doi.org/10.12737/5584.
30. Четверухин Н.Ф., Яцкевич Л.А. Параметризация и ее применение в геометрии // Математика в школе. 1963. № 5. С. 15-23.
31. Швиденко Ю.З. Сопряжения линейчатыми поврехностями и их применение для конструирования оболочек: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Киев, 1966.
32. Bezier P. Mathematical and Practical Possibilities of UNISURF, in: Barnhill R.E., Riesefeld R.F. // Computer Aided Geometric Design: Academic Press; New York: 1974.
33. Ferguson J. Multivariate Curve Interpolation // Journal of the ACM. 1964. V. 11 (2). Р. 221-228.
34. Plücker J. Theorie der algebraischen Gurven. Bonn, 1839.
35. Schubert H. Kalkül der abzählenden Geometrie. Leipzig, 1879.
36. Zeuthen H.G. Lehrbuch der abzählenden Metoden der Geometrie. Leipzig, 1914.
