Кассель, Германия
Комплексная геометрия состоит из евклидовой Е-геометрии (геометрия окружности) и псевдоевклидовой М-геометрии (геометрии гиперболы). Каждая из них в отдельности определяет незамкнутую систему, в которой корректно поставленная задача может не дать решения. Аналитическая геометрия есть пример замкнутой системы. В ней корректно поставленная задача всегда дает решение как комплексное число, одна из частей которого может оказаться равной нулю. Освоение мнимых решений и мнимых фигур есть новая задача начертательной геометрии. Вырожденные коники и квадрики составляют новый класс фигур и новый класс задач начертательной геометрии. Например, нуль-окружность, нуль-сфера, нуль-цилиндр и конус как выродившийся до асимптоты гиперболоид. Последние с необходимостью ведут к мнимым решениям в геометрических операциях. В работе показано, что теоремы, сформулированные в одной геометрии, имеют силу и в сопряжённой геометрии, при том что одни и те же фигуры сопряжённых геометрий визуально выглядят различно. Так, мнимые точки существуют только парами, мнимая окружность не круглая, центры подобия разнородных окружностей не лежат на линии центров и другие примеры. Для решения предлагается ряд задач на геометрические отношения и операции с вырожденными кониками и квадриками и несколько задач из 4D-геометрии. В разделе 9 приводятся решения выше указанных задач. В работе рассмотрены некоторые примеры новых задач начертательной геометрии. Показано, что новые задачи требуют выхода в комплексное пространство. Новые фигуры состоят из двух частей, из реальной фигуры и фигуры её мнимого дополнения.
аналитическая фигура, синтетическая фигура, мнимая сфера, мнимый цилиндр, вырожденные поверхности, нуль-сфера, нуль-цилиндр, мнимое дополнение, изотропы, касание, пересечение, 4D-фигуры
1. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 23-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b559c70becf44.21848537.
2. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 47-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b559dc3551f95.26045830.
3. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова. - М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. - 216 с.
4. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии. [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. -C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. - М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. - 216 с.
6. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I - 2D. Кассель, 2012. ─ 191 с.
7. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II - 3D. Кассель, 2014. ─ 112 с
8. Гирш А.Г. Поверхность от вращения окружности [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2017. Т. 5. - № 1. - С. 32-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/25121.
9. Гирш А.Г., Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами. // Геометрия и графика. - 2016. -Т. 4. - №. 4. - C. 19-30. - DOI:https://doi.org/10.12737/22840.
10. Гирш А.Г., Короткий В.А. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 3. - С. 28-35. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
11. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/12163.
12. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн; пер. с нем. Н.К. Брушлинского. - М.: УРСС, 2004. - 400 с.
13. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн; под ред. В.Г. Болтянского; пер. с нем. Д.А. Крижановского. - М.: Наука, 1987. - 416 с.
14. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа. 1981, 262 с.
15. Ляшков А.А. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства [Текст] / А.А. Ляшков, К.Л. Панчук, Л.Г. Варепо // Геометрия и графика. - 2017. Т. 5. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa3078af4c1.45321238.
16. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во АСВ, 2007. - 344 с.
17. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во АСВ, 2007. - 104 с.
18. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел. [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - С. 22-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/466.
19. Флоренский П. А. Мнимости в геометрии: [арх. 12 января 2017] / Предисловие, послесловие, комментарии и общая редакция Л. Г. Антипенко. - М.: Лазурь, 1991. - 96 с. - ISBN 5-85-806-006-4.
20. Reye Th. Geometrie der Lage. 1. Abteilung. - Leipzig, 1882, 215 p.
