ЦИКЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И КОМПЬЮТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Предметом исследования настоящей работы является алгебраическое уравнение одного вида и системы таких уравнений. Особенность предмета исследования состоит в том, что как уравнение, так и система уравнений, допускают циклографическую интерпретацию в операционном евклидовом пространстве, размерность которого на единицу больше размерности подпространства геометрических образов, описываемых исходными уравнениями или системой уравнений. В работе на примерах показаны преимущества циклографической интерпретации, как базы предлагаемых решений, а именно: она позволяет получить аналитические, т.е. точные решения полной системы уравнений рассматриваемого вида, независимо от размерности подпространства геометрических объектов, описываемых уравнениями системы; в геометрическом варианте решения системы (задачи Аполлония и Ферма) не требуется применения каких-либо преобразований (инверсии, кругового преобразования и др.) в отличие от множества существующих методов и подходов; конструктивное и аналитическое решения системы уравнений, взаимно дополняющие друг друга, реализуются доступными средствами графических САПР и компьютерной алгебры. Показана эффективность циклографической интерпретации при получении аналитического решения задачи Ферма с использованием системы компьютерной алгебры. Решение сводится к определению в операционном пространстве точек пересечения прямой линии и 3-α-конуса вращения с полууглом α = 45° при его вершине. Циклографическими образами двух точек пересечения в операционном пространстве служат две искомые сферы в подпространстве заданных сфер. Выполнено обобщение предложенного алгоритма аналитического решения задачи Ферма для n заданных (n – 2)-сфер в (n – 1)-мерном подпространстве. Показано, что и в этом случае аналитическое решение задачи Ферма сводится к определению точек пересечения прямой линии и (n – 1)-α-конуса вращения в операционном n-мерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова:
система алгебраических уравнений, геометрическое моделирование, циклографическая интерпретация, задача Аполлония, задача Ферма
Список литературы

1. Волошинов Д.В. Алгоритм решения задачи Аполлония на основе построения ортогональных окружностей [Текст] / Д.В. Волошинов // ГРАФИКОН 2016. Труды 26-Й Международной научной конференции – 2016. – С. 284-288.

2. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6. – № 2. – С. 23-46.

3. Волошинов Д.В. Конструктивная геометрическая модель четырехмерного пространства как основа для решения задач зонирования и позиционирования при проектировании сетей мобильной связи [Текст] / Д. В. Волошинов // Труды учебных заведений связи. – 2018. – Т. 4. – № 2. – C.44-60.

4. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. – 2017. – Т.5. – №3. – С. 21-35. – DOI:10/12737/article_59fa3beb72932.73328568.

5. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, О.Л. Даллакян // Геометрия и графика. – 2017. – Т.5. – №4. – С. 15-23. – DOI: 10.12737/article_5a17f9503d6f40.18070994.

6. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. – 2018. – Т.6. – №4. – С. 3-19. – DOI: 10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377.

7. Гирш А. Г. Наглядная мнимая геометрия: моногр. [Текст] / А. Г. Гирш. – М.: Изд-во "Маска", 2008. – 200 с.

8. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования свойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. – 2014. – Т.2. – №3. – С. 3–6. – DOI:10.12737/12163.

9. Иванов Г.С. Нелинейные формы в инженерной графике [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. – 2017. – Т.5. – №2. – С. 4–12. – DOI:10.12737/article_595f295744f77.58727642.

10. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. – М.: Машиностроение, 1998. – 158 с.

11. Короткий В.А. Задача Аполлония на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е.П. Дубовикова // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и дизайна. – Саратов: СГТУ, 2013. – С. 5–9.

12. Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента [Текст] / К. Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // Геометрия и графика. – 2019. – Т.7. – №1. – С. 3–13. – DOI: 10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893.

13. Панчук К.Л. Геометрическая модель измерения псевдодальностей в спутниковых системах определения местоположения [Электронный ресурс] / К. Л. Панчук, А. А. Ляшков, Е. В. Любчинов // Метрология, стандартизация, качество: теория и практика: материалы Междунар. науч.-техн. конф. (Омск, 14-16 нояб. 2017 г.) / ОмГТУ. – Омск, 2017. – С. 138–142.

14. Панчук К. Л. Циклографическая начертательная геометрия: монография [Текст] / К. Л. Панчук, Н. В. Кайгородцева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. – 232 с.

15. Пеклич В. А. Высшая начертательная геометрия: монография [Текст] / В. А. Пеклич. – М.: АСВ, 2000. – 344 с.

16. Сальков Н.А. Об одном графическом решении задачи Ферма о касании сфер [Текст] / Н.А. Сальков // Приклад. геометрия и инженер. графика. – Киев: Будiвельник. – 1984. – Вып. 37. – С. 97–99.

17. Сальков Н.А. Приложение свойств циклиды Дюпена к изобретениям [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5. – № 4. – С. 37-43.

18. Сальков Н.А. Свойства циклиды Дюпена и их применение. Часть 1 [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 1. – С. 16-28.

19. Сальков Н.А. Свойства циклиды Дюпена и их применение. Часть 2 [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 2. – С. 9-23.

20. Сальков Н.А. Свойства циклиды Дюпена и их применение. Часть 3 [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 4. – С. 3-15.

21. Сальков Н.А. Способы задания циклид Дюпена [Текст] / Н.А.Сальков // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5. – № 3. – С. 11-24.

22. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение: монография / Н.А. Сальков. – М.: ИНФРА-М. 2016. – 141 с.

23. Серёгин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серёгин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьёв // Геометрия и графика. 2013. Т.1. №3-4. С. 8-12. DOI:10.12737/2124.

24. Хейфец А.Л. 3D модели и алгоритмы компьютерной параметризации при решении задач конструктивной геометрии (на некоторых исторических примерах) [Текст] / А.Л. Хейфец // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». – 2016. – Т. 16. – № 2. –С. 24–42. DOI: 10.14529/ctcr160203.

25. Яглом И. М. Геометрические преобразования. В 2 т. Т.2. Линейные и круговые преобразования [Текст] / И.М. Яглом. – М.: Гос. изд–во техн.–теор. литер., 1956. – 611 с.

26. Arakelyan A.H. Mobius Group Action on Apollonian Gaskets / A.H. Arakelyan // J. Mathematica Montisnigri. Published by the Department of Mathematics of The University of Montenegro. – 2015. – Vol. XXXII. ¬– P. 81-92.

27. Cho H.C. Clifford algebra, Lorentzian geometry, and rational parametrization of canal surfaces / H.C. Cho, H.I. Choi, S-H. Kwon, D.S. Lee, N-S. Wee // Computer Aided Geometric Design. Elsevier B.V., – 2004. – Vol. 21. – P. 327–339.

28. Held M. On the Computational Geometry of Pocket Machining. Lecture Notes in Computer Science. Vol 500. Berlin. Springer Verlag Publ., 1991. – 184 p.

29. Panchuk K.L. Cyclographic Descriptive Geometry of Space E3 / K.L. Panchuk, N.V. Kaygorodtseva // Abstracts of the 17th International Conference on Geometry and Graphics (ICGG 2016), 4-8 August / Beijing Institute of Technology press. – Beijing, China. 2016. – P. 22–24.

30. Panchuk K.L. Cyclographic Modeling of Surface Forms of Highways [Electronic resource] / K.L. Panchuk, A. S. Niteyskiy, E. V. Lyubchinov // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2017. Vol. 262. DOI: 10.1088/1757-899X/262/1/012108

31. Peternell M. Geometric properties of bisector surfaces / M. Peternell // Graphical Models and Image Processing. – 2000. – 62 p. – P. 202-236.

32. Pottmann H. Applications of Laguerre geometry in CAGD / H. Pottmann, M. Peternell // Comput. Aided Geom. Design. – 1998. – №15. – P. 165–186.

33. Pottmann H. Computational Line Geometry / H. Pottmann, J. Wallner. – Berlin; Heidelberg : Springer Verlag, 2001. – 565 p.

34. Stachel H. Why Shall We also Teach the Theory behind Engineering Graphics / H. Stachel // Technical Report, TU-Wien, Institute for Geometry. – 1996. –No. 35. – 5 p.