Дается краткая история развития теории правильных многогранников. Работа знакомит с моделированием двух наиболее сложных правильных многогранников – тел Платона: икосаэдра и додекаэдра в AutoCAD. Предложено использовать способ построения икосаэдра и додекаэдра при помощи прямоугольников с отношением сторон в пропорции золотого сечения, взяв за основу золотые прямоугольники икосаэдра. Этот способ для икосаэдра известен и применяется, но крайне редко встречается для додекаэдра, и в литературе предложено его строить как фигуру, двойственную икосаэдру. В работе приведены сведения о первом упоминании этого способа построения итальянским математиком Л. Пачоли в книге «О божественной пропорции». В 1937 г. советский математик Д.И. Перепелкин опубликовал статью «Об одном построении правильного икосаэдра и правильного додекаэдра», где отметил, что этот «способ не пользуется достаточной известностью», и привел построение, основанное «исключительно на делении отрезка в среднем и крайнем отношении». Принимая во внимание простоту и наглядность построения на основе золотых прямоугольников, в статье выполнено компьютерное моделирование икосаэдра и додекаэдра, вписанных в куб. Причем, оперируя понятиями золотого сечения, большая сторона прямоугольника равна целому отрезку – стороне куба, а малые стороны прямоугольников икосаэдра и додекаэдра находятся как части пропорции золотого сечения (большей части и меньшей соответственно). Показано, как на основе схемы каркасного изображения двойственного соединения этих многогранников определить стороны прямоугольников с соотношением сторон в пропорции золотого сечения для построения «бесконечного» каскада этих дуальных фигур, а также для построения икосаэдра и додекаэдра, описанных около куба. Способ, основанный на применении прямоугольников пропорции золотого сечения, распространен на построение полуправильных многогранников – тел Архимеда: усеченного икосаэдра, усеченного додекаэдра, икосододекаэдра, ромбоикосододекаэдра и ромбоусечённого икосододекаэдра, в основе которых лежат икосаэдр и додекаэдр.
золотое сечение, золотой прямоугольник, икосаэдр, додекаэдр, тела Платона, тела Архимеда, AutoCAD
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч 2. Стереометрия. - 2-е изд. [Текст] / Ж. Адамар. - М.: Учпедгиз, 1951. - 760 с.
2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники [Текст] / А.Д. Александров. - М.- Л.: Гостехиздат, 1950. - 428 с.
3. Альсина К. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники [Текст] / К. Альсина. - М.: Де Агостини, 2014. - 144 с.
4. Ашкинузе В. Г. О числе полуправильных многогранников [Текст] / В.Г. Ашкинузе // Математическое просвещение. Сер. 2. - Вып. 1. - 1957. - С. 107-118.
5. Бездетко П.В. и др. Пространственное моделирование твердотельных правильных многогранников (тел Платона) в системе AutoCAD // Наука и прогресс транспорта. Вестник Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта, 2009. - № 27. - 4 с.
6. Большаков В.П. Тестовые задания по основам трехмерного моделирования [Текст] / В.П. Большаков, А.В. Чагина // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 60-68. - DOI:https://doi.org/10.12737/22844
7. Гангнус Р. В. Геометрия. Методическое пособие. Часть 2: Стереометрия [Текст] / Р. В. Гангнус, Ю. О. Гурвиц. - М.: Учпедгиз, 1935. - С. 187-190.
8. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: гл. 23. [Текст] / М. Гарднер. - М.: Мир, 1971. - 511 с.
9. Гильберт Д. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. - М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнич. литературы и номографии, 1936. - 302 с.
10. Долбилин Н.П. Три теоремы о выпуклых многогранниках [Текст] / Н.П. Долбилин // Квант,- 2001. - № 5, 6. - С. 7-12.
11. Долбилин Н.П. Гармония правильных многогранников. Математические этюды [Электронный ресурс] / Н.П. Долбилин, А.Я. Канель - 2002-2019. - URL: http://www.etudes.ru/ru/etudes/platonic-solids-harmony/ (03 апрель 2019)
12. Ерцкина Е.Б. О формировании графической культуры будущих инженеров в области гидротехнического строительства [Текст] / Е.Б. Ерцкина, Н.Н. Королькова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 1. - С. 57-66. - DOI: 10.12737/ article 5ad07ccbdad527.74719640
13. Ерцкина Е.Б. Геометрическое моделирование в автоматизированном проектировании архитектурных объектов [Текст] / Е.Б. Ерцкина, Н.Н. Королькова // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 2. - С. 48-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/19833
14. Жмудь Л.Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме [Текст] / Л.Я. Жмудь. - СПб.: ВГК-Алетейя, 1994. - С. 209.
15. Игнатьев С.А. Опыт разработки электронных средств обучения для преподавателей геометрических дисциплин [Текст] / С.А. Игнатьев, О.Н. Мороз, З.О. Третьякова, А.И. Фоломкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 2. - С. 84-92. - DOI: 10.12737/ article 5953f362d92c46/58282826
16. Крайнева Л.Б. Методика проведения спецкурса по геометрии для старшеклассников в условиях личностно-ориентированного обучения [Текст]: дис. …канд. пед. наук / Л.Б. Крайнева. - М., 2007. - 260 с.
17. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию [Текст] / Г.С.М. Кокстер. - М.: Наука, 1966. - 648 с.
18. Кольман Э. История математики в древности [Текст] / Э. Кольман. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 235 с.
19. Короев Ю.И. Начертательная геометрия [Текст] / Ю.И. Короев. - М.: КноРус, 2015. - 422 с.
20. Ливио М. φ - Число Бога. Золотое сечение - формула мироздания [Текст] / М. Ливио. - М.: АТС, 2015. - 218 с.
21. Мартыненко Г.Я. Математика Гармонии: Возрождение (XIV-XVI вв.) (к 500-летию книги Луки Пачоли “О божественной пропорции”) / Г.Я. Мартиненко // Академия тринитаризма, (эл № 77-6567, публ.16006, 20.07.2010).
22. Наука. Величайшие теории: выпуск 14: Трехмерный мир. Евклид. Геометрия. - М.: Де Агостини, 2015. - С. 19. - URL: https://coollib.com/b/337501/read (10 апрель 2019)
23. Перепелкин Д.И. Об одном построении правильного икосаэдра и правильного додекаэдра [Текст] / Д.И. Перепелкин // Сборник статей по элементарной и началам высшей математики. - Матем. просв., 1937. - сер. 1. - №12. - С. 10-15.
24. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии, т. 2. Геометрия в пространстве [Текст] / Д.И. Перепелкин. - М.-Л.: 1949. - С. 283-287.
25. Романова В.А. Визуализация правильных многогранников в процессе их образования [Текст] / В.А. Романова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 55-67. - DOI:https://doi.org/10.12737/article 5c91ffd0916d52/90296375
26. Сафиулина Ю.Г. Численные приближения “Золотого сечения” с точки зрения графики и аппликации [Текст] / Ю.Г. Сафиуллина, В.К. Шмурнов // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - С. 15-20. - DOI:https://doi.org/10.12737/5585
27. Смирнова И.М. Каскады из правильных многогранников [Электронный ресурс]. - URL: http://www.vasmirnov.ru/Lecture/Kaskady/Kaskady.htm (10 март 2019)
28. Стахов А.П. Математика гармонии: Инновации в информационных технологиях, в основаниях математики, в образовании [Текст] / А.П. Стахов // Интернет-журнал Науковедение. М.: ИГУПИТ, 2012. - №4. - С. 98.
29. Усатая Т.В. Современные подходы к проектированию изделий в процессе обучения студентов компьютерной графике [Текст] / Т.В. Усатая, Л.В. Дерябина, Е.С. Решетникова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 74-82. - DOI: 10.12737/ article 5c91fd2bde0ff7/07282102
30. Федоров Е.С. Симметрия правильных систем фигур [Текст] / Е.С. Федоров. - СПб.: А. Якобсона, 1890. - 148 с.
31. Федосеева М.А. Методика подготовки студентов технических вузов графическим дисциплинам [Текст] / М.А. Федосеева // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 68-73. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c91fed8650bb7.79232969
32. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов [Текст] / М. Шаль.- М.: Моск. мат. о-во, 1883. - Т. 2. - Гл.1. - § 1-8. - 748 c.
33. Щетников А. И. Лука Пачоли и его трактат “О божественной пропорции” / А.И. Щетников // Математическое образование, №1 (41), 2007. - С. 33-44.
34. Divina proportione: opera a tutti glingegni... : Internet Archive [Электронный ресурс] - URL: https://archive.org/details/divinaproportion00paci/page/n41 (10 март 2019)
35. Vasileva V.N. Application of Computer Technologies in Building Design by Example of Original Objects of Increased Complexity // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, V. 262, 2017. - DOIhttps://doi.org/10.1088/1757-899X/262/1/012106
36. Инженерная 3D-компьютерная графика: учебник и практикум для академического бакалавриата / А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский, И.В. Буторина, В Н. Васильева; под ред. А.Л. Хейфеца. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во Юрайт, 2015. - 602 с.
