Муром, Россия
Муром, Владимирская область, Россия
Муром, Владимирская область, Россия
ГРНТИ 55.01 Общие вопросы машиностроения
ГРНТИ 55.13 Технология машиностроения
Исследованы математические модели телекоммуникационных систем с акустической обратной связью. Рассмотрены вопросы устойчивости на основе построения функционально-дифференциальных и дифференциально-разностных моделей. Представлен механизм формирования акустической обратной связи. Исследована модель акустических систем с запаздываю-щей обратной связью. Приведен график ядра функционально-дифференциального уравнения, описывающего систему с обратными связями.
акустическая обратная связь, функционально-дифференциальные модели, дифференциально-разностные модели, идентификация моделей эха, запаздывающая обратная связь
Введение
К факторам, от которых зависит качество речевой связи, в том числе ее разборчивость, относят, как известно [1-3], уровни акустического эха и реверберации и, соответственно, глубину акустической обратной связи. Особо негативно эти факторы влияют на характеристики систем со сжатием речи [4] и с глубокой акустической обратной связью – вплоть до самовозбуждения. При этом проблему ухудшения характеристик обычно принято снимать адаптивными методами с использованием соответствующих моделей эха и/или реверберации. Модели эха и реверберации при озвучивании как открытых площадок, так и замкнутых помещений рассматриваются, например, в работах [1-3; 5]. Однако ряд вопросов их теории и применения, возникающих, в частности, при рассмотрении систем с акустической обратной связью, в известной литературе представлены недостаточно.
Модели эха и реверберации
Механизм формирования акустической обратной связи поясняется рис. 1. Характеристики каналов распространения звука, имеющих место как на ближних, так и на дальних концах систем связи, интегрируются в этом случае в характеристики изображенного на рис. 1 обратного канала [5]. Следует отметить, что проблема, аналогичная проблеме эха, имеет место и в системах цифровой пакетной связи, задержка доставки пакетов и, соответственно, информации в которых может достигать сотен миллисекунд.
Рис. 1. Механизм формирования акустической обратной связи
Характерная для рассматриваемых телекоммуникационных систем акустическая обратная связь обусловливает обращение к моделям, описываемым функционально-дифференциальными или дифференциально-разностными уравнениями, теория которых отражена, например, в книгах [7; 8], обзорах [9; 10], многочисленных статьях и работах основателей этого направления: А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина, В.Б. Колмановского, Р. Беллмана и других. К функционально-дифференциальным уравнениям можно отнести и уравнения с непрерывным и дискретным последействием, с запаздыванием и нейтрального типа, с неограниченным и конечным последействием, детерминированные и стохастические, с непрерывным и дискретным временем. Едва ли не центральной в названных работах является тема устойчивости и неустойчивости систем с последействием.
Полученным в области теории функционально-дифференциальных уравнений результатам естественно сопутствует интерес и к их практическому воплощению [9; 10]. Необходимо также отметить, что при всем обилии работ и результатов в этой области еще не все вопросы получили свое полное разрешение. В частности, не получили полного разрешения вопросы моделирования эха, реверберации и акустической обратной связи. Возникающие здесь проблемы проистекают из распределенного характера задержек, их большого числа и нелинейных искажений в каналах передачи, вносимых в первую очередь источниками звука; из потребности построения, анализа и идентификации функционально-дифференциальных и дифференциально-разностных моделей эха, реверберации и акустической обратной связи.
Целью настоящей работы является построение, анализ и идентификация линейных и нелинейных функционально-дифференциальных моделей эха, реверберации и акустической обратной связи; анализ чувствительности моделей, опирающийся на результаты работ [7; 8]; анализ устойчивости телекоммуникационных систем с акустической обратной связью. В соответствии с [9] моделируются как прямые (ранние) звуки, так и реверберация с дискретным и распределенным характером задержки. Модели акустической обратной связи описываются при этом функционально-дифференциальными уравнениями.
Акустическое эхо при озвучивании открытых территорий является, строго говоря, результатом либо отражения звуковых волн от удаленных объектов, либо наличия приходящих по разным траекториям волн от разнесенных в пространстве источников звука, призванных обеспечить необходимую зону равномерного озвучивания. Модель акустического эха в этом простейшем случае естественно представить линейной комбинацией 
запаздывающих копий излучаемого сигнала 
:
. (1)
Здесь 
и 
соответственно время распространения (задержка) и амплитуда звуковой волны, формируемой 
-м источником в области наблюдения; 
число источников.
При непрерывном распределении задержек звуковых волн, отраженных, например, от протяженных объектов, модель эха можно задать выражением
, (2)
где 
ядро (функция) непрерывного распределения интенсивности отраженного сигнала в заданной точке пространства по величине задержки (начиная со значения , которое при значениях 
принимается равным нулю). Если 
, то в силу свойств обобщенной функции 
уравнение (2), как и должно быть, эквивалентно уравнению (1).
При анализе распространения звука в замкнутых помещениях методами геометрической акустики [8] уравнение (2), ядра 
которого по определению должны аппроксимироваться неотрицательными функциями, естественно интерпретировать как одну из возможных моделей реверберации, назвав ее по этой причине моделью множественных отражений [1; 6].
Учитывая, что акустические свойства помещений характеризуются не только законами распространения и отражения звуковых волн, но и комплексом резонансных частот, уравнение (2) можно также интерпретировать как систему резонаторов, ядра (в этом случае импульсные функции) которых отвечают названным частотам или модам. Здесь 
, число резонаторов. При такой интерпретации модель будет называться моделью резонансных мод. Естественно, в рамках любой из названных интерпретаций уравнению (2) можно сопоставить схему, приведенную на рис. 2.
Рис. 2. Модель процесса реверберации
Сведения по модели множественных отражений, равно как и лежащие в ее основе механизмы и законы формирования акустического поля, законы распространения, отражения и поглощения звука, детально рассматриваются в [1]. В этой работе выделяются основной звук, ранние отражения и многократные отражения, отвечающие за образование процесса реверберации. Ранние отражения определяются как небольшое число волн, запаздывающих относительно основного звука на величину около 60 мс, а реверберация – как волны, запаздывающие на 60…300 мс. Следует, однако, отметить, что данная классификация не вполне подходит к системам оповещения и технологической связи, поскольку основной звук, выделяемый по своей интенсивности, может оказаться внутри области ранних отражений и даже реверберации.
Рассмотренная схема формирования эха и реверберации является, как следует из рис. 3, элементом модели акустической обратной связи, характерной для систем оповещения и технологической связи. Естественно, уравнения подобных моделей в зависимости от использованного подхода могут относиться к различным типам, теория которых рассматривается, например, в [1; 7-10].
Рис. 3. Модель системы с акустической обратной связью
Следует отметить, что нижний предел интегрирования, принятый в выражении (2) и, соответственно, на рис. 2 и 3 равным 
, отвечает случаю неограниченного последействия. В системах с конечным последействием этот предел принимает конечное отрицательное значение [7; 8].
Модели акустических систем с запаздывающей обратной связью
Уравнение (2) после выделения из него слагаемых, отвечающих за каналы прямого распространения основного звука и ранних отражений, принимает в системах с конечным последействием вид
. (3)
Здесь 
число каналов прямого распространения; 
максимальная величина задержки в 
канале эха с распределенным запаздыванием.
Применение двустороннего преобразования Лапласа позволяет записать уравнение (3) в изображениях как
. (4)
При этом изображенную на рис. 3 модель системы с акустической обратной связью в линейном приближении можно описать уравнением
, 
. (5)
Здесь 
и 
изображения оригиналов 
и 
, 
, 
. Кроме того, в соответствии с (4)
. (6)
Если передаточную функцию 
изображенного на рис. 3 блока представить отношением двух многочленов, т.е. 
, то уравнению (5) с учетом (6) можно придать вид
. (7)
Характеристический многочлен этого уравнения равен
.
Ограничившись, в частности, одним каналом прямого распространения эха и одним каналом с распределенным запаздыванием, уравнение (7) можно записать в виде
(8)
В области оригиналов уравнения (7) и (8) относятся к классу функционально-дифференциальных; чтобы показать это, переменную Лапласа 
достаточно заменить оператором дифференцирования 
. Так, из (8) в этом случае следует уравнение
(9)
Уравнению (7) можно придать аналогичную форму, произведя в (9) замены:
и 
.
В моделях множественных отражений ядра интегральных выражений – непрерывные (возможно, за исключением конечного числа точек разрыва, распределения интенсивностей эха по величине запаздывания) – подлежат аппроксимации неотрицательными функциями, графики которых аналогичны по форме графику, приведенному на рис. 4.
Функция, изображенная на рис. 4, описывается выражением 
или, более строго, выражением
(10)
, 
, 
,
при значениях параметров 
, 
, 
и 
.
Рис. 4. Пример графика ядра функционально-
дифференциального уравнения (9)
При этом подстановка функции (10) под знак интеграла в уравнении (8) и интегрирование дает выражение
.
Это означает, что при подобной аппроксимации ядра функционально-дифференциальное уравнение (9) в рамках рассмотренной модели может считаться и дифференциально-разностным. Действительно, уравнение (8) с учетом полученного выражения может быть записано в виде
Здесь
, 
,
, 
.
Отсюда, собственно, и следует дифференциально-разностное уравнение
Аналогично, при похожем способе аппроксимации ядер, функционально-дифференциальное уравнение, отвечающее выражению (7), также может быть представлено в дифференциально-разностной форме.
Рассмотренная выше в представлениях геометрической акустики модель множественных отражений предполагает необходимость нахождения ядер – неотрицательных весовых функций, характеризующих распределение интенсивности отраженных звуковых волн, содержащих соответствующую информацию, от величины их запаздывания. В отличие от этой модели, в модели резонансных мод акустическая среда рассматривается как резонансная система, описываемая в зависимости от геометрии озвучиваемой зоны набором соответствующих резонансных частот, и, соответственно, эхо и реверберация моделируются реакцией резонансной системы на звуковые колебания. Уравнения (3) и (4), моделирующие эхо и реверберацию, при этом записываются (при сохранении слагаемых, отвечающих за каналы прямого распространения звука) в виде
,
.
Здесь импульсные функции каналов резонансной системы, а 
их изображения, 
. Ниже, например, будет считаться, что 
это рациональная функция, в частности функция вида 
.
Как и выше, слагаемые 
моделируют основные и ранние звуки, а функции 
реверберацию. Если, кроме того, принять, что функция 
является рациональной, то уравнение системы с акустической обратной связью может быть записано в виде
, (11)
,
где 
и 
наименьшее общее кратное многочленов 
.
Если принять, что 
, 
и 
, то уравнение (11) во временной области принимает вид дифференциально-разностного уравнения:
. (12)
Если ограничиться одним каналом прямого и одним – распределенного распространения звука, а также принять, что 
, то уравнение (11) принимает вид
.
Отсюда, в свою очередь, следует, что дифференциально-разностное уравнение (12) резонансной модели системы с акустической обратной связью в рассмотренном частном случае можно представить, используя операторную форму, в виде
(13)
где 
оператор дифференцирования по времени 
.
Очевидно, что если степень многочлена 
меньше степени многочлена 
, то уравнение (13) относится к классу разностного типа, а если степени одинаковы – к классу нейтрального типа, как, например, в случае 
.
Заключение
Представленные выше модели систем с акустической обратной связью обеспечивают, по существу, важное, но только первое приближение к действительности; в них, в частности, не учитывается возможность возникновения в трактах распространения звука нелинейных искажений, причиной которых может стать в первую очередь нелинейность оператора 
, а также нестабильность распределения времени запаздывания по величине. Нелинейность оператора , во многом обусловленную нелинейностью источника звука (громкоговорителя), можно учесть в рамках модели Винера или Гаммерштейна, а в более общем случае – модели Вольтерра. Нестабильность времени запаздывания моделируется в классе функционально-дифференциальных систем с переменными или случайными параметрами.
1. Cohen, I. Speech processing in modern communication / I. Cohen, J. Benesty, S. Gannot. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. - 342 p.
2. Hansler, E. Topics in acoustic echo and noise control: Selected methods for the cancelation of acoustic echoes, the reduction of background noise, and speech processing / E. Hansler, G. Schmidt. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. - 642 p.
3. Кропотов, Ю.А. Алгоритм вычисления сигнала управления каналом режекции многоканальной системы передачи акустических сигналов / Ю.А. Кропотов // Вопросы радиоэлектроники. - 2010. - Т. 1. - № 1. - С. 57-60.
4. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.
5. Kropotov, Y.A. Algorithms for processing acoustic signals in telecommunication systems by local parametric methods of analysis / Y.A. Kropotov, V.A. Ermolaev // International Siberian Conference on Control and Communications, SIBCON 2015: Proceedings. - 2015.
6. Кропотов, Ю.А. Методы проектирования телекоммуникационных информационно-управляющих систем аудиообмена в сложной помеховой обстановке / Ю.А. Кропотов, А.А. Белов, А.Ю. Проскуряков, А.А. Колпаков // Системы управления, связи и безопасности. - 2015. - № 2. - С. 165-183.
7. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. - М.: Мир, 1984. - 421 с.
8. Agarwal, R.P. Nonoscillation theory of functional differential equations / R.P. Agarwal, L. Berezansky, E. Braverman, G. Domoshitsky. - New York: Springer, 2012. - 520 p.
9. Kolmanovskii, V. Introduction to the theory and applications of functional differential equations / V. Kolmanovskii, A. Myshkis. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 648 p.
10. Kolmanovskii, V.B. Stability of functional differential equations / V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov. - London, New York: Academic Press, 1986. - 217 p.
