Работа связана с задачами моделирования и анализа в динамике сложных систем класса сингулярно возмущенных. Для качественного анализа развиваются методы и концепции классической теории устойчивости. Формируется обобщенный подход, основанный на методах А.М.Ляпунова, постулате устойчивости Н.Г.Четаева, постановках И.Г.Малкина, К.П.Персидского, П.А.Кузьмина, В.В.Румянцева применительно к задачам устойчивости с нерегулярными возмущениями. Это позволяет развить методы для критических случаев (системы с плохо обусловленными матрицами) в качественном анализе, с декомпозицией системы и ее динамических свойств (в том числе, в задаче устойчивости). Для систем с многовременными масштабами определяются условия редукции (в общем случае – это сингулярная система в смысле С.Кэмбелла), с сведением качественной задачи к исследованию укороченной системы меньшего порядка (s-приближения по части переменных).
малый параметр, устойчивость ,сингулярный ,возмущение
Проблемы математического моделирования и качественного анализа в динамике сложных систем с многовременными масштабами порождены задачами инженерной практики [1-11]. Исходная хорошо детализированная физико-математическая модель реального технического объекта является нелинейной, высокоразмерной, многосвязной, что обуславливает особые затруднения в получении точного решения аналитическими и численно-аналитическими методами для задач анализа и синтеза. Это приводит к необходимости упрощения(идеализации) исходной модели, с выявлением главных степеней свободы системы, для последующего перехода к декомпозированной системе ,с укороченными подмоделями. При этом главными в инженерных расчетах являются задачи оптимального механико-математического моделирования и регулярные схемы декомпозиции, с обобщением принципа сведения А.М.Ляпунова, хорошо известного в теории устойчивости. В данной работе разрабатывается унифицированный подход, основанный на методах А.М.Ляпунова, идеях Н.Г.Четаева. Развиваемый подход, синтезирующий методы теории устойчивости и теории возмущений, строится на выработке общей концепции применительно к проблеме моделирования, с разработкой регулярных схем, доведенных до инженерного уровня, для декомпозиции-редукции полной системы и ее качественных свойств.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. АН СССР, Москва, Собр.соч., т.2, 1956, 7-264.
2. Четаев Н.Г. Об оценках приближенных интегрирований. ПММ, т. 21, №3, 1957, 419-421.
3. Персидский К.П.. Некоторые критические случаи счетных систем. Изв. АН Казах.ССР, сер. Математика и механика, № 5, 1951, 3-24.
4. Градштейн И.С. Применение теории устойчивости Ляпунова к теории дифферен-циальных уравнений с малыми множителями при производных. Мат.сб., т.32, №2, 1952.
5. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений содержащие малые параметры при производных. Мат.сб. т. 31, №3, 1952, 575-586.
6. Кузьмин П.А.Устойчивость при параметрических возмущениях. ПММ, т. 21, №1, 1957, 129-132.
7. Шиляк Д.Д.. Децентрализованное управление сложными системами. Мир, Москва, 1991.
8. Кузьмина Л.К. Методы теории устойчивости и проблемы моделирования в механике. 10 Всероссийский Съезд по теоретической и прикладной механике, 2011,
9. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. Наука, Москва, 1981.
10. Campbell S.L.. Singular Systems of differential equations. London: Pitman Advanced Publishing Program, 1980.
11. Kuzmina L.K.. Lyapunov theory methods in stability problems of singular systems. Int.J. Nonlinear analysis: Theory, Methods and Applications, v.71, 2009, No.12, 2481-2486, Elsevier.
