Статья посвящена изучению принципов построения временных рядов в многомерном пространстве.
временные ряды, многомерное пространство, геометрическое моделирование.
Временной ряд - это ряд значений какой-нибудь величины в различные моменты времени. Они встречаются почти в каждой области. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар или параметры здоровья определенного индивидуума. Совокупность изменений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени и представляет собой временной ряд.
Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и по каким-то другим параметрам. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Цели изучения временного ряда бывают различными: стремление предсказать дальнейшее развитие процесса, управление процессом или выяснение механизма, порождающего характерные особенности ряда. Причем многомерные временные ряды могут представлять собой совокупность нескольких функций от нескольких параметров, не только от времени.
При анализе временного ряда его изменчивость принято представлять как сумму детерминированной и случайной составляющих [1]. Детерминированная часть содержит тренд - плавно изменяющуюся, нециклическую компоненту, от которой зависит поведение временного ряда.
, 
,
где {f(t)} - детерминированная последовательность, {ut} - случайная последовательность, подчиняющаяся некоторому вероятностному закону.
Переменная t может и не быть непрерывной, но для удобства анализа и построения считается таковой [2].
Тренд содержит в сжатой форме общие характеристики ряда, поэтому от него во многом зависит поведение всего ряда. Тренд может быть задан довольно сложной (но неизвестной) функцией времени, и для упрощения его построения его заменяют полиномом, поведение которого наиболее похоже на первоначальную функцию. Полиномиальный тренд есть в первую очередь средство описания. Для использования тренда в этом качестве полином должен иметь достаточно низкую степень. Во многих случаях коэффициентам полинома нельзя придать никакого реального смысла.
Предполагаем, что тренд является полиномом степени q:
f(t) = a0 + a1t +… + aqt q.
Поведение полинома подобного типа легко поддается анализу, и очевидно, что при увеличении q возрастает осцилляция графика полинома (рис. 1).
При q=0 трендом будет прямая, параллельная оси Ox, и в зависимости от знака параметра a0 она лежит либо над осью Ox (при a0 > 0), либо под осью Ox (при a0<0), либо на оси Ox (при a0= 0). При q=1 полином вида f(t)= a0+a1t тоже представляет собой прямую линию, находящуюся при этом по отношению к оси Ox под наклоном, где угол наклона напрямую зависит от a1, если a1 не 0. (рис. 1, a). Полином первой степени отражает равномерное во времени возрастание или убывание значений ряда. При q=2 полином принимает вид f(t)=a0+a1t+a1t2 и представляет собой параболу второго порядка (рис. 1, b). Полином второй степени выражает тенденцию возрастания и последующего убывания значений ряда или наоборот. При q=3 значением функции f(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3 будет кубическая парабола, отражающая возрастание, убывание и вновь возрастание (или наоборот) (рис. 1, c).
Рис. 1
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов / пер. с англ. И.Г. Журбенко, В.П. Носко. - М.: Мир, 1976. - C. 755.
2. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. - С. 736.
