Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Россия
Ранее нами был описан метод вращения плоских геометрических объектов вокруг криволинейных осей. Следующим шагом на пути нашего исследования должна стать разработка методов автоматизированного создания цифровых моделей поверхностей, полученных описанным методом вращения. Мы создали модели поверхностей, осью и образующей кривой которых являются окружности, лежащие в одной плоскости. Были разобраны несколько случаев взаимного расположения таких окружностей. Моделирование осуществлялось при помощи конструктивных приемов. Поверхности создавались с использованием операции «поверхность по сечениям». Центры таких круговых сечений принадлежат оси вращения, если она является окружностью. Используя специальные инструменты, заложенные в программе КОМПАС-3D, мы рассекли плоскостями смоделированные таким образом поверхности и получили ряд плоских сечений. Принимая во внимание трудности, возникающие при исследовании столь сложных геометрических объектов средствами плоских графических построений, а также графического компьютерного моделирования, мы осознали необходимость создания математического аппарата, описывающего их форму. Искомый механизм должен быть применим к любой паре кривых второго порядка, взаимосвязанных как «ось – образующая». Мы рассмотрели элементарный пример – вращение точки вокруг кривой эллиптической оси. В данной статье приводится решение задачи по поиску системы уравнений, описывающих множество положений точки, которые она последовательно займёт при своём обороте вокруг эллиптической оси. Аналогичный математический аппарат возможно применять к осям, имеющим форму других квадрик, например, гиперболы или параболы, а также к образующим, состоящим из более чем одной точки, т.е. к образующим кривым.
вращение, формообразование, кривая ось, окружность, эллипс, циклида Дюпена, циклические поверхности, ось вращения, траектория вращения, математическое описание.
В статье [2] был описан метод вращения плоских геометрических объектов вокруг криволинейных осей. В качестве примеров были рассмотрены случаи вращения образующих кривых вокруг кривых осей второго порядка. Рассуждения, на которых основан данный метод, были продемонстрированы на примере вращения точки и различных образующих кривых вокруг эллиптической оси и окружности. Предположение о возможности такого вращения мы выдвинули, принимая во внимание основы проективной геометрии, подробно изложенные в [21]. Следующим шагом на пути нашего исследования должна стать разработка методов автоматизированного создания цифровых моделей поверхностей, полученных описанным в [2] методом вращения. Имеющиеся в нашем распоряжении программы для создания моделей трехмерных объектов, такие как КОМПАС-3D, Solidworks, AutoCAD и их аналоги, не позволяют приемлемо точно смоделировать такие поверхности. Для того чтобы получить представления о возможностях данного метода, как и в [11], мы воспользовались КОМПАС-3D. Мы создали модели поверхностей, осью и образующей кривой которых являются окружности, лежащие в одной плоскости. Были разобраны несколько случаев взаимного расположения таких окружностей, которые показаны на рис. 1. Осевая окружность проведена тонкой штрихпунктирной линией, образующая — сплошной толстой. Поверхности создавались операцией «поверхность по сечениям». Моделирование осуществлялось при помощи конструктивных приемов. Центры таких круговых сечений принадлежат оси вращения, если она является окружностью. В случае с эллиптической осью центры круговых сечений не принадлежат оси их поиск сильно усложняется [9; 15; 20]. Каждое сечение является результатом вращения произвольной точки образующей окружности вокруг оси. Для определения диаметра сечения и положения его центра требовалось решить локальную геометрическую задачу, условия которой, а также способ решения, описаны в [2]. Каркасные изображения полученных поверхностей в двух проекциях представлены на рис. 2. Все они оказались самокасающимися, самопересекающимися поверхностями 8-го порядка [5; 12]. Порядок был определен методом пересечения поверхности с произвольной прямой и подсчета максимального количества точек пересечений поверхности с этой прямой. В случае рис. 1, а полученная поверхность представляет собой два касающихся тора.
1. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Учпедгиз, 1957. - 267 с.
2. Беглов И.А. Рустамян В.В. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3 . - С. 45-50. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст] / Д.В. Беклемишев. - М.: Физматлит, 2009. - 312 с.
4. Бермант А.Ф. Геометрический справочник по математике (Атлас кривых). Ч. 1. [Текст] / А.Ф. Бермант. - М.-Л.: ОНГИЗ НКТП, 1937. - 209 с.
5. Виноградов В.Н. Начертательная геометрия [Текст] / В.Н. Виноградов. - Минск: Высшая школа, 1977. - 367 с.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: ACT: Астрель, 2006. - 991 с.
7. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 3. - C. 4-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/14415.
8. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии. [Текст] / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. - М.: Высшая школа, 1998. - 272 с.
9. Графский О.А. Обоснование построения касательной к окружности и эллипсу [Текст] / О.А. Графский, О.В. Саенко // Научно-технические проблемы транспорта, промышленности и образования: труды Всероссийской научно-практич. конференции, 20-22 апреля 2011 г. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2011. - С. 14-18.
10. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании [Текст] / Я.А. Грязнов // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3. - C. 17-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/6518.
11. Жихарев Л.А. Фракталы в трёхмерном пространстве. I-фракталы [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 51-66. DOI:https://doi.org/10.12737/14417.
12. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст]: Учебник / Г.С. Иванов. - М.: Изд-во МГУЛ, 2012. - 340 с.
13. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии [Текст] / А.Д. Посвянский. - М.: Высшая школа, 1970. - 240 c.
14. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - C. 44-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/18057.
15. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 1. [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. 2015. - Т. 3. - № 1. - С. 16-25. - DOI:https://doi.org/10.12737/10454.
16. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч.2. [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 9-22. - DOI:https://doi.org/10.12737/12164.
17. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3. [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 4. - С. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/17345.
18. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 4. [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - С. 21-33. - DOI:https://doi.org/10.12737/18055.
19. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Ч. 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 2. - С. 19-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/19829.
20. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - C. 35-37. - DOI:https://doi.org/10.12737/470.
21. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст]: учебник для пед. ин-тов / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1969. - 368 с.
