с 04.09.2014 по 31.08.2017
Нальчик, Шалушка, Кабардино-Балкарская Республика, Россия
сотрудник с 01.11.1998 по настоящее время
Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия
Известно, что квадратура круга (задача, состоящая в построении квадрата, равного по площади заданному кругу) наряду с трисекцией угла и удвоением куба является одной из самых известных неразрешимых задач конструктивной геометрии на построение циркулем и линейкой. Решение задачи о квадратуре круга сводится к спрямлению окружности, т.е. к построению отрезка, равного по длине окружности, а ее неразрешимость связана с трансцендентностью числа пи. В данной работе доказывается предельный случай одной из теорем Христиана Гюйгенса, устанавливающей оценку длины окружности через периметры вписанного в нее и описанного около нее правильных многоугольников. На этой основе предложен и обоснован приближенный способ решения задачи о квадратуре круга, который позволяет последовательно строить сколь угодно точные решения задачи. Мы будем приближать дугу окружности, радиус которой кратен радиусу заданного круга, с помощью отрезка параллельно стягивающей его хорде, а затем увеличим или уменьшим его в нужное количество раз, так, чтобы длина полученного отрезка приближенно равнялась половине длины окружности заданного круга. Точность приближения будет тем выше, чем меньшую дугу окружности мы будем рассматривать. Но возможности реальных инструментов ограничены и непригодны как при слишком малых, так и при слишком больших масштабах чертежа. Для того чтобы справиться с этой проблемой, предложен алгоритм масштабированного приближения, при котором достаточно увеличивать (или уменьшать) фрагмент чертежа, чтобы все время оставаться в пределах листа одного и того же размера. Возможно, такой подход будет полезен и для других построений, в том числе для точных, где есть необходимость переходить к очень большим или, наоборот, очень малым размерам чертежей.
квадратура круга, приближенное решение, предельная теорема, алгоритм масштабированного приближения.
Введение
Задача о квадратуре круга состоит в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Первым документом, в котором упоминается квадратура круга, является папирус Райнда (по имени шотландского египтолога), датированный примерно 1650 г. до н.э. Историю этой задачи разделяют на три периода [13]: первый — с древнейших времен до открытия во второй половине XVII в. дифференциального и интегрального исчислений, второй — до появления в 1766 г. основного сочинения Ламберта об иррациональности числа π, третий — до окончательного разрешения этого вопроса в конце XIX в. Здесь мы опускаем очень интересную и содержательную историю задачи квадратуры круга, более подробное изложение которой можно найти, например, в работах [1–3; 13; 14; 25], и ограничимся некоторыми наиболее важными результатами, отражающими ее этапы. Идея приближать площадь круга с помощью площадей вписанных многоугольников принадлежит Антифону (V в. до н.э.). Бризон Гераклейский добавил к вписанным многоугольникам вписанные и ввел таким образом понятие о нижней и верхней границе. Позже Архимед (287–212 гг. до н.э.) доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу заданного круга, а второй — длине окружности, при том, что способ построения среднего геометрического двух отрезков был известен. Таким образом, задача свелась к увеличению отрезка длины r в π раз, т.е. к спрямлению половины окружности. Этот результат Архимед получил при помощи вычисления площади правильного 96-угольника, вписанного в окружность. В дальнейшем на протяжении почти двух тысяч лет метод вычисления длины окружности посредством вписанных и описанных многоугольников оставался основным. Наибольшей точности в вычислении числа π таким способом удалось добиться Лудольфу ван Цейлену (1539–1610). На протяжении десяти лет, удваивая, по методу Архимеда, число сторон вписанных и описанных многоугольников и дойдя до 60 ⋅ 229 = 32212254720-угольника, он вычислил в 1596 г. 20 точных десятичных знаков числа π. Впоследствии он довел их количество до 35. Долгое время после этого число π называли числом Лудольфа. Подробнее об истории вычисления числа π можно найти в работе [14]. Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего наивысшего развития в работах голландских математиков Виллеброрда Снеллия (1580–1626) и Христиана Гюйгенса (1629–1695). Тонкие геометрические рассуждения позволили им получить более точные результаты при меньшем числе сторон используемых многоугольников. Результат Архимеда — три точных знака π — Снеллий получает уже для вписанного и описанного шестиугольников, а 96-угольники помогают ему рассчитать 7 точных знаков π. Христиан Гюйгенс в сочинении «О найденной величине круга» (1654) доказывает ряд теорем о соотношениях между длинами хорд и стягиваемых ими дуг, которые позволили ему вычислить 10 точных знаков числа π уже для 60-угольника. В 1766 г. известный швейцарский математик Иоганн Ламберт (1728–1777) впервые доказал иррациональность числа π. Этот факт хотя еще не давал ответа на вопрос о разрешимости квадратуры круга, но наметил путь дальнейших исследований о природе числа π.
1. Адлер А. Теория геометрических построений [Текст] / А. Адлер; пер. с нем. Г.М. Фихтенгольца. - 3-е изд. - Л.: Учпедгиз, 1940. - 232 с.
2. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст]: пособие для студентов педагогических институтов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - 2-е изд. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.
3. Белозеров С.Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. [Текст] / С.Е. Белозеров. - Ростов: Изд-во Ростовского университета, 1975. - 320 с.
4. Вавилов В.В. Об одной формуле Христиана Гюйгенса [Текст] / В.В. Вавилов // Квант. - 1985. - № 11. - С. 9-14.
5. Веселовский И.Н. Христиан Гюйгенс [Текст] / И.Н. Веселовский. - М.: Учпедгиз, 1959. - 111 с.
6. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментариях [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 2. - № 2. - С. 15-21. - DOI:https://doi.org/10.12737/3844.
7. Вышнепольский В.И. Цели и методы обучения графическим дисциплинам [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - С. 8-9. - DOI:https://doi.org/10.12737/777.
8. Дениченко С.Н. Исследование возможности решения задачи античной математики квадратура круга [Электронный ресурс] // Perspective innovations in science, education, production and transport, 2013. Физика и Математика. - Математика. SWorld. - 17-26 December 2013. - URL: http://www.sworld.com.ua/index.php/ ru/conference/the-content-of-conferences/archives-ofindividual-conferences/dec-2013/
9. Жуков А.В. О числе π. Серия «Библиотека Математическое просвещение» [Текст] / А.В. Жуков. - М.: Изд-во МЦНМО, 2002. - 32 с.
10. Кадыкова Н.С. Реформирование оценок геометро-графических знаний [Текст] / Н.С. Кадыкова, Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - C. 52-53. - DOI:https://doi.org/10.12737/475.
11. Константинов А.В. Технический рисунок в изучении основ изобразительной грамоты [Текст] / А.В. Константинов // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 1. - С. 51-63. - DOI:https://doi.org/10.12737/25124.
12. Лепаров М.Н. Геометрические преобразования сборочных единиц [Текст] / М.Н. Лепаров // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 62-72. - DOI:https://doi.org/10.12737/21535.
13. О квадратуре круга. С приложением теории вопроса [Текст]; сост. Ф. Рудио; под ред. и с прим. С.Н. Бернштейна. - М.-Л.: Изд-во ГТТИ, 1934.
14. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга [Текст] / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1992. - 80 с.
15. Стрижак В. Каким образом построить отрезок равным числу «Пи» и решить задачу квадратуры круга? [Электронный ресурс]. - URL: https://shkolazhizni.ru / authors/stryzhak/posts/71568/
16. Сальков Н.А. Американизация геометрического образования в России и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 3. - C. 38-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/14418.
17. Сальков Н.А. Анализ ФГОСов нового поколения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - C. 28-31. - DOI:https://doi.org/10.12737/468.
18. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 31-40. - DOI:https://doi.org/10.12737/22841.
19. Сальков Н.А. Место начертательной геометрии в системе геометрического образования технических вузов [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 53-61. - DOI:https://doi.org/10.12737/21534.
20. Сальков Н.А. Начертательная геометрия до 1917 года [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - C. 18-20. - DOI:https://doi.org/10.12737/780.
21. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3/4. - C. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
22. Столбова И.Д. Об обеспечении качества предметного обучения студентов технического университета [Текст] / И.Д. Столбова // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 3. - № 4. - C. 27-37. - DOI:https://doi.org/10.12737/17348.
23. Тихонов-Бугров Д.Е. О некоторых проблемах графической подготовки в технических вузах (взгляд из Санкт-Петербурга) [Текст] / Д.Е. Тихонов-Бугров // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 1. - С. 46-52. - DOI:https://doi.org/10.12737/3848.
24. Хейфец А.Л. Реорганизация курса начертательной геометрии как актуальная задача развития кафедр графики [Текст] / А.Л. Хейфец // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - С. 21-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/781.
25. Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности [Текст] / В.Д. Чистяков. - М.: Учпедгиз, 1963. - 96 с.
