Челябинск, Челябинская область, Россия
Челябинск, Челябинская область, Россия
Современная компьютерная графика основана на методах вычислительной геометрии. В основу описания кривых линий и поверхностей заложен аппарат сплайн-функций, которые стали основным инструментом геометрического моделирования. Методы проективной геометрии практически не применяются. Одной из причин этого является невозможность точного построения кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых. Для устранения указанного недостатка разработана компьютерная программа построения кривых второго порядка. Программа выполняет построение метрики (центра, вершин, асимптот, фокусов) кривой второго порядка для следующих сочетаний: кривая второго порядка задана пятью точками; кривая второго порядка задана пятью касательными; кривая второго порядка задана точкой и двумя касательными с указанными на них точками касания; парабола задана четырьмя касательными; парабола задана четырьмя точками. В статье представлены алгоритмы построения метрики для каждого сочетания. После построения метрики программа вычерчивает кривую второго порядка. Компьютерная программа написана на языке программирования AutoLISP. В программе используются геометрически точные проективные алгоритмы, не требующие алгебраических вычислений. Например, для построения вершин и фокусов двух парабол, проходящих через четыре данные точки, необходимо всего лишь начертить произвольную окружность и провести несколько прямых линий. Для построения метрики конического сечения, проходящего через пять данных точек, необходимо выполнить всего три геометрически точных действия: построить инволюцию сопряженных диаметров; найти главные оси и асимптоты; отметить вершины искомой кривой второго порядка. Рассмотрен архитектурный облик нового аэропорта города Симферополь. Показано, что волнообразная форма фасада терминала может быть получена с помощью кривой линии, состоящей из участков конических сечений с общими касательными в точках стыка. Разработанная компьютерная программа позволяет вычерчивать кривые второго порядка. Применение программы будет способствовать развитию средств и методов компьютерной графики.
проективный алгоритм, геометрически точное построение, инволюция сопряженных диаметров, аэропорт Симферополя.
Введение. Развитие графических САПР, базирующихся на методах вычислительной геометрии [9; 23; 24], зачастую приводит к полному или частичному исключению классических методов начертательной и проективной геометрии из арсенала конструктора-проектировщика. Одним из препятствий к совмещению проективных и компьютерных методов геометрического моделирования в графически ориентированных САПР является невозможность точного построения кривой второго порядка, заданной произвольным наперед указанным набором пяти линейных инциденций (точек и касательных). В прикладной геометрии кривые второго порядка играют двоякую роль. С одной стороны, они используются наряду с другими кривыми линиями как формообразующий элемент при конструировании гладких обводов и поверхностей [16; 21]. С другой стороны, кривые второго порядка — это эталонный чертежный инструмент (такой же, как прямая линия и окружность), применяемый для решения геометрических задач [3–5; 19]. Эталон должен обладать наивысшими метрологическими свойствами, поэтому кривую второго порядка следует вычерчивать с максимально возможной точностью. Вплоть до 80-х гг. ХХ в. разрабатывались и патентовались механические устройства для вычерчивания разнообразных алгебраических кривых, в том числе конических сечений [1; 2; 20; 22]. С появлением средств компьютерной графики ситуация изменилась. На смену механическим чертежным приборам пришел электронный кульман и CAD-CAM-CAE-технологии сквозного проектирования. Развитие вычислительной геометрии и компьютерной графики привело к смене парадигмы в вопросах геометрического моделирования. В основу описания кривых линий и поверхностей в 60-х гг. прошлого века был заложен аппарат сплайн-функций [9; 23; 24], которые стали основным инструментом геометрического моделирования. Но при этом так и не появился полноценный электронный аналог механических коникографов. Программное обеспечение графических САПР не предоставляет пользователю возможности построения конического сечения, инцидентного произвольному наперед заданному набору точек и касательных. Для устранения указанного недостатка разработан программный модуль «Компьютерный коникограф», выполняющий геометрически точное построение метрики (центра, вершин, фокусов, асимптот) кривой второго порядка и последующее вычерчивание непрерывной КВП для следующих специализаций:
• КВП (эллипс или гипербола) задана пятью точками;
• КВП (эллипс или гипербола) задана пятью касательными;
• КВП (эллипс или гипербола) задана точкой и двумя касательными с указанными на них точками касания;
• парабола задана четырьмя касательными;
• парабола задана четырьмя точками.
1. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике: В 7 т. Т. 2. Кулисно-рычажные и кривошипно-ползунные механизмы [Текст] / И.И. Артоболевский. - М.: Наука, 1979. - 559 с.
2. А.с. 1447710 СССР, МКИ4 В 43 L 11/00. Прибор Салькова для построения кривых второго порядка [Текст] / Н.А. Сальков (СССР). - № 4260504/31-12: заяв. 10.06.87; опубл. 30.12.88, бюл. № 48. - 3 с.
3. Бойков А.А. Геометрическое моделирование в системе дистанционного обучения [Текст] / А.А. Бойков // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 4. - C. 34-42. - DOI:https://doi.org/10.12737/8295.
4. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В.Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - C. 3-15. - DOI:https://doi.org/10.12737/10453.
5. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация: монография [Текст] / Д.В. Волошинов. - Saarbrücken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.
6. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О.А. Вольберг. - М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 с.
7. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов [Текст] / Я.Л. Геронимус. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. - 399 с.
8. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 343 с.
9. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с.
10. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 3. - C. 3-6. - DOI:https://doi.org/10.12737/6518.
11. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. - М.: УРСС, 2004. - 400 с.
12. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]: В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. - 416 с.
13. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость [Текст] / Х.С.М. Кокстер. - М.: Физматлит, 1959. - 280 с.
14. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2014. - № 11. - С. 20-24. - DOI: 10.14489/ issn.1810-7206.
15. Короткий В.А. Проективное построение коники [Текст] / В.А. Короткий. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2010. - 94 с.
16. Короткий В.А. Кривые второго порядка в задачах формообразования архитектурных оболочек [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Известия ВУЗов. Серия «Строительство». - 2014. - № 9-10. - С. 101-107.
17. Короткий В.А. Универсальный компьютерный коникограф [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Труды 26-й Международной научной конференции GraphiCon 2016, ННГАСУ. - Нижний Новгород. - С. 347-351.
18. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» [Текст] / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
19. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - C. 44-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/18057.
20. Сальков Н.А. Приложение свойств циклиды Дюпена к изобретениям [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - C. 37-43. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5a17fd233418b2.84489740.
21. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 2. - C. 31-40. - DOI:https://doi.org/10.12737/22841.
22. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева [и др.] // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3/4. - C. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
23. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве [Текст] / М. Пратт, А. Фокс. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
24. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера [Текст] / Л.И. Плисс, Е.В. Шикин. - Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с.
25. Энциклопедия элементарной математики: В 5 т. Т. 4: Геометрия [Текст]. - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1963. - 567 с.
