Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
Статья посвящена анализу задачи о сферах Данделена на основе конструктивного геометрического метода. В статье показано, что традиционный подход, применяемый к решению задачи, приводит к получению лишь ограниченного множества разнородных решений. Рассмотрение задачи в контексте проективных свойств плоскости и пространства методами конструктивной геометрии позволяет по-новому интерпретировать результаты этой задачи. В статье показано, что решаемая задача имеет чисто проективную природу и может быть решена единым методом, чего невозможно добиться, если проводить рассуждения и строить доказательства только на положениях аффинной геометрии. Научная новизна исследования заключается в обнаружении и теоретическом обосновании нового классификационного признака, позволяющего причислить к классу сфер Данделена множества пар сфер, имеющих мнимые касания с квадрикой, а также пары мнимых сфер, имеющих единый принцип конструктивной взаимосвязи образов наряду с действительными решениями. Практическая значимость работы заключается в расширении сфер применения методов конструктивного геометрического моделирования к решению задач, совершенствовании геометрической теории, развитии функциональных возможностей системы геометрического моделирования Симплекс для задач автоматизации проектирования объектов и процессов. Представленные в статье алгоритмы демонстрируют глубинную проективную природу и взаимосвязь таких задач, как задача об окружностях и сферах Аполлония, задача о сферах Данделена и других, а закладывает основу исследований в направлении многомерных интерпретаций этих задач. Решение задачи может быть полезно и для реализации функций сопряжений кривых второго порядка посредством окружностей в целях совершенствования инструментов автоматизации проектирования CAD-систем без применения для этих целей численных методов математики.
геометрическое моделирование, проективная геометрия, мнимая геометрия, сферы Данделена, квадрика, кривая второго порядка, инволюция, коника, фокус, Симплекс.
Задача о сферах Данделена является одной из наиболее известных геометрических задач, связывающих квадратичные образы трехмерного пространства и плоскости, имеющая изящную визуальную интерпретацию. Впервые геометрическая конструкция, обосновывающая существование двух сфер, касающихся прямого кругового конуса и пересекающей его плоскости, была получена Данделеном [1], а в дальнейшем распространена и на другие разновидности квадрик [3; 6; 21; 23; 28]. В исходной постановке задача о шарах Данделена утверждает следующее: пусть дан прямой круговой конус; если конус пересекается плоскостью, то можно построить две сферы, единовременно касающиеся и конуса, и сферы, причем касание плоскости происходит в фокальных точках коники, возникающей от пересечения плоскости и конуса. Как уже было отмечено ранее, задача о сферах Данделена может быть распространена на случай произвольной квадрики вращения, а не только прямого кругового конуса, однако в этом случае сферы, касающиеся поверхности и плоскости в фокальных точках кривой сечения, существуют не всегда [13]. Задача данной статьи — дать конструктивное [2] проективное обоснование решения задачи о сферах Данделена и показать, что к таким сферам следует причислять и иные сферы (как действительные, так и мнимые), которые выпадали из поля зрения исследователей данной задачи. Предлагаемое в статье обобщенное решение призвано продемонстрировать, что классификация объектов задачи должна осуществляться не на чисто визуальной оценке их композиции [23; 28], а на более глубоких взаимосвязях, проявляющих единый принцип их геометрического взаимодействия. В результате анализа алгоритма действия конструк-
тивной геометрической схемы, являющейся причиной визуального причисления наблюдаемых сфер к объектам особого типа, будет сделан вывод о том, что класс объектов, называемых сферами Данделена, должен быть расширен сферами, ранее к таковым не причислявшимися. На начальном этапе рассуждений рассмотрим конструктивный алгоритм построения сфер Данделена для квадрики вращения, используя для этих целей модель G2 2 3, — эпюр Монжа [5; 26]. Для анализа задачи будет достаточно построить только одну проекцию данной модели. Пусть квадрика σ будет задана очерком s и осью вращения i (рис. 1). Без потери общности плоскость сечения зададим следом α. Для определения местоположения фокальных точек, в которых сферы должны будут касаться плоскости, используем метод дополнительного ортогонального проецирования и построим кривую a, возникающую от пересечения плоскости и квадрики. Результат такого пересечения — коника, для однозначного определения которой необходимо наличие пяти известных точек. Две из них (P1 и P2) уже имеются, поскольку они
образуются от пересечения следа плоскости α и очерка s. Для построения недостающих точек проведем следы двух вспомогательных плоскостей β и γ, ортогональных к оси вращения i. Линии b и g пересечения плоскостей β и γ с поверхностью квадрики — суть окружности, диаметры которых определяются точками пересечения очерка квадрики со следами. Зная точки пересечения следа α со следами β и γ, определим превышения точек Δb и Δg, которые необходимо отложить от этих точек по направлению, перпендикулярному к следу α. Таким образом, недостающие точки P3, P4 и P5 искомого конического сечения a найдены. Теперь при наличии самой коники a не составит труда найти ее фокальные точки F1 и F2, для чего можно использовать любой известный конструктивный алгоритм, например [30].
1. Адлер А. Теория геометрических построений [Текст] / А. Адлер. - Л.: Учпедгиз, 1940. - 232 с.
2. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка [Текст] / А.В. Акопян, А.А. Заславский. - М.: Изд-во МЦНМО, 2007. - 136 с.
3. Бакельман И.Я. Инверсия [Текст] / И.Я. Бакельман. - М.: Наука, 1966. - 79 с.
4. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования [Текст] / К.И. Вальков. - Л.: Изд-во ЛИСИ, 1974. - 152 с.
5. Васильева В.Н. Реализация обобщенной теоремы Данделена для произвольных квадрик вращения в AutoCAD [Текст] / В.Н. Васильева, А.Л. Хейфец // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - С. 9-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/5584.
6. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Новый геометрический инструмент [Текст] / Д.В. Волошинов / Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII Международной интернет-конференции КГП-2017. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/60/
7. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментария [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 1. - № 1. - C. 15-21. - DOI:https://doi.org/10.12737/3844.
8. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графических дисциплин [Текст] / Д.В. Волошинов, К.Н. Соломонов // Геометрия и графика. - 2013.- Т. 1. - № 2. - C. 10-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/778.
9. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация [Текст] / Д.В. Волошинов. - Saarbrücken: Lambert Academic Publ., 2010. - 355 c.
10. Вольберг А.О. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / А.О. Вольберг. - М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 c.
11. Гильберт Д. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, C. Кон-Фоссен. - М.: Наука, 1981.
12. Гирш А.Г. Задание и построение квадрики [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 2. - C. 39-44. DOI: 10.12737.
13. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - C. 9-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
14. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
15. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 342 с.
16. Дорфман А.Г. Оптика конических сечений [Текст] / А.Г. Дорфман. - М.: Физматгиз, 1959. - 32 с.
17. Жижилкин И.Д. Инверсия [Текст] / И.Д. Жижилкин. - М.: Изд-во МЦНМО, 2009. - 72 с.
18. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/12163.
19. Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией [Текст] / Г.С. Коксетер, С.П. Грейтцер. - М.: Наука, 1978. - Т. 14. - 224 с.
20. Короткий В.А. Двойное прикосновение в пучке поверхностей второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 1. - С. 9-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/3843.
21. Литцман В. Старое и новое о круге / Пер. с нем. В.С. Бермана [Текст] / В. Литцман. - М.: Физматгиз, 1960. - 60 с.
22. Логиновский А.Н. Решение задач на основе параметризации в пакете AutoCAD [Текст] / А.Н. Логиновский, А.Л. Хейфец // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - С. 58-62. - DOI:https://doi.org/10.12737/793.
23. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст]: учеб. пособие / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2007. - 104 с.
24. Розенфельд Б.А. Аполлоний Пергский [Текст] / Б.А. Розенфельд. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 176 с.
25. Соболев Н.А. Общая теория изображений [Текст]: учеб. пособие для вузов / Н.А. Соболев. - М.: Архитектура С, 2004. - 672 с.
26. Флоренский П.А. Мнимости в геометрии. Расширение области двухмерных образов геометрии (опыт нового истолкования мнимостей) [Текст] / П.А. Флоренский. - М.: Лазурь, 1991. - 96 с.
27. Хейфец А.Л. Коники как сечения квадрик плоскостью (обобщенная теорема Данделена) [Текст] / А.Л. Хейфец // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 2.- C. 45-58.
28. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1953. - 360 с.
29. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов: Т. 2: Примечание IV. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе [Текст] / М. Шаль. - М.: Моск. мат. общ-во, 1883. - 307 с.
30. Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles- Lettres de Bruxelles, V. III., 1826, pp. 3-16.
