Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Как известно, дифференциальная геометрия изучает свойства кривых линий (касательная, кривизна, кручение), поверхностей (изгибание, первая и вторая основные квадратичные формы) и их семейств в малом, т.е. в окрестности точки средствами дифференциального исчисления. Алгебраическая геометрия изучает свойства алгебраических кривых, поверхностей, а также алгебраических многообразий в целом [1; 17]: порядок, класс, жанр, наличие особых точек и линий, пересечения семейства кривых линий и поверхностей (пучки, связки, конгруэнции, комплексы и их характеристики). Особое место среди них занимают рациональные кривые и поверхности: • их конструирование посредством бирациональных (кремоновых) преобразований [10; 21]; • исследование их свойств путем отображения на прямые и плоскости [9; 21; 22]; • конструирование гладких обводов из дуг рациональных кривых, принадлежащих поверхностям [10]. Представляется, что основные результаты, полученные в этом направлении математиками во второй половине XIX в. конструктивно-геометрическими методами, должны составлять теоретическое обеспечение способов проектирования технических форм, удовлетворяющих ряду наперед заданных требований с использованием современной вычислительной техники и информационных технологий. Очевидно, что применение мощного аппарата кремоновых преобразований целесообразно при конструировании, например, трубопроводов сложной геометрии по заданным линиям тока, тонкостенных оболочек по заданному сетчатому каркасу линий кривизны и т.д. По-видимому, этот этап должен предшествовать вычислительным процедурам компьютерной графики. Однако в отечественных публикациях по прикладной (инженерной) геометрии вопросам исследования поверхностей в целом уделяется мало внимания. Использование такого подхода для решения указанных прикладных задач автору вообще неизвестно. В связи с этим целью предлагаемой статьи является: • иллюстрация способа отображения поверхности на плоскость для изучения ее свойств в целом на примере построения плоской модели однополостного гиперболоида; • конструктивный подход к построению гладких одномерных обводов на рациональных поверхностях.
нормкривая, однополостный гиперболоид, отображение, стереографическое, криволинейное и косое проецирования, преобразование Гирста, одномерный обвод.
В первой половине XIX в. появились новые виды геометрии: проективная и алгебраическая, неевклидовы геометрии Лобачевского — Бойяи и Римана.
1. Александров А.Д. Геометрия в целом [Текст] / А.Д. Александров, В.А. Залгаллер // Математическая энциклопедия. - Т. 1. - М., 1977. - С. 943-944.
2. Божко А.Н. Компьютерная графика [Текст] / А.Н. Божко, Д.М. Жук, В. Б. Маничев. - М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 396 с.
3. Боровиков И.Ф. Новые подходы преподавания начертательной геометрии в условиях использования информационных образовательных технологий [Текст] / И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, В.И. Серегин, Н.Г. Суркова // Инженерный вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2014. - № 12.
4. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 343 с.
5. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. - 472 с.
6. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка как интегрирующий фактор образовательного процесса [Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Образование и общество. - 2014. - № 2. - С. 26-28.
7. Гузненков В.Н. Принципы формирования структуры и содержания геометро-графической подготовки [Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Стандарты и мониторинг в образовании. - 2013. - № 6. - С. 34-39.
8. Ефимов Н.В. Неевклидовы геометрии [Текст] / Н.В. Ефимов // Математическая энциклопедия. - Т. 3. - М., 1982. - С. 910-914.
9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1988. - 158 с.
10. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.
11. Иванов Г.С. Нормкривая трехмерного пространства как частный случай пересечения двух квадрик [Текст] / Г.С. Иванов // Труды XXII международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии». - Т. 2. - М.: Изд-во МЭИ, 2014. - С. 51-56.
12. Иванов Г.С. Как обеспечить общегеометрическую подготовку студентов технических университетов [Текст] / Г.С. Иванов, В.О. Москаленко, К.А. Муравьев // Наука и образование, МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2012. - № 8. - URL:http://technomag.edu.ru/doc/445140.html/
13. Иванов Г.С. Инженерная геометрия - теоретическая база построения геометрических моделей [Текст] / Г.С. Иванов, В.И. Серегин // Сб. статей международной научно-практической конференции «Инновационное развитие современной науки». - Уфа: Изд-во БашГУ, 2014. - Ч. 3. - С. 339-346.
14. Конокбаев К.К. Конструирование обводов из дуг уникурсальных циркулярных кривых посредством кремоновых инволюций [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / К.К. Конокбаев. - М.: Изд-во МАИ, 1972. - С. 21.
15. Миролюбова Т.И. Геометрические модели фасонных элементов однорукавных каналовых поверхностей [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Т.И. Миролюбова. - М.: Изд-во МАИ, 2004, - С. 23.
16. Мульдеков И.О. Решение конструктивных задач описания кривых и поверхностей на основе методов оптимизации [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / И.О. Мульдеков. - М.: Изд-во МГУПП, 1996. - С. 30.
17. Позняк Э.Г. Геометрия [Текст] / Э.Г. Позняк // Математическая энциклопедия. - Т. 1. - М., 1977. - С. 940-943.
18. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии [Текст] / Б.А. Розенфельд, И.М. Яглом // Энциклопедия элементарной математики. - Т. 5. - М., 1966. - С. 394-476.
19. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
20. Фокс А. Вычислительная геометрия [Текст] / А. Фокс, М. Пратт. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
21. Hudson H.P. Cremona transformation in plane and space. Cambridge, 1927. 454 p.
22. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry, Oxford, 1985. 480 p.
