Кассель, Германия
Невырожденная поверхность второго порядка (ПВП, квадрика) определена, если заданы девять ее точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие шесть из которых не лежат в одной плоскости. Точки попарно могут быть мнимыми. Аналитически поверхность определена, если написано ее уравнение от трех переменных с численными коэффициентами, F(x, y, z) = 0. Графически поверхность определена, если определены ее основные параметры — длины трех ее главных взаимно перпендикулярных осей: большой, средней и малой. В зависимости от положения девяти данных точек одна или две из трех осей могут оказаться мнимыми. Аналитическое определение поверхности через написание ее уравнения по координатам девяти ее точек возможно без особых трудностей. Но здесь нас интересуют графические конструкции. В учебной литературе описаны поверхности вращения, заданные осью и образующей линией, поверхности параллельного переноса, заданные направляющей и образующей линиями. В настоящей работе обсуждается вопрос определения параметров ПВП — определение положения поверхности в пространстве и определение размеров ее главных осей по наперед заданным точкам или другим элементам поверхности. Квадрика имеет три главные оси — это три параметра. Центр квадрики может быть сдвинут от начала координат вдоль каждой из трех осей — это еще три параметра. Квадрика может быть наклонена к координатной оси в каждой из трех координатных плоскостей. Итого, квадрика определяется девятью параметрами. Девять точек определяют квадрику по форме и по положению в пространстве. Девять точек — это три тройки точек, которые задают три плоскости, несущие эти точки. Рассматривается задание квадрики девятью точками, коникой и четырьмя точками, тремя сечениями квадрики. Предлагается решение определения квадрики в случае, когда пять точек из девяти лежат в одной плоскости.
инволюция, двойные точки, коника, квадрика, задание девятью точками.
Введение
Невырожденная поверхность второго порядка (ПВП, квадрика) определена, если заданы девять ее точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие шесть из которых не лежат в одной плоскости. Девять точек могут быть заданы своими координатами или графически своими проекциями на полях двухкартинного чертежа.
1. Гильберт Д. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. - М.: Наука, 1981. - 344 с.
2. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - C. 19-30. - DOI:https://doi.org/10.12737/22840.
3. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
4. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 343 с.
5. Глазунов Е.А. О проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии [Текст] / Е.А. Глазунов: Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. - М.: Советская наука, 1958.
6. Короткий В.А. Проективное построение коники [Текст]: учеб. пособие / В.А. Короткий. - Челябинск: изд-во ЮУрГУ, 2010. - 98 с.
7. Пеклич В.А. Задачи по начертательной геометрии [Текст]: учеб. пособие / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 1997. - 230 с.
8. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст]: учеб. пособие / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2007. - 104 с.
9. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / Короткий В.А.: Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
10. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1969. - 368 с.
11. URL: https://ru.m.wikisource.org/wiki/ Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов / Поверхности второго порядка (Мишель Шаль. 1829-1837).
