КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВОЙ ЛИНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПЛОСКОГО ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
В статье представлены результаты исследований в области кинематической геометрии пространственной кривой линии. В основу исследований положен метод подвижного трехгранника кривой. Рассмотрены компоненты движения трехгранника по пространственной кривой и показано, что его результирующим мгновенным движением является винтовое. Этот результат отличается от известного в геометрии представления движения трехгранника в виде вращения, описываемого вектором Дарбу. Дано аналитическое описание множества осей мгновенных винтовых движений трехгранника в подвижной и неподвижной системах отнесения пространственной кривой. Показана возможность применения полученных общих результатов к исследованию плоской кривой. В работе предложена модель плоского зубчатого зацепления, основанная на геометрической интерпретации движений трехгранника плоской кривой и известном в геометрической теории плоских механизмов построении Бобилье. Выполнено расширение геометрической схемы этого построения за счет введения в него эволют, моделирующих мгновенные движения трехгранников соответствующих кривых построения. В результате получена геометрическая модель, более полная по сравнению с известными моделями плоского зубчатого зацепления. Она позволяет выполнять как прямую, так и обратную задачи профилирования зубьев колес с одновременным получением кривизны искомых профилей при отсутствии таковых. Предложенная модель может быть положена в основу разработки зубчатых передач с плоской схемой зацепления по условию достижения необходимых эксплуатационных свойств передачи за счет геометрической формы зубьев колес.

Ключевые слова:
кривая линия, трехгранник, кинематическая геометрия, геометрическая модель, плоское зубчатое зацепление.
Текст

В геометрии и ее приложениях применяются кинематические методы исследований плоской кривой, описываемой вершиной ее подвижного трехгранника, и результаты этих исследований применяются в задачах кинематической геометрии на плоскости [1; 2]. В направлении развития этих исследований и их теоретических и практических приложений в работе рассматриваются некоторые аспекты кинематики пространственной кривой и одно из ее приложений в области плоских зубчатых зацеплений.

Список литературы

1. Бубенников А.В. Начертательная геометрия [Текст] / А.В. Бубенников, М.Я. Громов. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 416 с.

2. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов [Текст] / Я.Л. Геронимус. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1962. — 400 с.

3. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения [Текст] / Ф.М. Диментберг. — М.: Наука, 1978. — 328 с.

4. Ерцкина Е.Б. Геометрическое моделирование в автоматизированном проектировании архитектурных объектов [Текст] / Е.Б. Ерцкина, Н.Н. Королькова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 2. — С. 48–54. — DOI: 10.12737/19833.

5. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера [Текст] / Э. Картан. — Волгоград: Платон, 1998. — 368 с.

6. Корчагин Д.С. Восстановление кривой по ее ортогональным проекциям [Текст] / Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук // Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных технологий: сб. тр. междунар. науч.-метод. конф. — Алматы, 2011. – С. 71–80.

7. Куликов Л.К. Об одном методе конструирования сопряжённых поверхностей [Текст] / Л.К. Куликов // Автоматизация проектирования и математическое моделирование криволинейных поверхностей на базе ЭВМ: межвуз. сб. — Новосибирск, 1977. — С. 70–73.

8. Ленский М.Ф. Синтез плоских механизмов с кинематическими парами точечного касания по некоторым качественным показателям [Текст] / М.Ф. Ленский // Машиноведение. — 1969. — № 3. — С. 20–24.

9. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики [Текст] / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. — Т. 1. Статика и кинематика. — 8-е изд. — М.: Наука, 1982. — 352 с.

10. Нитейский А.С. Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе [Текст] / А.С. Нитейский // Омский научный вестник. — 2013. — № 2. — С. 151–153.

11. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей [Текст] / В.А. Осипов. — М.: Машиностроение, 1979. — 248 с.

12. Панчук К.Л. Геометрический синтез плоского зубчатого зацепления [Текст] / К.Л. Панчук // Известия вузов. Машиностроение. — 1982. — № 6. — С. 35–39.

13. Панчук К.Л. Дифференциально-геометрический метод образования линейчатых развертывающихся поверхностей [Текст] / К.Л. Панчук, А.С. Нитейский // Вестник КузГТУ. — 2014. — № 1. — С. 70–73.

14. Пилипака С.Ф. Конструирование линейчатых поверхностей общего вида в системе сопроводительного трехгранника направляющей пространственной кривой [Текст] / С.Ф. Пилипака, Н.Н. Муквич // Труды Таврической государственной агротехнической академии. — Мелитополь: ТДАТУ, 2007. — № 4. — Прикл. геометрия и инж. графика. — Т. 35. — С. 10–18.

15. Рачковская Г.С. Геометрическое моделирование и графика кинематических линейчатых поверхностей на основе триады контактирующих аксоидов [Текст] / Г.С. Рачковская // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — С. 46–52. — DOI: 10.12737/21533.

16. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии [Текст] / П.К. Рашевский. — М.: Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1956. — 420 с.

17. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — С. 31–40. — DOI: 10.12737/22841.

18. Якубовский А.М. Некоторые вопросы конструирования поверхностей с помощью трехгранника Френе [Текст] / А.М. Якубовский // Труды ун-та Дружбы народов им. П. Лумумбы. — М., 1967. — Т. 26. — С. 23–32.

19. Litvin F.L. Theory of Gearing. Wachington. DC: NACA, NACA Reference Publication 1212. AVSCOM Technical Report, 88–C–035, 1989. 490 p.

20. Litvin F.L., Fuentes A. Gear Geometry and Applied Theory. 2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2004. 800 p.

21. Panchuk K.L., Niteyskiy A.S. Contact of the Ruled Nondevelopable Surfaces. Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics. Conference Series. Innsbruck, Austria, August 4–8, 2014. Innsbruck University Press, 2014. P. 216–223.

22. Panchuk K.L., Niteyskiy A.S. Mathematical modelling of contact of ruled surfaces: theory and practical application. MEACS2015 IOP Publishing IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 124(2016) 012083. DOI:10.1088/1757–899X/124/1/012083.